湖南省郴州市临武县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份湖南省郴州市临武县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省郴州市临武县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣2＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1＝0
2．a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣2a2+4a+2023的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．为庆祝建党100周年，九年级全体学生在国庆假期组织互赠纪念贺卡活动，共赠贺卡2020张，问该班共有多少名学生？设该班共有x名学生，那么所列方程为（　　）
A．x2＝2020 B．x（x+1）＝2020
C．x（x﹣1）＝2020 D．x（x﹣1）＝2020
4．已知x＝0是二次方程（m+1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个解，那么m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
5．下列图形中不一定是相似图形的是（　　）
A．两个等边三角形
B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．两个矩形
6．若反比例函数的图象上有两点P1（2，y1）和P2（3，y2），那么（　　）
A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y2＞y1＞0
7．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数是2，则常数项是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
8．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣6＝0有两个实数根，则a的取值范围是 　 　．
10．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两根，则该等腰三角形的周长为 　 　．
11．关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，那么m的取值范围是 　 　．
12．已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为 　 　．
13．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为　 　．
14．方程0.2x2+5＝x化成一般形式（整系数且系数最简）是 　 　．
15．若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为 　 　．
16．若（a+b+c≠0），则k＝　 　．
三、解答题（17-19题每题6分，20-23题每题8分，24-25题每题10分，26题12分，共82分）
17．关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）选一个m的值使得方程有两个相同的根，并求出方程的解．
18．解方程：2x2﹣6x+1＝0．
19．随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（3，2），C（5，﹣2）．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A'B'C'．
（1）画出△A'B'C'；
（2）分别写出B，C两点的对应点B'，C'的坐标．

21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）若AE＝2EC，BC＝6．求AB的长．

22．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

23．临武太平洋服装超市以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，该超市希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
24．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0（1），解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（1）试用上述方法解方程：x4﹣2x2﹣3＝0，得原方程的解为 　 　．
（2）解方程（x2+2x）2+3（x2+2x）+2＝0．
25．河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的直角边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 　 　不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．

26．如图，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm．点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AB方向向点B运动，同时，点Q以1cm/s的速度从点B出发，沿BC方向向点C运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设运动的时间为t（s）．
（1）求AD的长；
（2）求t为何值时，PQ平行于△ABC的边AC；
（3）求t为何值时，△PBQ是等腰三角形．



