专题18 四边形 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用）

这是一份专题18 四边形 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用），共55页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

专题18 四边形 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用）
一、单选题
1．（2022·广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（　　）

A．62 B．32 C．2-3 D．6-22
2．（2022·深圳）下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
3．（2022·广东）如图，在 ▱ABCD 中，一定正确的是（　　）

A．AD=CD B．AC=BD C．AB=CD D．CD=BC
4．（2022·广东模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于点F．下列结论中，正确的结论有（　　）

①BP⊥AP；②BP·EC= PC·AB；③13S△ABP=12S四边形PBCF ；④sin∠PCF= 725
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2022·深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且 GCBG=12 ，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE=3，则DF的长为（　　）

A．22 B．453 C．92 D．352
6．（2022·花都模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，则∠BAD的正弦值为（　　）

A．35 B．1225 C．2425 D．65
7．（2022·海珠模拟）如图，平行四边形ABCD的周长是32，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（　　）

A．16 B．14 C．22 D．18
8．（2022·南海模拟）如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF=2，则四边形AECF的周长等于（　　）

A．20 B．202 C．30 D．434
9．（2022·福田模拟）如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF=∠C．若DE=4，AF=73，则BC的长是（　　）

A．163 B．92 C．6 D．214
10．（2022·濠江模拟）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（　　）

A．13 B．15 C．17 D．19
二、填空题
11．（2022·广州）如图，在□ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为　 　

12．（2022·南海模拟）若一个正n边形的一个内角与和它相邻的外角的度数之比是3：1，那么n=　 　．
13．（2022·花都模拟）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论：①AE=BC；②若AE=4，CH=5，则CE＝25；③EF=AE+DH；④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG=6：5．其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）．

14．（2022·高州模拟）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝　 　．

15．（2022·宝安模拟）图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝　 　．

16．（2022·南沙模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，延长AD至点E使得AE＝AB，连接BE交CD于点F，连接并延长AF，交CE于点G．下列结论：①△BAD≌△EBC；②BD＝AF；③BD⊥AG；④若AD＝2DE，则FGCG=12．其中，正确的结论是 　 　．（请填写所有正确结论的序号）

17．（2022·濠江模拟）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为　 　．

18．（2022·中山模拟）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC=3，∠ADC=120° ，点E为对角线 AC 上的一动点，则 EA+EB+ED 的最小值为　 　．

19．（2022·封开模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的面积为12，点 B 在 y 轴上，点 C 在反比例函数 y=kx （ x<0 ）的图象上，则 k 的值为　 　．

20．（2022·宝安模拟）如图，在 ▱ABCD 中对角线 AC ， BD 交于点O， AF 平分 ∠BAC ，交 BD 于点E，交 BC 于点F，若 BE=BF=2 ，则 AD=　 　．

三、综合题
21．（2022·广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．

（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=3DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由．
22．（2022·深圳）
（1）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG

（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．

（3）【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为CD边上的三等分点，∠D=60°，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求CP的长．

23．（2022·深圳模拟）如图

图1 图2 图3
（1）问题背景：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，若∠ACD=∠B．
求证：AC2=AD·AB；
（2）尝试应用：如图2，在△ABC中，AB=9，AC=6，D为AB上一点，点E为CD上一点，且 DEEC=12 ，∠ACD=∠ABE，求BD的长：
（3）拓展创新：如图3， ▱ABCD 中，E是AB上一点，且 AEBE=12 ，EF∥AC，连接DE，DF，若∠EDF=∠BAC，DF= 56 ，直接写出AB的长．
24．（2022·南海模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）当AB=4，BC=8时，求线段EF的长．
25．（2022·广州模拟）如图，矩形ABCD中AB=10，AD=6，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为G，延长EG交直线DC于点F，再把△BEH沿EH翻折，使点B的对应点T落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．

（1）求证：△GDE∽△TEH；
（2）若点G落在矩形ABCD的对称轴上，求AE的长；
（3）是否存在点T落在DC边上？若存在，求出此时AE的长度，若不存在，请说明理由．
26．（2022·顺德模拟）如图

（1）动手操作：如图1，将一张长方形的纸对折两次，然后沿45°的方向剪下一个角，打开，剪出的是一个　 　形．再利用图形的“旋转”开展数学探究活动，体会图形在旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法；
（2）问题探究：如图2，由“动手操作”所得的四边形ABCD的对角线相交于点O，把一个与它全等的四边形OGHM绕点O旋转，OG交AB于E，OM交BC于F．探究线段OE，OF之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展迁移：如图3，矩形ABCD的对角线交点为O，直角∠EOF的边OE，OF分别与边AB，BC相交于E，F．设ABBC=k（k为常数），探究线段OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
27．（2022·潮南模拟）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点N．点M是对角线BD的中点，连接AM，CM．如果AM=DC，AB⊥AC，且AB=AC．

