2022-2023学年湖南省郴州市临武县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省郴州市临武县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 是方程的解，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 为庆祝建党周年，九年级全体学生在国庆假期组织互赠纪念贺卡活动，共赠贺卡张，问该班共有多少名学生？设该班共有名学生，那么所列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知是二次方程的一个解，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列图形中不一定是相似图形的是(    )

A. 两个等边三角形 B. 两个顶角相等的等腰三角形
C. 两个等腰直角三角形 D. 两个矩形

6. 若反比例函数的图象上有两点和，那么(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一元二次方程的二次项系数是，则常数项是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．
10. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______．
11. 关于的方程是一个一元二次方程，那么的取值范围是______．
12. 已知，是方程的两根，则的值为______．
13. 已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为______．
14. 方程化成一般形式整系数且系数最简是______．
15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______．
16. 若，则______．

三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    关于的一元二次方程有两个实数根．
    求的取值范围；
    选一个的值使得方程有两个相同的根，并求出方程的解．
18. 本小题分
    解方程：．
19. 本小题分
    随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为万元和万元，三月份销售额甲店比乙店多万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？
20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，以原点为位似中心，在轴的右侧将放大为原来的两倍得到．
    画出；
    分别写出，两点的对应点，的坐标．

21. 本小题分
    如图，在中，，是高，平分分别与，相交于点，．
    求证：；
    若，求的长．

22. 本小题分
    如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    求的面积；
    结合图象，直接写出不等式的解集．

23. 本小题分
    临武太平洋服装超市以每件元的价格购进一批恤，如果以每件元出售，那么一个月内能售出件，根据以往销售经验，销售单价每提高元，销售量就会减少件，该超市希望一个月内销售该种恤能获得利润元，并且尽可能减少库存，问恤的销售单价应提高多少元？
24. 本小题分
    阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，那么，于是原方程可变为，解得，，当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
    试用上述方法解方程：，得原方程的解为______．
    解方程．
25. 本小题分
    河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案：
    方案一：在操场上点处放一面平面镜，从点处后退到点处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部点的像；再将平面镜向后移动即放在处．从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得的眼睛距地面的高度、为、已知点，、，、在同一水平线上，且，，平面镜的大小忽略不计
    方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得，．
    方案三：利用三角板的斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知两条边，，测得边离地面距离．
    三种方案中，方案______不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
     
26. 本小题分
    如图，，，，，点以的速度从点出发，沿方向向点运动，同时，点以的速度从点出发，沿方向向点运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设运动的时间为．
    求的长；
    求为何值时，平行于的边；
    求为何值时，是等腰三角形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、本方程未知数的最高次数是；故本选项错误；
B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、是代数式，不是等式；故本选项错误；
D、本方程中含有两个未知数和；故本选项错误；
故选B．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：是方程的解，
，
即，



．
故选：．
先利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得：每人要赠送张贺卡，有个人，
全班共送：，
故选：．
根据题意得：每人要赠送张贺卡，有个人，然后根据题意可列出方程：．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送张贺卡，有个人是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：把代入方程可得，解得，
又因为，即，
所以．
故选B．
根据一元二次方程的解，把代入原方程得到，解得，然后根据已元二次方程的定义确定的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
B.两个顶角相等的等腰三角形，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
C.两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意；
D.两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项符合题意．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数解析式中的，
该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内的值随的增大而减小．
又点和都位于第一象限，且，
．
故选：．
根据反比例函数图象的增减性做出正确的判定．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上点的坐标都满足该函数解析式．
 

7.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数是，则常数项是：，
故选：．
一元二次方程的般形式为，其中，二次项的系数为，一次项的系数为，常数项为．
本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
原式．
故选：．
根据已知等式可得，再代入所求代数式计算可得答案．
此题考查的是比例的性质，能够对所给等式进行正确变形是解决此题的关键．
 

9.【答案】且． 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

10.【答案】或 

【解析】解：，
，
则或，
解得或，
当是腰时，三角形的三边分别为、、，，能组成三角形，周长为；
当是腰时，三角形的三边分别为、、，，能组成三角形，周长为．
故答案为：或．
利用因式分解法求出的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：由关于的方程是一个一元二次方程，
得，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义可得，再解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