参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣2＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；
B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、x2﹣2x﹣3是代数式，不是等式；故本选项错误；
D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣2a2+4a+2023的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝1，再把﹣2a2+4a+2020变形为﹣2（a2﹣2a）+2023，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
即a2﹣2a＝1，
∴﹣2a2+4a+2023
＝﹣2（a2﹣2a）+2023
＝﹣2×1+2023
＝2021．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
3．为庆祝建党100周年，九年级全体学生在国庆假期组织互赠纪念贺卡活动，共赠贺卡2020张，问该班共有多少名学生？设该班共有x名学生，那么所列方程为（　　）
A．x2＝2020 B．x（x+1）＝2020
C．x（x﹣1）＝2020 D．x（x﹣1）＝2020
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x﹣1）x＝2020．
解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝2020，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人是解决问题的关键．
4．已知x＝0是二次方程（m+1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个解，那么m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】根据一元二次方程的解，把x＝0代入原方程得到4m2﹣4＝0，解得m＝±1，然后根据已元二次方程的定义确定m的值．
解：把x＝0代入方程（m+1）x2+mx+4m2﹣4＝0可得4m2﹣4＝0，解得m＝±1，
又因为m+1≠0，即m≠﹣1，
所以m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
5．下列图形中不一定是相似图形的是（　　）
A．两个等边三角形
B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．两个矩形
【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
B、两个顶角相等的等腰三角形，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
C、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意；
D、两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．
6．若反比例函数的图象上有两点P1（2，y1）和P2（3，y2），那么（　　）
A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y2＞y1＞0
【分析】根据反比例函数图象的增减性做出正确的判定．
解：∵反比例函数解析式中的2＞0，
∴该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内y的值随x的增大而减小．
又∵点P1（2，y1）和P2（3，y2）都位于第一象限，且2＜3，
∴y1＞y2＞0．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上点的坐标都满足该函数解析式．
7．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数是2，则常数项是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】一元二次方程的般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），其中，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c．
解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数是2，则常数项是：﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知等式可得a＝b，再代入所求代数式计算可得答案．
解：∵，
∴a＝b，
∴原式＝＝＝．
故选：A．
【点评】此题考查的是比例的性质，能够对所给等式进行正确变形是解决此题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣6＝0有两个实数根，则a的取值范围是 　a≥且a≠2．　．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣6＝0有两个实数根，
∴，
解得：a≥且a≠2．
故答案为：a≥且a≠2．
【点评】本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
10．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两根，则该等腰三角形的周长为 　14或16　．
【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．
解：∵x2﹣10x+24＝0，
∴（x﹣4）（x﹣6）＝0，
则x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得x＝4或x＝6，
当4是腰时，三角形的三边分别为4、4、6，4+4＞6，能组成三角形，周长为4+4+6＝14；
当6是腰时，三角形的三边分别为4、6、6，4+6＞6，能组成三角形，周长为4+6+6＝16．
故答案为：14或16．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．
11．关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，那么m的取值范围是 　m≠﹣5　．
【分析】根据一元二次方程的定义可得m+5≠0，再解不等式即可．
解：由关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，
得m+5≠0，
解得m≠﹣5．
故答案为：m≠﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
12．已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为 　﹣2　．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2+3m﹣1＝0，即m2＝﹣3m+1，代入m2+4m+n得到m+n+1，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴m2＝﹣3m+1，
∴m2+4m+n＝﹣3m+1+4m+n＝m+n+1，
∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0两根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝m+n+1＝﹣3+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．
13．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为　1　．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b＝0，再将方程两边同时除以b即可求解．
解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b＝0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1＝0，
∴a﹣b＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．
14．方程0.2x2+5＝x化成一般形式（整系数且系数最简）是 　2x2﹣15x+50＝0　．
【分析】根据一元二次方程的一般形式进行整理，即可得出答案．
解：方程0.2x2+5＝x化成一般形式是：2x2﹣15x+50＝0．
故答案为：2x2﹣15x+50＝0．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
15．若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为 　a≥﹣2且a≠0　．
【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣2）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0．
故答案为a≥﹣2且a≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．若（a+b+c≠0），则k＝　2　．
【分析】去掉分母，然后整理求解即可．
解：∵＝＝＝k，
∴a+b＝ck，b+c＝ak，c+a＝bk，
∴（a+b）+（b+c）+（c+a）＝ck+ak+bk，
∴（a+b+c）k＝2（a+b+c），
∵a+b+c≠0，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了比例的性质，比较简单，用含k的式子表示出分子是解题的关键．
三、解答题（17-19题每题6分，20-23题每题8分，24-25题每题10分，26题12分，共82分）
17．关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）选一个m的值使得方程有两个相同的根，并求出方程的解．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围；
（2）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出结论．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×（m﹣1）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2+4x+4＝0，即（x+2）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2，
∴当m＝5时，方程有两个相同的根，此时方程的解为x1＝x2＝﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
18．解方程：2x2﹣6x+1＝0．
【分析】观察原方程，可用公式法求解，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
解：因为a＝2，b＝﹣6，c＝1，（1分）
所以b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×1＝28，
代入公式，得x＝＝＝＝，
所以原方程的根为x1＝，x2＝．（每个根各1分）
【点评】用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；②求出b2﹣4ac的值；
③若b2﹣4ac≥0，则把a、b、c及b2﹣4ac的值代入一元二次方程的求根公式x＝，求出x1、x2；若b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
19．随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？
【分析】设乙店销售额月平均增长率为x，根据等量关系“三月份销售额甲店比乙店多10万元列出方程即可求解．
解：设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：
10（1+2x）2﹣15（1+x）2＝10，
解得 x1＝60%，x2＝﹣1（舍去）．
2x＝120%．
答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型，同学们应加强训练，培养解题能力．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（3，2），C（5，﹣2）．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A'B'C'．
（1）画出△A'B'C'；
（2）分别写出B，C两点的对应点B'，C'的坐标．

【分析】（1）由以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′，根据位似的性质，可求得点′、B′、C′的坐标，继而画出△A′B′C′；
（2）由（1）即可求得B，C两点的对应点B′，C′的坐标．
解：（1）∵以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′，
∴A′（4，0），B′（6，4），C′（10，﹣4）；
如图画出△A′B′C′：

（2）由（1）得：B′（6，4），C′（10，﹣4）．
【点评】此题考查了作图﹣位似变换．熟练掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）若AE＝2EC，BC＝6．求AB的长．

