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高考数学一轮复习第2章1指数式、对数式、幂式的大小比较学案
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这是一份高考数学一轮复习第2章1指数式、对数式、幂式的大小比较学案，共7页。
[典例1] (1) 设a＝5-0.7，b＝lg2312，c＝lg 34，则这三个数之间的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．b＞a＞c
(2)已知a＝lg52，b＝1lg0.10.7，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b(1)D (2)A [(1)结合函数y＝5x，y＝lg23x，y＝lg x的图象易知0＜a＝5-0.7＜50＝1，b＝lg2312＞lg2323＝1，c＝lg 34＜lg 1＝0，所以b＞a＞c.故选D.
(2)∵lg51∵b＝1lg0.10.7＝lg0.70.1>lg0.70.7，
∴b>1，∵0.71<0.70.3<0.70，∴0.7 临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“12”的大小关系．
[跟进训练]
1．(1)(2022·中山三模)已知a＝20.1，b＝lg43，c＝lg52，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．a>b>c D．b>a>c
(2)已知a＝3，b＝234，c＝lg2e，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．b>c>a
(1)C (2)B [(1)a＝20.1>20＝1 ，
∵4>3>2＝4 12，∴1>b＝lg43>lg4412＝12，
∵2<5 12，∴c＝lg52∴a>b>c，故选C.
(2)因为a＝3，b＝234，所以a4＝9，b4＝8，可知a>b，又由b4－324＝8－8116＝4716>0，可得b>32，又由e2<8，
可得e<22＝232，所以lg2e<32，即c<32，故有a>b>c.故选B.]
题型二 特值法、设元法比较大小
[典例2] 设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z
C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y
A [法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝lg25，y＝lg35，所以2x＝lg225＜lg232＝5z，3y＝lg3125＜lg3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝lg23，所以2x＝lg29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z.故选A.
法二(设元法)：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，所以12x＝lgk212，13y＝lgk313，15z＝lgk515．又易知k＞1，515＜212＜313，所以lgk515＜lgk212＜lgk313，即0＜15z＜12x＜13y，所以3y＜2x＜5z.故选A.]
本题利用特值法求解，显得简洁、明了；利用设元法，求解关键在于转化为比较12x，13y，15z的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性．
[跟进训练]
2．(多选)设x，y，z为正实数，且lg2x＝lg3y＝lg5z＞0，则x2，y3，z5的大小关系可能是( )
A．x2＜y3＜z5 B．y3＜x2＜z5
C．x2＝y3＝z5 D．z5＜y3＜x2
ACD [法一(特值法)：取x＝2，则由lg2x＝lg3y＝lg5z得y＝3，z＝5，此时易知x2＝y3＝z5，选项C正确；取x＝4，则由lg2x＝lg3y＝lg5z得y＝9，z＝25，此时易知x2＜y3＜z5，选项A正确；取x＝2，则由lg2x＝lg3y＝lg5z得y＝3，z＝5，此时易知z5＜y3＜x2，选项D正确．
法二(设元法)：设lg2x＝lg3y＝lg5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以x2＝2k-1，y3＝3k-1，z5＝5k-1．又易知k＞0，若k＝1，则x2＝1，y3＝1，z5＝1，所以x2＝y3＝z5，所以选项C有可能正确；若0＜k＜1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递减可得2k-1＞3k-1＞5k-1，所以z5＜y3＜x2，所以选项D有可能正确；若k＞1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递增可得2k-1＜3k-1＜5k-1，所以x2＜y3＜z5，所以选项A有可能正确．]
题型三 构造函数法比较大小
[典例3] (1)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
(2)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a(1)D (2)B [(1)a6π＝ln22，b6π＝ln33，c6π＝lnππ，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．
设f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1-lnxx2，当x＝e时，f′(x)＝0，
当x＞e时，f′(x)＜0，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∵e＜3＜π＜4，
∴ln33＞lnππ＞ln44＝ln22，∴b＞c＞a，故选D.
(2)令f(x)＝2x＋lg2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋lg2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b<22b＋lg22b，所以f(a) 破解此类题的关键是发现题眼、构造函数，如(1)的题眼是“对a，b，c同除6π”，进而从ln22，ln33，lnππ中发现共性函数f(x)＝lnxx.
