初中数学19.4 综合与实践 多边形的镶嵌学案设计

第19章 四边形

19.4 综合与实践

多边形的镶嵌

【教学内容】平面图形的镶嵌，镶嵌的条件。

【教学目标】

知识与技能

平面图形的镶嵌，镶嵌的条件，通过探究正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、四边形能镶嵌平面的理由，以及多种正多边形能铺满地面的理由，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计，发展合情推理的能力，运用数学知识解决问题的能力(形成解决问题的策略)。

过程与方法

剪一些多边形进行拼接，通过具体操作、归纳总结得出多边形能铺满地面的条件.

情感、态度与价值观

通过讨论交流，合作探究多边形的镶嵌条件的过程，感受数学知识的价值， 增强应用意识，获得各种体验.让学生经历操作、实验、发现、确认等数学活动，体会数学观点，培养学生的数学意识。

【教学重难点】

重点：理解平面镶嵌的概念，探究用一种正多边形能够镶嵌的规律.

难点：通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律.

【导学过程】

【知识回顾】

教师：1、学生分组：4人2、镶嵌课件(搜集古今中外镶嵌实物图片).3、若干个彩色的全等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、任意三角形、任意四边形。

学生： 1、每小组准备若干个彩色的全等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、任意三角形、任意四边形；2、搜集、了解相关镶嵌知识.

【情景导入】

（课件展示）

老师：同学们是否觉得很奇怪，老师今天怎么对这个艺术家感兴趣了。告诉大家他可不是一般的画家，他是一个将艺术与数学融合一起的画家，也因此享誉世界。下面我们一起来欣赏一下他的作品。（学生欣赏图片）

老师：这些图案美不美？

学生：美！

老师：它们有什么共同点？我们挑一幅赏析一下。这幅图案是由哪些基本图形铺砌而成的？它们在拼接的时候有什么特点？（解释什么叫拼接点，为下面服务）

（学生各抒己见）

平面镶嵌概念提出：象这样，用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，在数学中叫做平面图形的密铺。又称作平面图形的镶嵌。

老师：数学来于生活，那么生活中有没有镶嵌现象呢？大家找找看。（学生找生活实例，如果学生回答的好，给予“你真是个有心人”···评价。）（展示图片）简单介绍蜂巢的知识让学生体会到自然界中，也蕴含着无穷的数学奥妙呢！

老师：只要我们注意观察，就会发现平面镶嵌在生活中处处存在。今天我们就从数学的角度来探索平面图形的镶嵌.(板书：19.4 多边形的镶嵌)

【新知探究】

探究一、探索用同一种正多边形镶嵌的规律

老师：是不是任意的多边形都可以通过镶嵌形成另一幅漂亮的图案呢？我们先来探索这个问题：“用若干个完全相同的等边三角形能否进行构成镶嵌图形？”学生四人为一小组，动手拼一拼。（学生动手实践得出正三角形能够进行密铺）

老师：正三角形为什么可以铺成一个平面？

（学生说理由，一般学生不会从拼接点处去考虑。可将图形分离一部分，引导学生看某个拼接点处的特点。）让学生得到 “正三角形的每个内角都为60°，把六个角拼到一起就在这个拼接点处形成了一个周角。”板书60°×6＝360°

老师：如果把上面问题中的正三角形分别换成正方形、正五边形、正六边形又怎么样呢？（学生动手拼）

老师：通过操作你有什么发现？（学生得出正五边形不能镶嵌）

老师：为什么正五边形不能镶嵌，其它的三种正多边形可以镶嵌？这其中有什么规律？

⑴填写表格，寻找规律

结合刚才的活动填写表格，寻找规律.

⑵分析表格，得出结论

（分析表格可得到：正三角形、正四边形、正六边形的内角度数分别是60°、90°、120°，它们都是360°的约数，说明在一个顶点处有整数个这样的正多边形镶嵌；而正五边形的内

探究二、任意两种多边形的镶嵌

老师：下面我们来看一个更具有挑战性的问题：“用若干个全等的任意三角形能否构成镶嵌图案？”猜猜看，下面动手试一试。

（学生操作，教师巡回指导，实物投影）

老师：为什么可以镶嵌？

（让学生自己分析，由上面的知识学生较容易得出：每个拼接点处有六个角，这六个角分别是这种三角形的内角和的两倍，也就是它们的和为360º。）

老师：你们在操作的过程中遇到了什么问题？（学生说出自己的困惑，及如何通过合作解决的。最后得出拼图时不仅要考虑角的问题，还要考虑到要能继续拼下去，那么相等的边必须重合在一起。教师可从学生中找个反例给学生看看）

老师：如果换成若干个任意四边形呢？让学生先猜一下再动手拼。（分析过程都有学生完成）

  老师：通过以上探索同学们议一议“能镶嵌的图形在一个拼接点处有什么特点？”

    （几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360º，并使相等的边互相重合。）

探究三、探索用不同正多边形镶嵌的规律

老师：镶嵌密铺是丰富多彩的，生活中我们经常看到这样的图案。（展示图片）漂亮吗？

       （带学生一起欣赏一些多边形组合镶嵌的图片）

老师：那是不是所有的多边形都可以组合起来镶嵌呢？我们看下面这个问题：在边长相等的正三角形、正方形、正六边形中，选择哪几种正多边形组合可以构成镶嵌？每种组合中各种图形需要几个？

  在边长相等的正三角形、正方形、正六边形中，选择哪几种正多边形组合可以构成镶嵌？每种组合中各种图形需要几个？

【知识梳理】

1.通过本节课的学习你学到了哪些知识？

⑴多边形能覆盖平面应满足的条件:拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.

⑵只用一种多边形进行平面镶嵌能够做到的有：任意三角形、任意四边形、正六边形；

2.你还有哪些收获？

巩固学习本章获得的一些研究方法，丰富自己研究策略和经验，并从中加深理解本章的数学知识.

【随堂练习】

1.现有一些正三角形，正方形，正六边形，正八边形地砖，选择其中两种镶嵌地面，则有(    )种选法.

A.1         B.2         C.3           D.4

2.小刚和爸爸到市场买地板砖，准备装修新居，该市场有五种型号的正多边形地砖，它们的内角分别是60°、90°、108°、120°、150°，如果只选一种，这些地砖哪些适用?如果选用两种呢?说说你的方案.