（1）求证：四边形AMCD是平行四边形；
（2）延长AM交BC于点E，求MEBE的值．
28．（2022·澄海模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF．

（1）求证：△MHN∽△BCF；
（2）若HN=32，求DF的长；
（3）若DF=12CF，求折叠后重叠部分的面积．
29．（2022·蓬江模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB关于AB的对称图形为△AEB．

（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）连接CE，若AB=6cm，CB=21cm．
①求sin∠ECB的值；
②若点P为线段CE上一动点（不与点C重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以2.5cm/s的速度沿线段PC匀速运动到点C，到达点C后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点C所需要的时间最短时，求CP的长和点Q走完全程所需的时间．
30．（2022·新会模拟）如图，在△ABC中， D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE， CF．求证：

（1）四边形AFCE是平行四边形：
（2）FG⋅BE=CE⋅AE．

答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接EF，

∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB=BC=CD=AD=3，∠ABC=90°=∠A=∠D，
∵CE=1，
∴DE=3-1，
∴tan∠EBC=CEBC=13=33，
∴∠EBC=30°，
∴∠ABE=90°-30°=60°，
∵AF平分∠ABE，
∴∠ABF=12∠ABE=30°，
∴AF=AB·tan30°=3×33=1，
∴DF=3-1，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴EF=2DE=2(3-1)=6-2，
∵M，N分别为BE，BF的中点，
∴MN=12EF=6-22.
故答案为：D
【分析】利用锐角三角函数先求出AF=1，再求出△DEF为等腰直角三角形，最后求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形，矩形，正方形的判定，圆周角对每个选项一一判断即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC
故答案为：C．

【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：①由折叠的性质得：BE=EP，
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE=3，
∴AE=BE=EP=3，
∴∠EAP=∠EPA，∠EBP=∠EPB，
∵∠EAP+∠EPA+∠EBP+∠EPB=180°，
∴∠APB=90°，
∴BP⊥AP，故①正确；
②由折叠的性质得：∠EPC=∠EBC=90°，∠ECP=∠ECB，CE⊥BP，PC=BC=4，
∴∠APB=∠EPC，∠ABP=∠ECB=∠ECP，
∴△CPE∽△BPA，
∴PCBP=ECAB，
∴BP·EC=PC·AB，故②正确；
③∵CE⊥BP，BP⊥AP，
∴CE∥AF，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF=AE=3，AF=CE，
∵∠EPC=90°，PC=4，EP=3，
∴CE=AF=5，
∵△CPE∽△BPA，
∴PCBP=ECAB=PEPA，
∴4BP=56=3PA，
∴BP=245，PA=185，
∴S△ABP=12×245×185=21625， S四边形PBCF=3+6×42=18，
∴ S四边形PBCF=18-21625=23425，
∴13S△ABP=280825=12S四边形PBCF，故③正确 ；
④如图，过点P作PM⊥CD于点M，

∴△PFM∽△AFD，
∴PMAD=PFAF，
∵AF=5，PA=185，
∴PF=75
∴PM4=755，
∴PM=2825，
∴sin∠PCF=PMPC=28254=725，故④正确，
∴正确的个数有4个.
故答案为：A.
【分析】①根据折叠的性质和等腰三角形的性质得出∠EAP=∠EPA，∠EBP=∠EPB，从而得出∠APB=90°，得出BP⊥AP，即可判断①正确；
②证出△CPE∽△BPA，得出PCBP=ECAB，从而得出BP·EC=PC·AB，即可判断②正确；
③证出四边形AECF是平行四边形，得出CF=AE=3，AF=CE=5，根据相似三角形的判定与性质得出BP=245，PA=185，求出S△ABP=12×245×185=21625，S四边形PBCF=18-21625=23425，从而得出13S△ABP=280825=12S四边形PBCF，即可判断③正确 ；
④过点P作PM⊥CD于点M，根据相似三角形的判定与性质得出PM=2825，再根据锐角三角函数的定义得出sin∠PCF=725，即可判断④正确.

5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥AD于点M，

设CG=x，
∵CGBG=12，
∴BG=2x，
∴BC=3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=3x，∠EAM=∠CAD=45°，∠ADC=∠BCD=90°，
∴AM=EM，AC=32x，
∵AM2+EM2=AE2=32，
∴AM=EM=322，
∴DM=3x+322，
∵DE⊥DG，∠ADC=90°，
∴∠CDG=∠MDE，
∵∠DME=∠BCD=90°，
∴△DCG∽△DME，
∴CDDM=CGME，
∴3x3x+322=x322，
∴x=2，
∴DG=25，
∵AD∥BC，
∴GFDF=CGAD=13，
∴DF=34DG=352.
故答案为：D.

