江苏省常州市溧阳市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州市溧阳市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市溧阳市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）
1．下列关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+1＝0 B．2x+y＝5 C． D．x2﹣2x﹣3＝0
2．一元二次方程x2﹣2（x﹣2）＝3的一般形式是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣7＝0 D．（x﹣1）2＝0
3．方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
4．若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则下列各式一定成立的是（　　）
A．a+b+c＝1 B．a+b+c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b+c＝1
5．已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
6．△ABC的周长为36，面积为36，则该三角形的内切圆半径是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
7．如图，∠C＝15°，且，则∠E的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
二、填空题（本大题共10小题。每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为　 　．
10．定义一种运算“⊕”，其规则为a⊕b＝a2﹣b2+5，则方程x⊕3＝0的解为 　 　．
11．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣a＝0的一个根是2，则该方程的另一个根为 　 　．
12．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式m3+2m2+2022的值为 　 　．
13．已知圆锥侧面展开的扇形面积是24π，圆心角是60°，则该圆锥的母线长是 　 　．
14．在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，∠ACB＝90°，过点A画直线AP⊥AC，与以点C为圆心，5cm长为半径的圆交于点P，则线段PB的长为 　 　cm．
15．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为 　 　．

16．工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺按如图摆放，测得AB＝3cm，由此可算得该圆木的直径为 　 　cm．

17．根据下列表格的对应值：
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+bx+c
﹣0.0619
﹣0.04
﹣0.0179
0.0044
0.0269
判断方程x2+bx+c＝0一个解x的取值范围为 　 　．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆的中点，连接AC、BC，点P是劣弧AC上一点，连接PA、PB、PC，若PA＝，PC＝2cm，则PB＝　 　cm．

三、解答题（本大题共8小题，共64分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（20分）解方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x（x+3）＝（x+3）；
（3）2x2﹣6x+3＝0；
（4）x2﹣5x﹣14＝0．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）若该方程的两个解为x1、x2，且x1+x2＝5，求此时该方程的解；
（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
21．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4）．
（1）请画出该平面直角坐标系，写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标 　 　；
（2）求过点B且与圆P相切的直线函数表达式．

22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．

23．阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y满足2x2+2y2+32x2+2y2﹣3＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ABC的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
24．如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC、BC于点M、N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E．
（1）求证：ME是⊙O的切线；
（2）若CD＝5，AC＝8，求ME的长．

25．某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．
领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？
导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠．
领队：超过100人怎样优惠呢？
导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元．
该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）．请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？
26．如图，点A是⊙O（半径为r）上的一点．

（1）尺规作图：请你用两种不同方法作⊙O的内接等边△ABC；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在劣弧BC上任意取一点D，连接AD、BD、CD，请你直接写出AD、BD、CD之间的数量关系 　 　；
（3）等边△ABC的三个顶点将⊙O分成三段弧，将这三段弧沿等边△ABC的三边向圆内折叠，则这三段弧折叠后重合部分的面积为 　 　．（用含r的代数式表示）



参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）
1．下列关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+1＝0 B．2x+y＝5 C． D．x2﹣2x﹣3＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A、x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、2x+y＝5是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、x2﹣2x﹣3＝0是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
2．一元二次方程x2﹣2（x﹣2）＝3的一般形式是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣7＝0 D．（x﹣1）2＝0
【分析】去括号，移项，合并同类项，即可得出选项．
解：x2﹣2（x﹣2）＝3，
x2﹣2x+4﹣3＝0，
x2﹣2x+1＝0，
即一元二次方程x2﹣2（x﹣2）＝3的一般形式是x2﹣2x+1＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键．
3．方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题．
解：∵x2﹣2x＝0，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
4．若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则下列各式一定成立的是（　　）
A．a+b+c＝1 B．a+b+c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b+c＝1
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义求解，把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得，a+b+c＝0．
解：∵x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
∴将x＝1代入方程得a+b+c＝0，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0中几个特殊值的特殊形式：x＝1时，a+b+c＝0；x＝﹣1时，a﹣b+c＝0．
5．已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
解：∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
6．△ABC的周长为36，面积为36，则该三角形的内切圆半径是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】设这个三角形的内切圆半径是rcm，再根据三角形的面积公式S＝Cr，即可得出结论．
解：设这个三角形的内切圆半径是r，
∵三角形面积为36，周长为36，
∴36＝×36r，
解得r＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．
7．如图，∠C＝15°，且，则∠E的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】连接OA、OB、OC和OD，根据圆心角定理求出∠AOD的度数，又知＝＝，即可求出∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝110°，进而求出∠BAC＝55°，再根据∠BAC＝∠C+∠E，即可求出∠E的度数．
解：连接OA、OB、OC和OD，
∵∠C＝15°，
∴∠AOD＝30°
∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝110°，
∴∠BAC＝∠BOC＝55°，
∵∠BAC＝∠C+∠E，
∴∠E＝40°．
故选：C．

