专题1.5 新定义问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（人教版）

专题1.5新定义问题

【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．

（1）直接写出计算结果，f（4，）＝　　，f（5，3）＝　　；

（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是　　．（填序号）

①f（6，3）＝f（3，6）；

②f（2，a）＝1（a≠0）；

③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；

④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．

（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）

（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．

【思路点拨】

（1）根据题意计算即可；

（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；

②根据题意计算即可判断；

③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；

④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；

（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；

（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．

【解题过程】

解：（1）f（4，）4，

f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3；

故答案为：4；．

（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3，f（3，6）＝6÷6÷6，

∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；

②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；

③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；

④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；

故答案为：②．

（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．

（4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）

9×（）×16

．

1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定a☆b＝ab﹣b2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（　　）

A．﹣3 B．1 C． D．

2．（2021秋•东港区期末）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣（﹣2※3）等于（　　）

A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10

3．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有a*b＝b3﹣1，则*[3*（﹣1）]的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣9 C． D．0

4．（2021秋•洪山区期末）定义：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法中正确的有（　　）个．①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④log2128＝log216+log28；

A．4 B．3 C．2 D．1

5．（2021秋•顺城区期末）观察下列两个等式：12×11，22×21，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，），（2，）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（　　）

A．（﹣3，） B．（4，） C．（﹣5，） D．（6，）

6．（2020秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：

若n＝49，则第2021次“F”运算的结果是（　　）

A．68 B．78 C．88 D．98

7．（2021秋•大连月考）我们对任意四个有理数a，b，c，d定义一种新的运算：ad﹣bc．则的值为　　．

8．（2021秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a﹣b+c，图形表示﹣x+y﹣z，则+的值为　　．

9．（2020秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a*b，则（*）*2＝　　．

10．（2021秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a、b，当a≤b时，都有a△b＝a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝　　；　　．

11．（2021秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x⨂y，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝　　．

12．（2021•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：

（1）xy＝4x+y，例如，13＝4×1+3＝7；3（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11；

（2）[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4；

根据以上规则，计算　　．

13．（2021秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b．

（1）计算：（﹣6）☆5＝　　．

（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是　　．

14．（2021秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．

（1）计算3⨂（﹣5）的值．

（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．

15．（2021秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：

（1）（﹣3）⨂6的值；

（2）[2⨂（）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．

16．（2021秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．

（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号　　，异号　　，并把绝对值　　；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得　　．

（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝　　．

（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：的值．

17．（2021秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a，b满足等式a﹣b＝ab．那么称a，b是“关联有理数对”，记作（a，b）．如：因为3，3．所以数对（3，）是“关联有理数对”．

（1）在数对①（1，）、②（﹣1，0）、③（，）中，是“关联有理数对”的是　　（只填序号）；

（2）若（m，n）是“关联有理数对”，则（﹣m，﹣n）　　“关联有理数对”（填“是”或“不是”）；

（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．

18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2．

理解运用：

（1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝　　，d（1）＝　　；

（2）“劳格数”有如下运算性质：

若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：　　；（a为正数）

（3）若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）；

（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p．

19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1，，所以1，﹣2，3的“分差”为．

（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　　；

（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　　；

（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．

20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：

然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．

例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．

（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；

（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为　　．

（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．