【分析】过点E作EM⊥AD于点M，设CG=x，根据正方形的性质得出AD=CD=BC=3x，∠EAM=∠CAD=45°，∠ADC=∠BCD=90°，根据勾股定理得出AM=EM=322，从而得出DM=3x+322，再证出△DCG∽△DME，得出CDDM=CGME，从而得出x=2，得出DG=25，再根据GFDF=CGAD=13，得出DF=34DG=352.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过B作BQ⊥AD于Q，

∵ 菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，
∴S=12AC·BD=24，OA=OC=4，OB=OD=3，AB=AD，
∴AB=32+42=5=AD，
∴AD·BQ=24，
∴BQ=245，
∴sin∠BAD=BQAB=2455=2425.
故答案为：C．
【分析】过B作BQ⊥AD于Q，先求出AB和BQ的长，再利用正弦的定义可得sin∠BAD=BQAB=2455=2425。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=12BD，
∵点E是AD的中点，
∴DE=12AD，OE=12AB，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴AD+AB=16，
∵BD＝12，
∴△DOE的周长等于DO+DE+OE=12BD+12AD+12AB=12(BD+AD+AB)=12×(12+16)=14．
故答案为：B
【分析】根据中点和中位线的性质可得DE=12AD，OE=12AB，再利用平行四边形的性质可得AD+AB=16，再结合BD=12，利用三角形的周长公式可得答案。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AC，AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝10，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，AC⊥EF
∵DE=BF=2，
∴OE＝OF＝OD－DE＝3，
在Rt△COE中，
CE2=CO2+OE2
∴CE=CO2+OE2=52+32=34
∵AO＝CO，OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形
∵ AC⊥EF
∴四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF＝34
∴四边形AECF的周长＝434
故答案为：D

【分析】连接AC，AC与BD相交于点O，先利用勾股定理求出CE的长，再证明四边形AECF是菱形，即可得到四边形AECF的周长为434。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C．
∵∠DEF=∠C，
∴∠DEF=∠A．
∵∠EDF=∠ADE，
∴△DFE∽△DEA．
∴DEDF=ADDE．
∴DE2=DF⋅AD，
∵DE=4，AF=73，
∴DF=AD-73．
∴42=(AD-73)⋅AD，
∴AD=163，AD=-3（舍去）．
∴BC=AD=163．
故答案为：A．
【分析】先证明△DFE∽△DEA可得DEDF=ADDE求出DF=AD-73，再结合42=(AD-73)⋅AD求出AD的长即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF均为△ABC的中位线，
∴DE=12BC=BF，EF=12AB=BD，
∵ AB＝10，BC＝9，
∴DE=BF=92，EF=BD=10，
∴四边形DBFE的周长=DB+BF+FE+DE=19．
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE=12BC=BF，EF=12AB=BD，求出DE=BF=92，EF=BD=10，再利用四边形的周长公式求解即可。
11．【答案】21
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，BC=AD=10，
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∵BC=10，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21．
故答案为：21．
【分析】根据题意先求出OC+BO=11，再求三角形的周长即可。
12．【答案】8
【解析】【解答】解：设和它相邻的外角的度数为x，则这个内角为3x，根据题意得：
x+3x=180°，
解得：x=45°，
∴n=360°45°=8．
故答案为：8