【点评】本题主要按考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系的知识点，解答本题的关键是求出∠BAC的度数，本题比较简单．
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题。每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，求出a的值即可
解：把x＝0代入方程得：a2﹣1＝0，
解得：a＝±1，
∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
即a≠1，
∴a的值是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a﹣1≠0且a2﹣1＝0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．
10．定义一种运算“⊕”，其规则为a⊕b＝a2﹣b2+5，则方程x⊕3＝0的解为 　x1＝2，x2＝﹣2　．
【分析】先根据新定义得到x2﹣32+5＝0，再移项得x2＝4，然后利用直接开平方法求解．
解：∵x⊕3＝0，
∴x2﹣32+5＝0，
∴x2＝4，
所以x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
11．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣a＝0的一个根是2，则该方程的另一个根为 　﹣1　．
【分析】设该方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得2+t＝1，然后解一次方程即可．
解：设该方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝1，
解得t＝﹣1，
即该方程的另一个根为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式m3+2m2+2022的值为 　2023　．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2＝﹣m+1，再用m表示m3得到m3＝2m﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2＝﹣m+1，
∴m3＝m（﹣m+1）＝﹣m2+m＝﹣（﹣m+1）+m＝2m﹣1，
∴m3+2m2+2022＝2m﹣1+2（﹣m+1）+2022＝2m﹣1﹣2m+2+2022＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．已知圆锥侧面展开的扇形面积是24π，圆心角是60°，则该圆锥的母线长是 　12　．
【分析】设这个圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到＝24π，然后解方程求出l即可．
解：设这个圆锥的母线长为l，
根据题意得＝24π，
解得l＝12．
答：这个圆锥的母线长为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，∠ACB＝90°，过点A画直线AP⊥AC，与以点C为圆心，5cm长为半径的圆交于点P，则线段PB的长为 　4或　cm．
【分析】画出相应的图形，⊙C与直线AP有两个交点，根据垂径定理和勾股定理可求出AP1＝AP2＝3，进而求出BP的长即可．
解：如图，∵∠ACB＝90°，AP⊥AC，
∴AP1＝AP2，
∵CP1＝CP2＝5cm，AC＝4cm，
∴AP1＝AP2＝＝3（cm），
又∵BC＝3cm＝AP1，AP1∥BC，
∴四边形ACBP1是平行四边形，
∴BP1＝AC＝4cm，
在Rt△BP1P2中，BP1＝4cm，P1P2＝6cm，
∴BP2＝＝2（cm），
∴BP的长为4cm或2cm，
故答案为：4或2．

【点评】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
15．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为 　　．

【分析】利用垂径定理得出CE＝DE，再两个直角三角形中 由勾股定理分别表示出AE2，进而得出含有BE的方程，再求解求出BE，进而求出CE、CD、BD即可．
解：如图，过点O作OE⊥CD，垂足为E，则CE＝DE＝CD，
设BE＝x，则CE＝x+2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
AE2＝AB2﹣BE2，
即AE2＝42﹣x2，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，
AE2＝AC2﹣CE2，
即AE2＝52﹣（x+2）2，
所以42﹣x2＝52﹣（x+2）2，
解得x＝，
即BE＝，
∴CE＝+2＝，
∴CD＝2CE＝，
∴BD＝CD﹣BC＝，
故答案为：．

【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理以及勾股定理是正确解答的前提．
16．工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺按如图摆放，测得AB＝3cm，由此可算得该圆木的直径为 　6　cm．

【分析】如图，⊙O切三角板的斜边于C点，连接OA、OB，利用邻补角计算出∠ABC＝120°，再根据切线长定理和切线的性质得到OB平分∠ABC，OA⊥AB，所以∠ABO＝60°，∠OAB＝90°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA的长，从而得到圆的直径．
解：如图，⊙O切三角板的斜边于C点，连接OA、OB，则∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∵⊙O与三角板和直尺相切，
∴OB平分∠ABC，OA⊥AB，
∴∠ABO＝60°，∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，
∵∠ABO＝60°，
∴OA＝AB＝3cm，
∴该圆木的直径为6cm．
故答案为：6．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
17．根据下列表格的对应值：
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+bx+c
﹣0.0619
﹣0.04
﹣0.0179
0.0044
0.0269
判断方程x2+bx+c＝0一个解x的取值范围为 　0.61＜x＜0.62　．
【分析】根据函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c＝0一个解的范围．
解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，
函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.0179与y＝0.0044之间，
∴对应的x的值在0.61与0.62之间即0.61＜x＜0.62．
故答案为：0.61＜x＜0.62．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆的中点，连接AC、BC，点P是劣弧AC上一点，连接PA、PB、PC，若PA＝，PC＝2cm，则PB＝　3　cm．