【分析】（1）利用同角的余角相等可得出∠A＝∠BCF，由角平分线的定义可得出∠ABE＝∠CBF，进而可证出△AEB∽△CFB；
（2）过点E作EM⊥AB于点M，由AE＝2EC可得出S△ABE＝2S△CBE，结合三角形的面积公式及角平分线的性质可得出AB＝2BC，再代入BC＝6即可得出结论．
【解答】（1）证明：CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACD+∠BCF＝90°，
∴∠A＝∠BCF．
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△AEB∽△CFB．
（2）解：过点E作EM⊥AB于点M，如图所示．
∵AE＝2EC，
∴S△ABE＝2S△CBE，即AB•EM＝2×BC•CE．
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝CE，
∴AB＝2BC＝12．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AEB∽△CFB；（2）利用角平分线的性质及三角形的面积公式，找出AB＝2BC．
22．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解集，可得答案．
解：（1）A（﹣5，n）B（3，﹣5）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣5n＝3×（﹣5），
∴m＝﹣15，n＝3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，点A的坐标是（﹣5，3），
将A、B两点坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C点坐标（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝8；
（3）不等式kx+b﹣＜0的解集是﹣5＜x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式．
23．临武太平洋服装超市以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，该超市希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
【分析】设T恤的销售单价为x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，一个月内能售出（700﹣10x）件，利用服装店一个月销售该种T恤获得的利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能减少库存，即可得出T恤的销售单价应定为42元，进而求出T恤的销售单价提高多少元．
解：设T恤的销售单价为x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，一个月内能售出300﹣10（x﹣40）＝（700﹣10x）件，
依题意得：（x﹣30）（700﹣10x）＝3360，
整理得：x2﹣100x+2436＝0，
解得：x1＝42，x2＝58．
又∵要尽可能减少库存，
∴x＝42，
∴42﹣40＝2（元）．
答：T恤的销售单价应提高2元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0（1），解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（1）试用上述方法解方程：x4﹣2x2﹣3＝0，得原方程的解为 　x1＝，x2＝﹣　．
（2）解方程（x2+2x）2+3（x2+2x）+2＝0．
【分析】（1）结合材料，利用x2＝m，再换元，求出m的值，再代入求出x即可．
（2）结合材料，利用x2+2x＝n，再换元，求出n的值，再代入求出x即可．
解：（1）设x2＝m，则原方程变为m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣1．
当m1＝3时，x2＝3，解得x＝±．
当m2＝﹣1，x2＝﹣1，方程无解．
故原方程的解为x1＝，x2＝﹣．
故答案为：x1＝，x2＝﹣；
（2）设x2+2x＝n，则原方程变为n2+3n+2＝0
解得n1＝﹣1，n2＝﹣2．
当n1＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，解得x＝﹣1．
当n＝﹣2，x2+2x＝﹣2，即x2+2x+2＝0，
Δ＝22﹣4×1×2＝﹣6＜0，
则方程无解．
故原方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
25．河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的直角边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 　二、三　不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．

【分析】根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，方案一中：利用△ABC∽△EDC，得AB＝1.5BC，再根据△ABF∽△GHF，可求出x的值．
解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，
选方案一，
∵∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∴AB＝，
设BC＝xm，
则AB＝1.5xm，
同理可得△ABF∽△GHF，
∴，
∵AB＝1.5xm，BF＝BC+CF＝（4+x）m，GH＝1.5m，FH＝1.5m，
∴，
解得：x＝8，
∴AB＝1.5x＝12（m）．
故答案为：二，三；AB＝12m．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，读懂题意，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．
26．如图，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm．点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AB方向向点B运动，同时，点Q以1cm/s的速度从点B出发，沿BC方向向点C运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设运动的时间为t（s）．
（1）求AD的长；
（2）求t为何值时，PQ平行于△ABC的边AC；
（3）求t为何值时，△PBQ是等腰三角形．

【分析】（1）由勾股定理得AC＝8cm，再证△ACD∽△BAC，得＝，即可得出结论；
（2）证△BPQ∽△BAC，得＝，即可得出结论；
（3）分三种情况：①当QP＝QB时，过Q作QF⊥PB于F，则BP＝2BF，证△QFB∽△ACB，得BF＝t（cm），再由BP＝（10﹣2t）cm，得10﹣2t＝2×t，即可得出结论；
②当BP＝BQ时，10﹣2t＝t，解得t＝；
③当PB＝PQ时，过P作PG⊥BQ于G，则QG＝BG＝BQ＝t（cm），证△BPG∽△BAC，得＝，即可得出结论．
解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝8（cm），
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
又∵∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△BAC，
∴＝，
即＝，
解得：AD＝4.8（cm），
即AD的长为4.8cm；
（2）由题意得：AP＝2tcm，BQ＝tcm，则BP＝（10﹣2t）cm，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴＝，
即＝，
解得：t＝，
即t为时，PQ平行于△ABC的边AC；
（3）分三种情况：
①当QP＝QB时，
如图1，过Q作QF⊥PB于F，
则BP＝2BF，∠QFB＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝∠B，
∴△QFB∽△ACB，
∴＝，
即＝，
解得：BF＝t（cm），
∵BP＝（10﹣2t）cm，
∴10﹣2t＝2×t，
解得：t＝；
②当BP＝BQ时，如图2，
则10﹣2t＝t，
解得：t＝；
③当PB＝PQ时，
如图3，过P作PG⊥BQ于G，
则QG＝BG＝BQ＝t（cm），∠PGB＝90°＝∠ACB，
又∵∠B＝∠B，
∴△BPG∽△BAC，
∴＝，
即＝，
解得：t＝；
∵0＜t≤5，＜＜＜5，
∴t为或或时，△PBQ是等腰三角形．



【点评】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．