[跟进训练]
3．(1)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln (y－x＋1)＞0 B．ln (y－x＋1)＜0
C．ln |x－y|＞0 D．ln |x－y|＜0
(2)下列命题正确的是________．(填序号)
①ln 3＜3ln 2；②ln π＜πe；
③215＜15；④3eln 2＜42.
(1)A (2)①③④ [(1)由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－13x<2y－13y.设f(x)＝2x－13x，则f(x)0，所以y－x＋1>1，所以ln (y－x＋1)>0，故选A.
(2)构造函数f(x)＝lnxx，导函数为f′(x)＝1-lnxx2，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，可得当x＝e时，f(x)取得最大值1e.
ln 3＜3ln 2⇔2ln 3＜3ln 2⇔ln33＜ln22，由3＜2＜e可得f(3)＜f(2)，故①正确；
ln π＜πe⇔lnππ＜lnee，由e＜π＜e，可得f(e)＜f(π)，故②错误；由f(16)＜f(15)可推导出ln1616＜ln1515，即2ln24＜ln1515，所以ln22＜ln1515，可得f(2)＜f(15)，即215＜15，故③正确；3eln 2＜42⇔ln88＜22e＜1e，由f(x)的最大值为1e，可知④正确．]
题型四 数形结合法比较大小
[典例4] (1)设x1，x2，x3均为实数，且e-x1＝lnx1，e-x2＝lnx2+1，e-x3＝lg x3，则( )
A．x1C．x2(2)(2022·茂名一模)已知x，y，z均为大于0的实数，且2x＝3y＝lg5z，则x，y，z的大小关系正确的是( )
A．x>y>z B．x>z>y
C．z>x>y D．z>y>x
(1)D (2)C [(1)画出函数y＝1ex，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，
由图象可知x2(2)因为x，y，z均为大于0的实数，
所以令2x＝3y＝lg5z＝t＞1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝lg5x与直线y＝t＞1的交点的横坐标x1，x2，x3的大小关系，故作出各函数图象，如图，由图可知x3＞x1＞x2，即z＞x＞y.故选C.
]
本例(1)(2)均属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如本例(2)将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝lg5x与直线y＝t>1的交点的横坐标的大小关系，再作出图象，数形结合求解即可．
[跟进训练]
4．(多选)(2023·邯郸模拟)下列大小关系正确的是( )
A．1.92<21.9 B．22.9<2.92
C．2ln22ln2-1<2222-1 D．lg74ABD [作出y＝2x和y＝x2的图象，如图所示，由图象可得，当x∈0，2时，2x>x2，
当x∈2，4时，x2>2x, 1.92<21.9，22.9<2.92，故A，B正确．
令fx＝2x2x-1，则fx＝1＋12x-1，fx在0，+∞上单调递减，所以2ln22ln2-1>2222-1，故C错误．
lg74－lg127＝lg74－1lg712＝lg74·lg712-1lg712
[典例1] (1) 设a＝5-0.7，b＝lg2312，c＝lg 34，则这三个数之间的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．b＞a＞c
(2)已知a＝lg52，b＝1lg0.10.7，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
(2)∵lg51
∴b>1，∵0.71<0.70.3<0.70，∴0.7
[跟进训练]
1．(1)(2022·中山三模)已知a＝20.1，b＝lg43，c＝lg52，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．a>b>c D．b>a>c
(2)已知a＝3，b＝234，c＝lg2e，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．b>c>a
(1)C (2)B [(1)a＝20.1>20＝1 ，
∵4>3>2＝4 12，∴1>b＝lg43>lg4412＝12，
∵2<5 12，∴c＝lg52
(2)因为a＝3，b＝234，所以a4＝9，b4＝8，可知a>b，又由b4－324＝8－8116＝4716>0，可得b>32，又由e2<8，
可得e<22＝232，所以lg2e<32，即c<32，故有a>b>c.故选B.]
题型二 特值法、设元法比较大小
[典例2] 设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z
C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y
A [法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝lg25，y＝lg35，所以2x＝lg225＜lg232＝5z，3y＝lg3125＜lg3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝lg23，所以2x＝lg29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z.故选A.
法二(设元法)：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，所以12x＝lgk212，13y＝lgk313，15z＝lgk515．又易知k＞1，515＜212＜313，所以lgk515＜lgk212＜lgk313，即0＜15z＜12x＜13y，所以3y＜2x＜5z.故选A.]