【分析】过C作CD⊥BP于点D，先根据点C是半圆的中点，得∠CPE＝45°，由PC＝2，求得CD＝PD＝，再证明△AEP≌△CED得PE＝DE，再证明△ECD∽△CBD，求得BD，由线段和差求得BP便可．
解：过C作CD⊥BP于点D，

∵点C是半圆的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠CPD＝∠CAB＝45°，
∴PD＝CD＝PC＝，
∵AP＝，
∴AP＝CD，
∵∠APB＝∠CDE＝90°，∠AEP＝∠CED，
∴△AEP≌△CED（AAS），
∴PE＝DE＝，
∵∠CDE＝∠BDC＝∠BCE＝90°，
∴∠CED+∠DCE＝∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠CED＝∠BCD，
CED＝∠BEC，
∴△ECD∽△CBD，
∴，
∴BD＝，
∴BP＝PD+BD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形，相似三角形，关键是作辅助线构造全等三角形与相似三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共64分请在答卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（20分）解方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x（x+3）＝（x+3）；
（3）2x2﹣6x+3＝0；
（4）x2﹣5x﹣14＝0．
【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用公式法求出解即可；
（4）方程利用因式分解法求出解即可．
解：（1）开方得：x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，
解得：x1＝4，x2＝0；
（2）方程移项得：x（x+3）﹣（x+3）＝0，
分解因式得：（x+3）（x﹣1）＝0，
所以x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3；
（3）这里a＝2，b＝﹣6，c＝3，
∵Δ＝36﹣24＝12＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）分解因式得：（x+2）（x﹣7）＝0，
所以x+2＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝7．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）若该方程的两个解为x1、x2，且x1+x2＝5，求此时该方程的解；
（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【分析】（1）利用根与系数的关系得到k+3＝5，解得k＝2，则方程变形为x2﹣5x+6＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算根的判别式得到Δ＝k2+6k+9﹣12k＝（k﹣3）2，则可判断Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论．
【解答】（1）解：根据题意得x1+x2＝k+3，
而x1+x2＝5，
∴k+3＝5，
解得k＝2，
方程变形为x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2，x2＝3；
（2）证明：∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×3k
＝k2+6k+9﹣12k
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
21．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4）．
（1）请画出该平面直角坐标系，写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标 　（﹣1，1）　；
（2）求过点B且与圆P相切的直线函数表达式．

【分析】（1）根据点A的坐标为（0，4）可确定原点，从而可建立直角坐标系，由圆弧所在圆的圆心P在AB的垂直平分线上，可设P（﹣1，m），根据PA＝PC，即得（﹣1﹣0）2+（m﹣4）2＝（﹣1﹣2）2+（m﹣2）2，故P（﹣1，1）；
（2）连接PB，设过点B且与圆P相切的直线交y轴于K，过B作y轴平行线，过P作x轴平行线，两平行线交于G，利用△BGP∽△BAK，可求得AK，即可得K的坐标，从而可求出直线BK的函数表达式．
解：（1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），如图：

由图可得，A（0，4），B（﹣2，4），C（2，2），
∵圆弧所在圆的圆心P在AB的垂直平分线上，
∴xP＝﹣1，
设P（﹣1，m），
∵PA＝PC，
∴（﹣1﹣0）2+（m﹣4）2＝（﹣1﹣2）2+（m﹣2）2，
解得m＝1，
∴P（﹣1，1）；
故答案为：（﹣1，1）；
（2）连接PB，设过点B且与圆P相切的直线交y轴于K，过B作y轴平行线，过P作x轴平行线，两平行线交于G，如图：

∵BK与⊙P相切于B，
∴∠KBA+∠ABP＝90°，
∵∠ABP+∠GBP＝90°，
∴∠∠KBA＝∠GBP，
∵∠BGP＝90°＝∠BAK，
∴△BGP∽△BAK，
∴＝，
∵A（0，4），B（﹣2，4），P（﹣1，1），
∴BG＝3，PG＝1，AB＝2，
∴＝，
∴AK＝，
∴OK＝OA+AK＝，
∴K（0，），
设直线BK函数表达式为y＝kx+，
将B（﹣2，4）代入得：4＝﹣2k+，
解得k＝，
∴直线BK函数表达式为y＝x+．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及直角坐标系，圆的性质及应用，相似三角形的判定与性质，待定系数法等知识，解题的关键是确定圆心的坐标．
22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD＝45°，然后再利用三角形的外角性质进行计算即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用（1）的结论可得＝，从而可得AD＝DB，然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠AED＝∠ACE+∠CAE＝70°，
∴∠AED的度数为70°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝DB，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝＝2，
∴AD的长为2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
23．阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y满足2x2+2y2+32x2+2y2﹣3＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ABC的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；
（2）设a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根据勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圆的半径为1．
解：（1）设2x2+2y2＝t，
则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，
整理得：t2＝36，
解得，t＝±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）设a2+b2＝t，
则原方程变形为t（t﹣4）＝5，
整理得t2﹣4t﹣5＝0，
解得：t＝5或﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝5，
∴c＝＝，
∴Rt△ACB外接圆的半径为．
【点评】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
24．如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC、BC于点M、N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E．
（1）求证：ME是⊙O的切线；
（2）若CD＝5，AC＝8，求ME的长．