【分析】设和它相邻的外角的度数为x，则这个内角为3x，利用邻补角求出x的值，再利用多边形的外角和除以外角的度数可得边数。
13．【答案】①②
【解析】【解答】①∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠AEF=∠BCE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠DAE=45°，
∴AD=AE=BC，
∴△AEF≅△BCE，
∴AE=BC，故①符合题意；
②∵△AEF≅△BCE，
∴EF=BC，
∴矩形EFGC是正方形，
∴CE=CG，
∵∠DCG=∠BCE=90°-∠DCE，
∴△GCH∼△BCE，
∴CGCB=CHCE，
∵AE=4，CH=5，
∴CB=AE=4，
∴CE4=5CE，
∴CE=25，故②符合题意；
③设CB=a，CE=b，则CB=AE=AD=a，CE=CG=EF=b，
∴BE=CE2-CB2=b2-a2，
∴CD=AB=AE+BE=a+b2-a2，
∵△GCH∼△BCE，
∴CGCB=CHCE，
∴ba=CHb，
∴CH=b2a，
∴DH=DC-CH=a+b2-a2-b2a，
∴AE+DH=a+a+b2-a2-b2a=2a+b2-a2-b2a，
∵EF=b，a、b的关系不固定，
∴2a+b2-a2-b2a=b不一定成立，
∴EF=AE+DH不一定成立，故③不符合题意；
④当F是AD的中点时，BE=AF=12AD=12a=b2-a2，
∴4b2=5a2，即a2b2=45，
∴S四边形ABCDS四边形CEFG=CB2CE2=a2b2=45，故④不符合题意；
综上所述，正确的是①②；
故答案为：①②．
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质及四边形的综合题逐项判断即可。
14．【答案】20°
【解析】【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，
∴BC＝AB，∠BCA＝12∠DCB＝35°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BCA＝35°，
∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，
∴∠FAB＝55°，
∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20°．
【分析】根据菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题。
15．【答案】2+22
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BFE，
∵BE＝BF＝2，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠AED＝∠BFE＝∠DAF，
∴AD＝DE，
设∠BEF＝∠AED＝∠DAF＝x，
又∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠CAF＝x﹣y，
∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF＝x﹣y，
∴∠DBA＝∠DAO，
又∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
设AD＝DE＝m，
∴ADBD=DODA，
∴BD＝BE+DE＝2+m，
∴DO＝12BD＝12（2+m），
∴m2+m=12(2+m)m，
∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，
∴m1＝2+22，m2＝2﹣22＜0（舍），
经检验m＝2+22是分式方程的解，
∴AD＝2+22，
故答案为：2+22．
【分析】先证明△ADO∽△BDA，设AD＝DE＝m，则ADBD=DODA，求出BD＝BE+DE＝2+m，DO＝12BD＝12（2+m），再将数据代入可得m2+m=12(2+m)m，求出m的值即可得到答案。
16．【答案】①②④
【解析】【解答】∵∠BAD＝60°，AE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=BA，∠BEA＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝60°，BC∥AD，BC=AD，
∴∠BEA=∠CBE=60°，BC∥AD，BC=AD，
∴△CBF都是等边三角形，
∴BF=BC=CF=AD，
∴△BAD≌△EBC，
故结论①符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥AB，
∵∠EAB=∠ABE=60°，
∴∠BFD=∠ADF=120°，
∵BF=AD，DF=FD，
∴△FBA≌△DAB，
∴BF=AD，
故结论②符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥AB，BC∥AD，
∴∠CBD=∠BDA=60°+∠FBD，∠BDF=∠ABD=60°-∠FBD，
∴∠CBD≠∠BDF，
若BD⊥AG，则∠BDA+∠FAD=90°，
∴2∠BDA+2∠FAD=180°，
∴BD是∠ADC的角平分线，
∴∠CBD=∠BDF，矛盾，
故结论③不符合题意；

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥AB，BC∥AD，
∴∠FDE=∠FCB=60°，∠DEF=∠FBC=60°，
∴△EDF都是等边三角形，
∴FE=FD=ED，
∵AD=CF，∠CFE=∠ADF=120°，
∴△FDA≌△EFC，
∴∠GCF=∠DAF，
∵∠GFC=∠DFA，
∴△GCF∽△DAF，
∴FGFD=CGAD，
∴FGCG=FDAD=EDAD，
∵AD=2DE，
∴FGCG=12，
故结论④符合题意；
故答案为：①②④．
【分析】利用平行四边形的性质和判定、相似三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质逐项判断即可。
17．【答案】203
【解析】【解答】设BC交AE于点G，AD交CF于点H

∵四边形ABCD是矩形，四边形AECF是矩形
∴AH∥GC，AG∥CH
∴四边形AGCH是平行四边形
∵四边形ABCD和四边形AECF是全等的矩形
∴AB=CE
在△ABG和△CEG中
∠B=∠E∠ABG=∠CGEAB=CE
∴△ABG≅△CEG(AAS)
∴AG=CG
∴平行四边形AGCH是菱形
∵BG+CG=6
∴BG+AG=6
设AG=CG=x，BG=6-x
在Rt△ABG中
∵∠B=90°
∴(6-x)2+22=x2
解得：x=103
∴菱形AGCH的面积：AB⋅CG=2×103=203．
故答案为：203．
【分析】设BC交AE于点G，AD交CF于点H，先利用“AAS”证明△ABG≅△CEG，再证明平行四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，BG=6-x，利用勾股定理列出方程(6-x)2+22=x2，求出x的值，最后利用菱形的面积公式计算即可。
18．【答案】3
【解析】【解答】如图，过点 E 作 AD 的垂线 EF ，垂足为 F ，过点 D 作 DO⊥AC ，

∵AC=3，∠ADC=120°
∵Rt△ADO 中， ∠ADO=12ADC=60°
∠DAO=30°
∴AD=2DO
∴AO=3DO ， AO=32
∴AD=2DO=233×32=3
∵∠DAC=30°
∴EA+EB+ED=EA+2EB=2(12EA+EB)=2(EF+EB)≥2FB
如图，当 BF⊥AD 时， BF 最小，最小值为 FB=AB×32=32

