专题11 双曲线（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题11 双曲线
一、考情分析

二、考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．

考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
考点三、常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
三、题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其应用
例1、（1）、双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
把双曲线方程中右边的常数改为0，化简即得．
【详解】
双曲线的渐近线方程为，即．
故选：C．
(2)、设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
【答案】(1)C　(2)10
【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝10.根据题意和双曲线的定义知2＝|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.
(2)由双曲线的标准方程－＝1得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当直线l过点F1，且垂直于x轴时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.
(3)、（2022·全国高三专题练习）已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据方程表示双曲线列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴ (k－1)(k＋1)<0，∴ －1 故选：C
【变式训练1-1】、（2021·全国高三月考（文））双曲线的焦点坐标（ ）
A． B． C． D．、
【答案】C
【分析】
根据双曲线标准方程求出，并判断焦点位置，然后根据写出结果.
【详解】
由知，，，且焦点在轴上，
所以，所以.
所以焦点坐标为和.
故选：C
【变式训练1-2】、已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义= ,当且仅当A,B,共线时取等故选：B
【变式训练1-3】、（2021·银川三沙源上游学校高二期末（理））命题 “”是命题曲线表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
求出为真时的的范围，然后由充分必要条件的定义判断．
【详解】
曲线表示双曲线，则，解得，
因此是的充分不必要条件．
故选：A．
例2．（1）、（2021·全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
【答案】C
【分析】
根据双曲线的定义可判断.
【详解】
由题意，知，当时，
，此时点的轨迹是双曲线的一支；
当时，，
点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．
故选：C.
（2）．（2021·全国高二课时练习）已知的顶点，，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.
【答案】.
【分析】
根据三角形内切圆的性质，转化为，由双曲线的定义可确定C点的轨迹方程.
【详解】
设内切圆与边相切于点，与边相切于点，与边相切于点，
则易知，
∴点的轨迹是双曲线的右支（除去与轴的交点），且，，
∴，，，
∴顶点的轨迹方程是.
【变式训练2-1】、（2021·全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线
C．线段 D．双曲线的一支或射线
【答案】D
【分析】
根据双曲线的定义讨论的取值范围即可判断.
【详解】
两个定点的距离为，
当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；
当，即时，点的轨迹为射线；
不存在的情况．
综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线．
故选：D．
【变式训练2-2】、（2021·全国高二课时练习）已知动圆与圆，圆中的一个外切､一个内切，求动圆圆心的轨迹方程.
【答案】
【分析】
根据两圆的位置关系，即可建立动点横纵坐标间的关系，从而得到轨迹方程.
【详解】
设动圆圆心的坐标为，半径为．
由已知，得圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径．
依题意，得或，
所以或．
即，整理得，
所以所求动圆圆心的轨迹方程为．




重难点题型突破二 双曲线的标准方程
例3、(1)已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点是右支上一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】C
【解析】在中，因为，所以，
，，
则由双曲线的定义可得
所以离心率，故选C.
(2)过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，且切点为，已知为坐标原点，为线段的中点（点在切点的右侧），若的周长为，则双曲线的渐近线的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

解：连OT，则OT⊥F1T，
在直角三角形OTF1中，|F1T|b．
连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点
∴OMPF2，
∴|MO|﹣|MT|PF2﹣（ PF1﹣F1T）（PF2﹣PF1）+b
b﹣a．
又|MO|+|MT|+|TO|=，即|MO|+|MT|=3a
故|MO|=, |MT|=,
由勾股定理可得：，即
∴渐近线方程为：
故选：B
【变式训练3-1】、（2021·东城·北京二中高二月考）过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与轴交于点，若线段的中点为双曲线的虚轴端点（为坐标原点），则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
取，渐近线，可得直线的方程为：，进而可得点的坐标，再由虚轴端点是线段的中点即可得和的关系，计算 即可求解.
【详解】
由可得渐近线方程为，
不妨取，渐近线，可得直线的方程为：，
令可得，所以，
虚轴端点，因为是线段的中点，
所以，可得，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：.

【变式训练3-2】、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，)，B，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝＝，d2＝＝，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝4，即＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
例4、（2021·全国高二课时练习）设动圆的半径为，分别求满足下列条件的动圆的圆心的轨迹方程．
（1）与圆内切，且过点；
（2）与圆外切，且与圆内切．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用双曲线的定义即可求解.
（2）利用双曲线的定义即可求解.
【详解】
（1）∵圆与圆内切，点在圆外，
∴，，∴，
即动点到两定点，的距离之差为常数，且，
∴点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
∴点的轨迹方程是．
（2）∵圆与圆外切，且圆与圆内切，
∴，，∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
∴点的轨迹方程是．
【变式训练4-1】、（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】
（1）由题可知的值即可求出双曲线的标准方程；
（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.
【详解】
（1）设双曲线方程为，
由条件知，，
∴，
∴双曲线的方程为．
（2）由双曲线的定义可知，．
∵，
∴，即
∴，
∴的面积．
重难点题型突破三 双曲线的几何性质及其应用
例5、（1）(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
【答案】B　
【解析】设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，
∴S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，
由可得y＝±，
则|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝＝2 ，
∴C的渐近线方程为y＝±x，故选B.
（2）、（2021·内蒙古包头·（理））设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若C的焦距为12，则当的面积最大时，C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依题意可得双曲线渐近线方程为，即可表示出、，从而得到，再由，利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：双曲线渐近线方程为，则设，，所以，所以 ，由双曲线性质可知，由基本不等式当且仅当时取“＝”，所以，则
故双曲线方程为，
故选：C
【变式训练5-1】、（2021·湖北）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设根据，且，结合双曲线的定义求得 ，再 在中，利用勾股定理求解.
【详解】
设因为，且，
所以，
由双曲线的定义得：，，
因为，
所以，
解得，
所以在中，，
即，
解得，
故选：D