【分析】（1）连接OM，证出OM∥AB，证明OM⊥ME即可；
（2）连接DM，证明DM⊥AC，再由勾股定理求得DM，最后三角形的面积公式求得结果．
【解答】（1）证明：如图，连接OM，

∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，
∴CD＝DA＝DB＝AB，
∴∠ACD＝∠A，
∵OC＝OM，
∴∠ACD＝∠OMC，
∴∠OMC＝∠A，
∴OM∥AB，
∵ME⊥AB，
∴ME⊥OM，
∵OM为半径，
∴ME为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接DM，

∵CD＝5，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD＝5，
∵CD为直径，
∴∠CMD＝90°，
∴AM＝CM＝4，
∴DM＝．
∵，
∴＝2.4．
【点评】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
25．某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．
领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？
导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠．
领队：超过100人怎样优惠呢？
导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元．
该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）．请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？
【分析】设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为（300﹣0.6x）元，根据该学校共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为300×0.8﹣6×＝（300﹣0.6x）元，
依题意得：（300﹣0.6x）x＝36000，
整理得：x2﹣500x+60000＝0，
解得：x1＝200，x2＝300，
当x＝200时，300﹣0.6x＝300﹣0.6×200＝180＞150，符合题意；
当x＝300时，300﹣0.6x＝300﹣0.6×300＝120＜150，不符合题意，舍去．
答：学校这次到该景点参加秋游活动的学生有200人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．如图，点A是⊙O（半径为r）上的一点．

（1）尺规作图：请你用两种不同方法作⊙O的内接等边△ABC；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在劣弧BC上任意取一点D，连接AD、BD、CD，请你直接写出AD、BD、CD之间的数量关系 　AD＝CD+BD　；
（3）等边△ABC的三个顶点将⊙O分成三段弧，将这三段弧沿等边△ABC的三边向圆内折叠，则这三段弧折叠后重合部分的面积为 　πr2﹣r2　．（用含r的代数式表示）

【分析】（1）方法1，以A为圆心r为半径作圆，与圆O交于点E，G；再以E，G分别为圆心，r为半径作圆，与圆O交于点B、C；以B为圆心，r为半径作圆与圆O交于F；连接AB、AC、BC即为所求三角形；方法2，以圆上任意一点E为圆心，EA长为半径作圆；以A为圆心，AE长为半径作圆，与圆O交于F点，圆E与圆A交点G，H；连接FG，FH；作FG和AH的垂直平分线分别交圆O于点B，点C；连接AB、AC、BC即为所求三角形；
（2）在AD上截取GD＝BD，连接BG，证明△ABG≌△CBD（SAS），即可得AD＝CD+BD；
（3）过O作EO⊥BC交于E点，由S＝S⊙O﹣2S△ABC，分别求出圆O的面积与△ABC的面积即可求解．
解：（1）如图：方法1，以A为圆心r为半径作圆，与圆O交于点E，G；
再以E，G分别为圆心，r为半径作圆，与圆O交于点B、C；
以B为圆心，r为半径作圆与圆O交于F；
连接AB、AC、BC即为所求三角形；
方法2，以圆上任意一点E为圆心，EA长为半径作圆；
以A为圆心，AE长为半径作圆，与圆O交于F点，圆E与圆A交点G，H；
连接FG，FH；
作FG和AH的垂直平分线分别交圆O于点B，点C；
连接AB、AC、BC即为所求三角形；
（2）在AD上截取GD＝BD，连接BG，
∵∠BDA＝∠ACB，
∴∠BDG＝60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴BD＝GD，∠GBD＝60°，
∴∠ABG＝∠CBD，
∵AB＝BC，BD＝BG，
∴△ABG≌△CBD（SAS），
∴CD＝AG，
∴AD＝GD+AG＝CD+BD，
故答案为：AD＝CD+BD；
（3）过O作EO⊥BC交于E点，
在△BCO中，BO＝CO＝r，∠OBC＝30°，
∴OE＝r，BE＝r，
∴BC＝r，
∴S△BOC＝r×r＝r2，
∴S△ABC＝3S△BOC＝r2，
S＝S⊙O﹣2S△ABC＝πr2﹣2×r2＝πr2﹣r2，
故答案为：πr2﹣r2.



【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的内接三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．