∴EA+EB+ED 的最小值为 2FB=3 ．
故答案为：3

【分析】过点 E 作 AD 的垂线 EF ，垂足为 F ，过点 D 作 DO⊥AC ，先利用含30°角的直角三角形的性质可得 EA+EB+ED=EA+2EB=2(12EA+EB)=2(EF+EB)≥2FB，当 BF⊥AD 时， BF 最小，最小值为 FB=AB×32=32，再求出EA+EB+ED 的最小值为2FB=3。
19．【答案】-6
【解析】【解答】解：连接AC，交y轴于点D，如图所示：

∵四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OB、AC互相平分，
∵菱形OABC的面积为12，
∴S△OCD=14S菱形OABC=14×12=3 ，
由反比例函数k的几何意义可知： S△OCD=12|k|=3 ，
解得 k=±6 ，由图象可知 k=-6 ．
故答案为：-6．

【分析】连接AC，交y轴于点D，根据菱形的性质可得S△OCD=14S菱形OABC=14×12=3，再利用反比例函数k的几何意义可得S△OCD=12|k|=3，从而求出k的值即可。
20．【答案】2+22
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD ∥ BC，OD＝ 12 BD
∴∠DAE＝∠BFE
∵ BE＝BF
∴△BEF是等腰三角形
∴∠BEF＝∠BFE
∴∠DAE＝∠BEF
∵∠BEF＝∠AED
∴∠DAE＝∠AED
∴△ADE是等腰三角形
∴AD＝DE
∵∠AED是△ABE的外角
∴∠AED＝∠ABE＋∠BAE
∵AF 平分 ∠BAC
∴∠BAE＝∠CAE
∴∠AED＝∠ABE＋∠CAE
∵∠AED＝∠DAE＝∠OAD＋∠CAE
∴∠ABE＝∠OAD
∵∠ADO＝∠BDA
∴△ADO∽△BDA
∴ADBD=ODAD
设AD ＝x，则DE＝AD＝x，BD＝DE＋BE＝x＋2，
∴xx+2=12(x+2)x
解得x1＝ 2+22 ，x2＝ 2-22 （不合题意，舍去）
∴ x＝ 2+22
∴AD＝ 2+22
故答案为： 2+22

【分析】先证明△ADO∽△BDA可得ADBD=ODAD，设AD ＝x，则DE＝AD＝x，BD＝DE＋BE＝x＋2，可得xx+2=12(x+2)x，再求出x的值，即可得到AD的长。
21．【答案】（1）解：连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°=6×32=33，
∴BD=2BO=63；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=63；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=12BE
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=MN⋅BC，
∴MN=33，
设BE=x，则EN=12x，
∴EM=MN-EN=33-12x，
∵S菱形ABCD= AD▪MN=6×33=183，
∴S△ABD= 12S菱形ABCD=93，
∵BE=3DF，
∴DF=BE3=33x，
∴S△DEF=12DF ▪EM=12⋅33x(33-12x) =-312x2+32x，
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF =93-（-312x2+32x）=312(x-33)2+2734，
∵点E在BD上，且不在端点，∴0 ①当CE⊥AB时，
∵OB⊥AC，
∴点E是△ABC重心，
∴BE=CE=23BO=23×33=23，
此时s=312(23-33)2+2734 =73，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为73；
②作CH⊥AD于H，如图，

∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AH=DH=3，
∴CH=33，
∵s=312(x-33)2+2734，
∴当x=33，即BE=33时， s达到最小值，
∵BE=3DF，
∴DF=3，
此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+3CF的值达到最小，
其最小值为CO+3CH=3+3×33=12．
【解析】【分析】（1）先求出 △ABC是等边三角形， 再利用锐角三角函数BO的值，最后求出BD的值即可；
（2）①利用三角形的面积公式求出s，再求出 点E是△ABC重心， 最后求解即可；
②根据题意先求出 △ACD是等边三角形， 再求出 DF=3， 最后求最小值即可。
22．【答案】（1）解：∵将ΔAEB沿BE翻折到ΔBEF处，四边形ABCD是正方形，
∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=90°=∠C，
∵AB=BC=BF，BG=BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；
（2）解：延长BH，AD交于Q，如图：

设FH=HC=x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，
∴82+x2=(6+x)2，
解得x=73，
∴DH=DC-HC=113，
∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，
∴ΔBFG∽ΔBCH，
∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，
∴BG=254，FG=74，
∵EQ//GB，DQ//CB，
∴ΔEFQ∽ΔGFB，ΔDHQ∽ΔCHB，
∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736-73，
∴DQ=887，
设AE=EF=m，则DE=8-m，
∴EQ=DE+DQ=8-m+887=1447-m，
∵ΔEFQ∽ΔGFB，
∴EQBG=EFFG，即1447-m254=m74，
解得m=92，
∴AE的长为92；
（3）解：（Ⅰ）当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：