【变式训练5-2】、（2021·嘉峪关市第一中学（理））如果双曲线的离心率为，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线，则该黄金双曲线C的虚轴长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】
由黄金双曲线的离心率求得，得虚轴长．
【详解】
由题意可得，解得，则，故该黄金双曲线C的虚轴长为．
故选：D．
例6．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
（1）求，的最小值；
（2）若右支上存在点P，满足，求双曲线的离心率的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）结合图象以及双曲线的定义求得，的最小值.
（2）结合余弦定理来求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】
（1）设双曲线的左右顶点为，
由图可知：当在右顶点时，最小，即.
而，所以当最小时，取得最小值，即.
（2）设，
依题意，
由余弦定理得，
即.

【变式训练6-1】、（2021·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
【答案】（1），2 （2）
【分析】
（1）结合，联立即得解；
（2）由题意，即得解.
【详解】
（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·贵州贵阳·高三月考（文））双曲线的右焦点到渐近线的距离为_______.
【答案】2
【分析】
由双曲线方程求出的值，即可得右焦点坐标以及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
由可得，，所以，
所以双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，
则双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
故答案为：.
2．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的焦点坐标为____________，离心率为____________.
【答案】
【分析】
将方程化为双曲线的标准方程，求得，再求离心率和焦点坐标即可.
【详解】
方程，即，
故可得，
则双曲线的焦点坐标为；
离心率.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查根据双曲线方程求焦点坐标以及离心率，属简单题.
3．（2021·东城·北京二中高二月考）双曲线的焦距为___________.
【答案】
【分析】
根据双曲线方程直接求出半焦距c即得.
【详解】
令双曲线的半焦距为c，则有，解得，
所以双曲线的焦距为.
故答案为：
4．（2021·全国高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【分析】
根据题意设双曲线的标准方程为，将点代入求出k的值即可.
【详解】
设双曲线的标准方程为，
双曲线过点，，解得或-14（舍去），
双曲线的标准方程为．
故答案为：
5．（2021·榆林市第十中学（理））已知双曲线（，），直线与的右支分别交于点、，与轴交于点.若，则的渐近线方程为______.
【答案】
【分析】
利用三角形相似求出点B的坐标，代入双曲线方程可得a,b的关系，由此可得渐近线方程.
【详解】
本题考查双曲线方程与几何性质.如图，作轴，垂足为，直线过，即过的右顶点，直线的倾斜角为，则，在中，，则，，又因为，，所以，，则，所以，解得，则的渐近线方程为.

故答案为：
6．（2021·全国）经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据有相同的渐近线可设所求双曲线为，把点代入，解得：的值，进而求出答案．
【详解】
解：由题意可得：设所求双曲线为，
把点，解得，
所求的双曲线方程为，即．
故选：A．
7．（2021·江苏高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过、两点．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求得的值，即可得出双曲线的标准方程；
（2）设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程，求出、的值，即可求得双曲线的标准方程.
【详解】
（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，
因此，双曲线的标准方程为；
（2）设双曲线的方程为，
将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
8．（2020·江苏）已知．
（1）若表示双曲线，求实数的取值范围；
（2）若表示焦点在轴上的椭圆，且是中的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据曲线方程，列式，求的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，的取值范围，根据命题的等价性转化为p是q的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数的取值范围.
【详解】
（1）由，
得或，即
（2）命题p∶由，得．
命题q∶表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，
因为是的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，
则，解得，
故实数a的取值范围为：．
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
9．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|＝．
（1）求E的方程；
（2）过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分∠APB．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先将直线的方程与渐近线方程联立求出点Q的坐标，求出PF的长，从而可求出|FQ|，再由|FQ|＝，可求出的值，再结合离心率可求出的值，从而可求出E的方程；
（2）设过点F得直线方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，然后表示出kPA，kPB，相加化简，若等于零，可得PF平分∠APB
【详解】
解：（1）不妨设直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，则
由得yQ＝，
又PF＝c﹣＝，
∴|FQ|2＝（）2+（）2＝b2＝3，
∴，
又离心率e＝2，∴，∴a＝1．
∴E的方程为：．
（2）设过点F得直线方程为：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
则，，
∵过F的直线交E的右支于A，B两点，∴y1y2＜0，
可得﹣＜m＜，
又P（，0），
∴kPA+kPB＝＝，
∴＝2my1y2+
＝
∴kPA+kPB＝0，
∴PF平分∠APB．
10．（2021·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求.
【答案】（1）；（2）0.
【分析】
（1）设，由得点坐标，由双曲线的对称性，得，结合四边形的面积得可得答案.
（2）①当直线的斜率存在时，由圆与的方程联立求出坐标可得答案；
②当直线的斜率不存在时，设，得直线与圆相切，可得，再由直线与双曲线方程联立，结合韦达定理可得答案.
【详解】
（1）设，
由直线是双曲线的一条渐近线，得①，
因为双曲线的准线方程为，
由得，所以，
由双曲线的对称性，得，
由四边形的面积为4，可得，即，
结合①得，，所以双曲线的方程为.
（2）①当直线的斜率存在时，对于圆，
不妨考虑，
则由得，
所以，，
所以.
②当直线的斜率不存在时，设，
因为直线与相交于，两点，所以.
因为直线与圆相切，
所以，即（*），
设，，
由消得，
结合（*），有，
所以，，
所以，


.
结合（*），得.
综上，.