12.【答案】 

【解析】解：是方程的根，
，
，
，
，是方程两根，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程解的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有一个非零根，
，
，
，
方程两边同时除以，得，
．
故答案为：．
由于关于的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到，再将方程两边同时除以即可求解．
此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程化成一般形式是：．
故答案为：．
根据一元二次方程的一般形式进行整理，即可得出答案．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

15.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故答案为：且．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．同时也考查了一元二次方程的定义，熟练掌握这些内容是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
去掉分母，然后整理求解即可．
本题考查了比例的性质，比较简单，用含的式子表示出分子是解题的关键．
 

17.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
的取值范围为．
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
原方程为，即，
解得：，
当时，方程有两个相同的根，此时方程的解为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围；
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
 

18.【答案】解：因为，，，分
所以，分
代入公式，得，分
所以原方程的根为，每个根各分分 

【解析】观察原方程，可用公式法求解，首先确定，，的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
把方程化为一般形式，确定、、的值；求出的值；
若，则把、、及的值代入一元二次方程的求根公式，求出、；若，则方程没有实数根．
 

19.【答案】解：设乙店销售额月平均增长率为，由题意得：
，
解得 ，舍去．
．
答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是、． 

【解析】设乙店销售额月平均增长率为，根据等量关系“三月份销售额甲店比乙店多万元列出方程即可求解．
此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型，同学们应加强训练，培养解题能力．
 

20.【答案】解：以原点为位似中心，在轴的右侧将放大为原来的两倍得到，
，，；
如图画出：


由得：，． 

【解析】由以原点为位似中心，在轴的右侧将放大为原来的两倍得到，根据位似的性质，可求得点、、的坐标，继而画出；
由即可求得，两点的对应点，的坐标．
此题考查了作图位似变换．熟练掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键．
 

21.【答案】证明：，
，
．
，
．
又平分，
，
∽．
解：过点作于点，如图所示．
，
，即．
平分，
，
． 

【解析】利用同角的余角相等可得出，由角平分线的定义可得出，进而可证出；
过点作于点，由可得出，结合三角形的面积公式及角平分线的性质可得出，再代入即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及三角形的面积，解题的关键是：利用“两角对应相等，两三角形相似”证出∽；利用角平分线的性质及三角形的面积公式，找出．
 

22.【答案】解：都在反比例函数的图象上，
，
，，
反比例函数解析式为，点的坐标是，
将、两点坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
在中，令，则，
点坐标，
；
不等式的解集是或． 

【解析】根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案；
根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解集，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式．
 

23.【答案】解：设恤的销售单价为元，则每件的销售利润为元，一个月内能售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽可能减少库存，
，
元．
答：恤的销售单价应提高元． 

【解析】设恤的销售单价为元，则每件的销售利润为元，一个月内能售出件，利用服装店一个月销售该种恤获得的利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽可能减少库存，即可得出恤的销售单价应定为元，进而求出恤的销售单价提高多少元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】， 

【解析】解：设，则原方程变为，
解得，．
当时，，解得．
当，，方程无解．
故原方程的解为，．
故答案为：，；
设，则原方程变为
解得，．
当时，，解得．
当，，即，
，
则方程无解．
故原方程的解为．
结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可．
结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可．
本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
 

25.【答案】解：二、三；
选方案一，
，，
∽，
，
，
设，
则，
同理可得∽，
，
，，，，
，
解得：，
． 

【解析】解：根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行，
方案一的解答过程见答案．
故答案为：二，三．
根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行，方案一中：利用∽，得，再根据∽，可求出的值．
本题主要考查了相似三角形的应用，读懂题意，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
解得：，
即的长为；
由题意得：，，则，
，
∽，
，
即，
解得：，
即为时，平行于的边；
分三种情况：
当时，
如图，过作于，
则，，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
解得：；
当时，如图，
则，
解得：；
当时，
如图，过作于，
则，，
又，
∽，
，
即，
解得：；
，，
为或或时，是等腰三角形． 

【解析】由勾股定理得，再证∽，得，即可得出结论；
证∽，得，即可得出结论；
分三种情况：当时，过作于，则，证∽，得，再由，得，即可得出结论；
当时，，解得；
当时，过作于，则，证∽，得，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．