设DQ=x，QE=y，则AQ=6-x，
∵CP//DQ，
∴ΔCPE∽ΔQDE，
∴CPDQ=CEDE=2，
∴CP=2x，
∵ΔADE沿AE翻折得到ΔAFE，
∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，
∴AE是ΔAQF的角平分线，
∴AQAF=QEEF，即6-x6=y2①，
∵∠D=60°，
∴DH=12DQ=12x，HE=DE-DH=2-12x，HQ=3DH=32x，
在Rt△HQE中，HE2+HQ2=EQ2，
∴(1-12x)2+(32x)2=y2②，
联立①②可解得x=34，
∴CP=2x=32；
（Ⅱ）当CE=13DC=2时，延长FE交AD延长线于Q'，过D作DN⊥AB交BA延长线于N，如图：

同理∠Q'AE=∠EAF，
∴AQ'AF=Q'EEF，即6+x6=y4，
由HQ'2+HD2=Q'D2得：(32x)2+(12x+4)2=y2，
可解得x=125，
∴CP=12x=65，
综上所述，CP的长为32或65．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
23．【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
∴ABAC=ACAD
∴AC2=AD⋅AB
（2）解：过点E作EF∥AC分别交AB于点F.

∴△DFE∽△DAC
∵DECE=12
∴EFCA=DFDA=DEDC=13
∴EF= 13 AC=2
∴设DF=x，则FA=2x，FB=9-2x
∵MN∥AC
∴∠ACD=∠FED
又∵∠ACD=∠ABE
∴∠FED=∠FBE
∴△FEB∽△FDE
∴EF2=FD⋅FB∴22=x(9-2x)
∴x1=4 ， x2=12
① 当x=4时，BD=9-3x=-3（舍去）
② 当 x=12 时，BD=9-3x= 152
∴BD的长为 152 .
另解：过点C作CM∥BE交AB的延长线于点M.
（3）解： 454
【解析】【解答】解：（3）延长EF交DC的延长线于N. 则□AENC，△BEF∽△CNF

∴AE=CN，∠N=∠BAC
∵AEBE=12
∴设AE=CN=x，则BE=2x，CD=3x，DN=4x.
设EF=2y，则NF=y，EN=3y
∵∠EDF=∠BAC
∴∠EDF=∠N
∴△DEF∽△NED
∴ED2=EN⋅EF =3y·2y= 6y2
∴ED= 6y
∴DENE=DFND 即 6y3y=564x
∴x= 154
∴AB=3x= 454 .
【分析】（1）证出△ABC∽△ACD，得出ABAC=ACAD，即可得出答案；
（2）过点E作EF∥AC分别交AB于点F，得出△DFE∽△DAC，求出EF的长， 设DF=x，得出FA=2x，FB=9-2x，再证出△FEB∽△FDE，得出EF2=FD·FB，从而得出一元二次方程，解方程求出x的值，再求出BD的长，即可得出答案；
（3）延长EF交DC的延长线于点N， 得出四边形AENC是平行四边形，△BEF∽△CNF，从而得出AE=CN，∠N=∠BAC，设AE=CN=x，EF=2y，得出BE=2x，CD=3x，DN=4x，NF=y，EN=3y，证出△DEF∽△NED，得出ED2=EN⋅EF=3y·2y= 6y2，从而得出ED=6y，再根据DENE=DFND 得出 6y3y=564x，求出x的值，即可得出AB的长.
24．【答案】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，AF=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，
∵在矩形中有BC∥AD，
∴∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，
∴∠EAC=∠ECA=∠CAF=∠FCA，
∴∠ECF=∠EAF，
∴∠CFD=∠EAF，
∴AE∥CF，
再结合BC∥AD，可知四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形；
（2）解：根据（1）的结论，平行四边形AFCE是菱形，
∴EF、AC相互垂直平分，且AE=EC=CF=FA，
∴EF=2OE，AC=2OA，
∵BC=8，AB=4，
∴BE=BC-EC=8-EC=8-AE，AC=AB2+BC2=42+82=45，
∴OA=25，
在Rt△ABE中，利用勾股定理，有AE2＝BE2+AB2，
即：AE2＝(8-AE)2+42，解得：AE=5，
∴在Rt△AOE中，利用勾股定理，有AE2＝OE2+AO2，
根据AE=5，OA=25，可得OE=5，
∴EF=25．
【解析】【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再结合AE=EC，即可得到平行四边形AFCE是菱形；
（2）先利用线段的和差求出BE的长，再利用勾股定理求出AC的长，然后求出AE的长，最后根据AE2＝OE2+AO2求出AE和OA的长，即可得到OE的长，再求出EF的长即可。
25．【答案】（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE=∠DGE=90°，∠EBH=∠ETH=90°，∠AED=∠GED，∠BEH=∠TEH，
∴∠DEG+∠HET=90°．
又∵∠HET+∠EHT=90°，
∴∠DEG=∠EHT，
∴△GDE∽△TEH；
（2）解：当点G落在如图的矩形ABCD的对称轴MN上时，

∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴点G是EF的中点，即GE=GF，
在△GDE和△GDF中
DG=DG∠DGE=∠DGF=90°GE=GF，
∴△GDE≌△GDF（SAS），
∴DE=DF，∠FDG=∠EDG，
又∵△ADE≌△GDE，∠ADF=90°．
∴∠ADE=∠EDG=∠FDG=30°，
∴AE=ADtan30°=23；
当点G落在如图的矩形ABCD的对称轴PQ上时，P、Q分别是AB、CD的中点，

∴DQ=AP=5，DG=AD=PQ=6，
∴QG=62-52=11，
∴PG=6-11，
设AE=a，则GE=a，PE=5-a，
∴GE2=PE2+PG2，即a2=(5-a)2+(6-11)2，
解得：a=36-6115；即AE=36-6115；
综上，AE的长为23或36-6115；
（3）解：假设存在点T落在DC边上，此时点T与点F重合，过点T作TI⊥AB于点I，如图：

设AE=x，则GE=x，BE=TE=10-x，TI=AD=DG=6，
∴GT=10-2x，
∴DT2= DG2+TG2，即DT=62+(10-2x)2，
∵∠IET=∠GTD，
∴sin∠IET=TIET=DGDT，即610-x=662+(10-2x)2，
∴62+(10-2x)2=10-x，整理得3x2-20x+36=0，
∵△=b2-4ac=(-20)2-4×3×36=-32<0，
∴不存在这样的点T落在DC边上．
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）分两种情况：①当点G落在如图的矩形ABCD的对称轴MN上时，②当点G落在如图的矩形ABCD的对称轴PQ上时，P、Q分别是AB、CD的中点， 再分别画出图象并求解即可；
（3）假设存在点T落在DC边上，此时点T与点F重合，过点T作TI⊥AB于点I，设AE=x，则GE=x，BE=TE=10-x，TI=AD=DG=6，再根据sin∠IET=TIET=DGDT，可得610-x=662+(10-2x)2，化简可得3x2-20x+36=0，再利用根的判别式求解即可。
26．【答案】（1）正方
（2）解：OE=OF，理由如下：
由（1）得四边形ABCD为正方形，
∴四边形OMHG为正方形，
∴OB=OC，∠OCB=∠OBA=45°，
∵∠COB=∠MOE=90°，
∴∠COF+∠FOB=∠FOB+∠GOB，
∴∠COF=∠GOB，
∴∆OEB≌∆OFC，
∴OE=OF；
（3）解：如图所示，过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，

∴∠OME=∠ONF=∠ONB=90°，
∵∠MBN=90，
∴四边形BMON是矩形，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOE+∠EON=∠NOF+∠EON，
∴∠MOE=∠NOF，
∴∆OME~∆ONF，
∴OEOF=OMON，
∵AO=OC，OM∥BC，
∴AM=MB，
∴OM=12BC，
同理可得ON=12AB，
∴OEOF=12BC12AB=k，
∴OE=kOF．
【解析】【解答】(1)解：一张长方形的纸对折两次，然后沿45°的方向剪下一个角，
∴剪下的这个三角形为等腰直角三角形，
将其展开后，这个图形为正方形，
故答案为：正方形；

【分析】（1）根据折叠的性质和剪纸的特征求解即可；
（2）证明∆OEB≌∆OFC，可得OE=OF；
（3）过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，先证明∆OME~∆ONF，可得OEOF=OMON，再结合AM=MB，求出OM=12BC，同理得到ON=12AB，再将数据代入可得OEOF=12BC12AB=k，化简即可得到OE=kOF。
27．【答案】（1）证明：∵点M是BD的中点，∠BCD=90°，
∴CM是Rt△BCD斜边BD的中线，
∴CM=BM=MD．
在△AMB和△AMC中，
∵BM=CMAM=AMAB=AC，
∴△AMB≌△AMC(SSS)，
∴∠BAM=∠CAM．
∵BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠BAM=∠CAM，
∴∠CAM=45°．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠DCA=∠BCD-∠ACB=45°．
∴∠DCA=∠CAM．
∴AM∥CD．
又AM=CD，
∴四边形AMCD为平行四边形．
（2）解：如图，延长AM交BC于点E．

