初中数学第19章 四边形19.4 综合与实践 多边形的镶嵌达标测试

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题19.9多边形的镶嵌
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019•站前区校级三模）用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（　　）
A．三角形 B．菱形 C．正六边形 D．正七边形
【分析】分别求出三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【解答】解：A、三角形的内角和是180°，6个能密铺；
B、菱形的内角和是360°，4个能密铺；
C、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺；
D、正七边形每个内角是：180°﹣360°÷7＝128.6°，不能整除360°，不能密铺．
故选：D．
2．（2021春•德惠市期末）利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板，若每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形（a＞b＞0），则a+b的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【解答】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°，
60°×4+120°＝360°，或60°×2+120°×2＝360°，
∴a＝4，b＝1或a＝2，b＝2，
∵a＞b＞0，
∴a＝4，b＝1，
∴a+b＝4+1＝5，
故选：B．
3．（2021春•泌阳县期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（　　）
A．正六边形和正八边形 B．正四边形和正五边形
C．正三边形和正六边形 D．正四边形和正六边形
【分析】根据平面镶嵌定义，2个正三角形和2个正六边形在一个顶点处的内角之和为360°，即可进行判断．
【解答】解：因为一个顶点处，2个正三角形和2个正六边形的内角和为360°，
所以能够铺满地面的是正三边形和正六边形．
故选：C．
4．（2019春•石狮市期末）下列正多边形瓷砖中，若仅用种瓷砖铺地面，则不能将地面密铺的是（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【解答】解：A．正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
B．正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4＝90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
C．正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5＝108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
D．正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6＝60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意．
故选：C．
5．（2021春•洪洞县期末）用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有m个正三角形和n个正方形（m、n为正整数），则m+n的值为（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
【分析】根据正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【解答】解：∵正三角形和正方形的一个内角分别是60°，90°，
∴60m+90n＝360，且m，n为正整数，
∴m＝3，n＝2，
∴m+n＝5．
故选：D．
6．（2021秋•汉阳区期中）用形状、大小完全相同的下列图形，不能拼成既无缝隙又不重叠的图形的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能组成镶嵌．同理四边形的内角和是360°，也能组成镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，其中180°，360°，120°能整除360°，所以不适用的是正五边形．
【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；
B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；
C、正五边形的每一个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，所以不能密铺；
D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺．
故选：C．
7．（2021秋•虎林市校级期末）垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【解答】解：①正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
②正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
③正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；
④正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
故能单独镶嵌成一个平面的正多边形有：①②④．
故选：C．
8．（2021春•遂宁期末）小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种（　　）形状的地砖．
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【解答】解：A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135×2+90＝360，故能铺满；
C、正八边形的内角为135°，正五边形的内角为108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D、正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
故选：B．
9．（2021春•宣城期末）正多边形通过镶嵌能够密铺成一个无缝隙的平面，下列组合中不能镶嵌成一个平面的是（　　）
A．正三角形和正方形 B．正三角形和正六边形
C．正方形和正六边形 D．正方形和正八边形
【分析】由正多边形的内角拼成一个周角进行判断，ax+by＝360°（a、b表示多边形的一个内角度数，x、y表示多边形的个数）．
【解答】解：A、∵正三角形和正方形的内角分别为60°、90°，3×60°+2×90°＝360°，
∴正三角形和正方形可以镶嵌成一个平面．故A选项不符合题意；
B、∵正三角形和正六边形的内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°＝360°，或4×60°+1×120°＝360°，
∴正三角形和正六边形可以镶嵌成一个平面．故B选项不符合题意；
C、∵正方形和正六边形的内角分别为90°、120°，2×90°+1×120°＝300°＜360°且3×90°+1×120°＝390°＞360°，
∴正方形和正六边形不能镶嵌成一个平面．故C选项符合题意；
D、正方形和正八边形的内角分别为90°、135°，1×90°+2×135°＝360°，
∴正方形和正八边形可以镶嵌成一个平面．故D选项不符合题意；
故选：C．
10．（2021春•嵩县期末）如图，某休闲广场是用边长相等的正四边形和正八边形的地砖组合，在每个顶点处无缝隙、无重叠的铺设，而且地砖完整．除此之外，还可以选择无缝隙、无重叠铺设的正多边形组合是（　　）