本题利用特值法求解，显得简洁、明了；利用设元法，求解关键在于转化为比较12x，13y，15z的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性．
[跟进训练]
2．(多选)设x，y，z为正实数，且lg2x＝lg3y＝lg5z＞0，则x2，y3，z5的大小关系可能是( )
A．x2＜y3＜z5 B．y3＜x2＜z5
C．x2＝y3＝z5 D．z5＜y3＜x2
ACD [法一(特值法)：取x＝2，则由lg2x＝lg3y＝lg5z得y＝3，z＝5，此时易知x2＝y3＝z5，选项C正确；取x＝4，则由lg2x＝lg3y＝lg5z得y＝9，z＝25，此时易知x2＜y3＜z5，选项A正确；取x＝2，则由lg2x＝lg3y＝lg5z得y＝3，z＝5，此时易知z5＜y3＜x2，选项D正确．
法二(设元法)：设lg2x＝lg3y＝lg5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以x2＝2k-1，y3＝3k-1，z5＝5k-1．又易知k＞0，若k＝1，则x2＝1，y3＝1，z5＝1，所以x2＝y3＝z5，所以选项C有可能正确；若0＜k＜1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递减可得2k-1＞3k-1＞5k-1，所以z5＜y3＜x2，所以选项D有可能正确；若k＞1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递增可得2k-1＜3k-1＜5k-1，所以x2＜y3＜z5，所以选项A有可能正确．]
题型三 构造函数法比较大小
[典例3] (1)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
(2)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a
设f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1-lnxx2，当x＝e时，f′(x)＝0，
当x＞e时，f′(x)＜0，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∵e＜3＜π＜4，
∴ln33＞lnππ＞ln44＝ln22，∴b＞c＞a，故选D.
(2)令f(x)＝2x＋lg2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋lg2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b<22b＋lg22b，所以f(a)
[跟进训练]
3．(1)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln (y－x＋1)＞0 B．ln (y－x＋1)＜0
C．ln |x－y|＞0 D．ln |x－y|＜0
(2)下列命题正确的是________．(填序号)
①ln 3＜3ln 2；②ln π＜πe；
③215＜15；④3eln 2＜42.
(1)A (2)①③④ [(1)由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－13x<2y－13y.设f(x)＝2x－13x，则f(x)
(2)构造函数f(x)＝lnxx，导函数为f′(x)＝1-lnxx2，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，可得当x＝e时，f(x)取得最大值1e.
ln 3＜3ln 2⇔2ln 3＜3ln 2⇔ln33＜ln22，由3＜2＜e可得f(3)＜f(2)，故①正确；
ln π＜πe⇔lnππ＜lnee，由e＜π＜e，可得f(e)＜f(π)，故②错误；由f(16)＜f(15)可推导出ln1616＜ln1515，即2ln24＜ln1515，所以ln22＜ln1515，可得f(2)＜f(15)，即215＜15，故③正确；3eln 2＜42⇔ln88＜22e＜1e，由f(x)的最大值为1e，可知④正确．]
题型四 数形结合法比较大小
[典例4] (1)设x1，x2，x3均为实数，且e-x1＝lnx1，e-x2＝lnx2+1，e-x3＝lg x3，则( )
A．x1
A．x>y>z B．x>z>y
C．z>x>y D．z>y>x
(1)D (2)C [(1)画出函数y＝1ex，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，
由图象可知x2
所以令2x＝3y＝lg5z＝t＞1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝lg5x与直线y＝t＞1的交点的横坐标x1，x2，x3的大小关系，故作出各函数图象，如图，由图可知x3＞x1＞x2，即z＞x＞y.故选C.
]
本例(1)(2)均属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如本例(2)将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝lg5x与直线y＝t>1的交点的横坐标的大小关系，再作出图象，数形结合求解即可．
[跟进训练]
4．(多选)(2023·邯郸模拟)下列大小关系正确的是( )
A．1.92<21.9 B．22.9<2.92
C．2ln22ln2-1<2222-1 D．lg74
当x∈2，4时，x2>2x, 1.92<21.9，22.9<2.92，故A，B正确．
令fx＝2x2x-1，则fx＝1＋12x-1，fx在0，+∞上单调递减，所以2ln22ln2-1>2222-1，故C错误．
lg74－lg127＝lg74－1lg712＝lg74·lg712-1lg712
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