∵AB=AC，∠BAC=90°，
又∵（1）中已证∠BAM=∠CAM，
∴AE⊥BC， E为BC的中点．
∵点M是BD的中点，点E是BC的中点，
∴ME是△BCD的中位线，
∴CD=2ME．
又∵AM=DC，
∴AM=2ME．
∴ME=13AE．
设AE=a，则BE=AE=a，ME=a3，
∴MEBE=a3a=13．
【解析】【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（2）延长AM交BC于点E，先证明CD=2ME，再证明ME=13AE，设AE=a，则BE=AE=a，ME=a3，最后求解即可。
28．【答案】（1）证明：如图，由折叠可知BF⊥MN，
∴∠BOM=90°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHP=∠MHN=90°-∠BOM，
∵∠BPH=∠OPM，
∴∠CBF=∠NMH，
∵在矩形ABCD中，∠C=90°-∠MHN，
∴△MHN∽△BCF
（2）解：∵在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°-∠BHM，
∴四边形ABHM是矩形，
∴MH=AB=6，
∵△MHN∽△BCF，
∴HNCF=MHBC，
∴32CF=68，
∴CF=2，
∵CD=6，
∴DF=4
（3）解：如图，连接FM，

∵DF=12CF，CD=6，
∴DF=2，CF=4，
∴在Rt△BCF中，BF=CF2+BC2=42+82=45，
∴OF=25，
设FN=x，则BN=x，CN=8-x，
在Rt△FCN中，由勾股定理得：FN2=CN2+CF2，
∴x2=(8-x)2+42，
∴x=5，
∴BN=FN=5，CN=3，
∵∠NFE=∠ABC=90°，
∴∠CFN+∠DFQ=90°，
∵∠CFN+∠CNF=90°，
∴∠DFQ=∠CNF，
∵∠D=∠C=90°，
∴△QDF∽△FCN，
∴QDFC=DFCN，即QD4=23，
∴QD=83，
∵HNHM=tan∠HMN=tan∠CBF=CFBC，
∴HNHM=CFBC，
∴HN6=48，
∴HN=3，
∴在Rt△MNH中，MN=MH2+NH2=62+32=35，
∵CH=MD=HN+CN=3+3=6，
∴MQ=DM-QD=6-83=103，
∴折叠后重叠部分的面积为：
S△MNF+S△MQF
=12MN⋅OF+12MQ⋅DF
=12×35×25+12×103×2
=553.
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定方法求解即可；
（2）根据△MHN∽△BCF可得HNCF=MHBC，将数据代入可得32CF=68，求出CF=2，再利用线段的和差可得DF=4；
（3）设FN=x，则BN=x，CN=8-x，利用勾股定理可得x2=(8-x)2+42求出x=5，再根据△QDF∽△FCN可得 QDFC=DFCN，即QD4=23， 求出QD=83，再根据HNHM=tan∠HMN=tan∠CBF=CFBC可得HNHM=CFBC，求出HN=3，再求出MQ=DM-QD=6-83=103，最后利用割补法可得折叠后重叠部分的面积=S△MNF+S△MQF，再计算即可。
29．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴OD=OB=OC=OA，
∵△AEB和△AOB关于AB对称，
∴AE=BO，BE=AO，
∴AE=BE=OA=OB，
∴四边形AEBO是菱形
（2）解：①设AE交CD于K，

∵四边形AEBO是菱形，
∴BE∥AC，BE=OC=OA，
∴△BKE∽△AKC，
∴BKKA=BEAC=12，
∵AB=CD=6，
∴BK=2，AK=4，
在Rt△BCK中，CK=BC2+BK2=(21)2+22=5，
∴sin∠ECB=BKCK=25；
②作PF⊥AD于F，

∴PF=CP•sin∠ECB=25CP，
∵点Q的运动时间t=OP1+CP2.5=OP+25CP=OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF恰是△ABC的中位线，
∴OF=12AB=3，CF=12BC=212，PF=12BK=1，CP=12CK=52，OP=12AK=2，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，CP的长为52cm，
点Q走完全程所需的时间为3s．
【解析】【分析】（1）先证明OD=OB=OC=OA，再结合AE=BO，BE=AO，可得AE=BE=OA=OB，从而得到四边形AEBO是菱形 ；
（2）①设AE交CD于K，先证明△BKE∽△AKC，可得BKKA=BEAC=12，再结合AB=CD=6，求出BK=2，AK=4，利用勾股定理求出CK的长，最后利用正弦的定义可得sin∠ECB=BKCK=25；
②作PF⊥AD于F，当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF恰是△ABC的中位线，再求出OF，CF，PF，CP和OP的长，最后求解即可。
30．【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFD=∠DEC，
∵D是AC的中点，
∴AD =CD，
在△ADF和△EDC中
∠AFD=∠DEC∠ADF=CDEAD=CD，
∴△ADF≌△EDC，
∴AF=CE，
∵AF∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，
∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，
∵AF∥BC，
∴∠FAB=∠ABE，
∴△AFG∽△BEA，
∴FGAE=AFBE，
∴FG•BE=AF•AE，
∴FG•BE=CE•AE
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证明△ADF≌△EDC，可得AF=CE，再结合AF//BC可得四边形AFCE是平行四边形；
（2）先证明△AFG∽△BEA，可得FGAE=AFBE，再化简及等量代换可得FG•BE=CE•AE