A．正三边形、正四边形 B．正四边形、正五边形
C．正五边形、正六边形 D．正六边形、正八边形
【分析】两个或几个正多边形的组合能否平面镶嵌，可以从所给的选项中看其内角和是否能等于360°，并以此为依据进行求解．
【解答】解：A．因为正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，3×60°+2×90°＝360°，所以能铺满，符合题意；
B．正四边形每个内角90°，正五边形每个内角108°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，不符合题意；
C．正五边形每个内角108°，正六边形每个内角120°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，不符合题意；
D．正六边形每个内角120°，正八边形每个内角135°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，不符合题意；
故选：A．
二、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018春•鲤城区期末）用一种正五边形或正八边形的瓷砖　不能　铺满地面（填“能”或“不能”）．
【分析】根据多边形镶嵌成平面图形的条件，因为正五边形的内角为108°，正八边形的内角为135°，显然360°不是它们的倍数可知不能进行平面镶嵌．
【解答】解：根据平面镶嵌的条件，可知用一种正五边形或正八边形的瓷砖不能铺满地面．
12．用正三角形和正六边形镶嵌，在每个顶点处有　2或4　个正三角形和　2或1　个正六边形，
【分析】根据正六边形的内角度数为120°，正三角形的内角为60°，根据平面密铺的条件列出方程，再进行讨论即可得出答案．
【解答】解：设在每个顶点处有x个正三角形和y个正六边形，
∵正三角形的内角为60°，正六边形的角度为120°，
∴60x+120y＝360°，
当x＝2时，y＝2；
当x＝4时，y＝1．
故在一个顶点处可以有2个正六边形和2个正三角形；或有4个正三角形和1个正六边形．
故答案为：2或4，2或1．
13．（2020春•百色期末）现有①正三角形、②正方形、③正五边形三种形状的地砖，只选取其中一种地砖镶嵌地面，不能进行地面镶嵌的有　③　（填序号）．
【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌；
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌．
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，不能进行地面镶嵌的有③．
故答案为：③．
14．（2021春•潍坊期末）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式可以是 　ABC　．
A．正三角形和正四边形
B．正三角形与正六边形
C．正方形与正八边形
D．正三角形与正八边形
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【解答】解：3个正三角形和2个正四边形的内角和为360°，2个正三角形和2个正六边形的内角和为360°，正八边形和正方形内角分别为135°、90°，显然能构成360°的周角，
故答案为：ABC
15．（2021春•高密市期末）下列正多边形组合中，能够铺满地面的是 　ABC　．
A．正八边形和正方形
B．正三角形，正方形和正六边形
C．正三角形和正六边形
D．正方形和正六边形
【分析】根据平面镶嵌定义，2个正三角形和2个正六边形在一个顶点处的内角之和为360°，即可进行判断．
【解答】解：因为一个顶点处，2个正三角形和2个正六边形的内角和为360°，或正八边形和正方形内角分别为135°、90°，显然能构成360°的周角，或1个正三角形，2个正方形和1个正六边形，显然能构成360°的周角，
所以能够铺满地面的是正三边形和正六边形，或正八边形和正方形，或正三角形，正方形和正六边形，
故答案为：ABC
16．（2021春•高新区期末）如图所示是三个相同的正n边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则n的值为 　6　．

【分析】根据图中是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，即可求出多边形每个内角的度数，进而即可求出答案．
【解答】解：∵是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌，
∴每个内角度数＝360°÷3＝120°，
那么边数为：360÷（180﹣120）＝6．
故多边形是正六边形．
故答案为：6．
17．（2021•清苑区模拟）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案用了6块灰色的瓷砖，第3个图案用了8块灰色的瓷砖，…，第n个图案中灰色瓷砖块数为　2n+2　．

【分析】本题可分别写出n＝1，2，3，…，时的黑色瓷砖的块数，然后依此类推找出规律即可解决问题．
【解答】解：n＝1时，黑瓷砖的块数为：4；
n＝2时，黑瓷砖的块数为：6；
n＝3时，黑瓷砖的块数为：8；
…；
当n＝n时，黑瓷砖的块数为：2n+2．
故答案为2n+2．
18．（2020•清苑区一模）如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，…，依此递推，则第6层中含有正三角形个数是　66　，第n层中含有正三角形个数是　12n﹣6　．

【分析】分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
【解答】解：第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，
故第6层中含有正三角形的个数是6+12×5＝66（个），
第n层中含有正三角形个数是6+12（n﹣1）＝12n﹣6，
故答案为：66，12n﹣6．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2017秋•江岸区月考）用若干块边长为20cm的正三角形瓷砖和一块边长为20cm正六边形的瓷砖铺成一边长为1.2m的正六边形的地面，则需要这样的正三角形瓷砖多少块？
【分析】先分别求出大正六边形的地面、一块小正六边形的瓷砖、一块正三角形瓷砖的面积，再用（大正六边形的地面面积﹣一块小正六边形的瓷砖面积）÷一块正三角形瓷砖的面积即可．
【解答】解：∵边长为1.2m的正六边形的地面的面积为：×1202×6＝21600（cm2），
一块边长为20cm正六边形的瓷砖的面积为：×202×6＝600（cm2），
一块边长为20cm的正三角形瓷砖的面积为：×202＝100（cm2），
∴需要这样的正三角形瓷砖（21600﹣600）÷100＝210块．
20．（2021春•徐州期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌（简称镶嵌）．在生活中，我们运用镶嵌可以设计出美丽的图案．
（1）观察图①，我们发现：用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为 　360　°；
（2）如图②，长方形的长为2cm、宽为1cm，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该长方形周长的最小值是 　12　cm；


（3）如图③，用3个边长为1cm的正三角形和2个边长为1cm的正方形，可以镶嵌成1个七边形，请你画出该七边形的示意图．
【分析】（1）根据周角的定义即可得到结论；
（2）根据矩形的周长公式即可得到结论；
（3）根据周角的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为360°，
故答案为：360；
（2）如图，
长方形的长为2cm、宽为1cm，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该长方形周长的最小值是12（cm），
故答案为：12；

（3）七边形如图所示，

21．（2018秋•莆田期末）在数学活动课上，研究用正多边形镶嵌平面．请解决以下问题：
（1）用一种正多边形镶嵌平面
例如，用6个全等的正三角形镶嵌平面，摆放方案如图所示：

若用m个全等的正n边形镶嵌平面，求出m，n应满足的关系式；
（2）用两种正多边形镶嵌平面
若这两种正多边形分别是边长相等的正三角形和正方形，请画出两种不同的摆放方案；
（3）用多种正多边形镶嵌平面
若镶嵌时每个顶点处的正多边形有n个，设这n个正多边形的边数分别为x1，x2，…，xn，求出x1，x2，…，xn应满足的关系式．（用含n的式子表示）
【分析】（1）易求正n边形每个内角的度数，则m•＝360°，即可得出结果；
（2）因为三个正三角形的各一个角与两个正方形的各一个角对齐正好是360°，摆放即可得出图形；
（3）由++…+＝360°，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵正n边形的内角和为：180°（n﹣2），
∴每个内角的度数为：，
由题意得：m•＝360°，
整理得：m（n﹣2）＝2n，
即：2m+2n＝mn；
（2）边长相等的正三角形和正方形镶嵌平面，两种不同的摆放方案，如图所示：
（3）由题意得：++…+＝360°，
整理得：++…+＝2，
即：++…+＝．

22．（2019春•南召县期末）我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？
验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意：可得方程①：　　，
整理得②：　2x+3y＝8　，
我们可以找到方程的正整数解为③：　　．
结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着④　 　个正方形和⑤　 　个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
【分析】平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
【解答】解：猜想1：①：，
整理，得 ②2x+3y＝8，
整数解为③：
故答案为：，2x+3y＝8，；

结论1：④1 ⑤2
故答案为1，2；

猜想2：能．
设围绕某一个点有x个正三角形和y个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程，
整理得x+2y＝6
所以；，
即2个正三角形和2个正六边形，或4个正三角形和1个正六边形．
23．（2018春•黄岛区期末）数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？
问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法去进行探究．
探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．
第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．
第三类：选正六边形．（仿照上述方法，写出探究过程及结论）
探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第四类：选正三角形和正方形
在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成个周角．根据题意，可得方程
60x+90y＝360
整理，得2x+3y＝12．
我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为
镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌
第五类：选正三角形和正六边形．（仿照上述方法，写出探究过程及结论）
第六类：选正方形和正六边形，（不写探究过程，只写出结论）
探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？
第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．（不写探究过程，只写结论），
【分析】根据题意列出二元一次方程或三元一次方程，求出方程的正整数解，即可得出答案．
【解答】解：第三类，
∵正六边形的每个内角的度数是120°，
∴在镶嵌平面时，围绕某一点有3个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以用正六边形也可以进行平面图形的镶嵌；
第五类：设x个正三角形，y个正六边形，
则60x+120y＝360，
x+2y＝6，
正整数解是或，
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形（或4个正三角形和1个正六边形）的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；

第六类：设x个正方形，y个正六边形，
则90x+120y+＝360，
3x+4y＝12，
此方程没有正整数解，
即镶嵌平面时，不能在一个顶点周围围绕着正方形和正六边形的内角拼成一个周角，所以不能用正方形和正六边形进行平面镶嵌；

第七类：设x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，
则60x+90y+120z＝360，
2x+3y+4z＝12，
正整数解是，
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形、1个正六边的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌．
24．（2017•滦南县一模）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：

正多边形边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个内角的度数
　60°　
　90°　
　108°　
　120°　
…
　（180﹣）°　
（2）如果只限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
【分析】（1）利用正多边形一个内角＝180°﹣求解即可；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【解答】解：（1）正三角形每个内角的度数是60°，
正四边形每个内角的度数是90°，
正五边形每个内角的度数是108°，
正六边形每个内角的度数是120°，
正n边形每个内角的度数是（180﹣）°．
故答案为：60°，90°，108°，120°，（180﹣）°；

（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形．