江苏省常州市溧阳市2022年九年级上学期期末数学试卷及答案

 九年级上学期期末数学试卷

一、单选题

1．一个黑色布袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外其它都相同，从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是（　　） 

A． B． C． D．

2．数据1，2，3，4，5的方差是（　　） 

A． B．2 C．3 D．5

3．在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40° ，则直角边AC的长是（　　） 

A．m sin40° B．mcos40° C．mtan 40° D．

4．抛物线y=x2+2x-3与x轴两个交点间的距离是（　　） 

A．2 B．-2 C．4 D．-4

5．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图， 为 的直径，弦 于 ， 寸， 寸，求直径 的长.”则 （　　） 

A． 寸 B． 寸 C． 寸 D． 寸

6．如图，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，CD⊥OA，垂足为D，则cos∠AOB的值等于（　　）
 

A．OD B．OA C．CD D．AB

7．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(　　) 

A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m

B．线段CD的函数解析式为

C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快

D．曲线段AB的函数解析式为

8．已知点 均在抛物线 上，其中 .若 ，则m的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

二、填空题

9．已知 为锐角，且 ，那么 等于　     　. 

10．二次函数y=x2-2x+1的顶点坐标是　         　.

11．如果两个相似三角形的周长比是1︰4，那么它们的面积比是　     　.

12．若一元二次方程x2-4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　     　.

13．若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第　     　象限.

14．如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为　     　.

15．如图，在边长为1的正网格中，A、B、C都在格点上，AB与CD相交于点D，则sin ∠ADC=　     　.

16．如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是　     　（写所有正确论的号）

①AM平分∠CAB；② ；③若AB=4，∠APE=30°，则 的长为 ；④若AC=3BD，则有tan∠MAP= .

17．如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为　     　.

三、解答题

18．老李有一块长方形菜地（长大于宽），面积为180m2，他利用菜地宽处修了一个宽为3m的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地.那么老李原来的菜地周长为　     　m.

19．解下列方程：

（1）

（2）

20．计算：

（1）

（2）

21．如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等（指针停在分割线上再转一次）.

（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为　     　.

（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游规则：随机转动转盘两次、停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜.你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由.

22．   

（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=8，求AB和AC的长；

（2）在△ABC中，∠C=90°，a= ，b=3 ，解这个直角三角形. 

23．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现.在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元.日销售量将减少20千克.

（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多.

24．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC=∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F.

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若sin∠CAB= ，求  =　     　.（直接写出答案）

25．小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为60°的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为45°方向，求小王与受伤人员间AC的距离.（结果保留根号）

26．如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；

（3）若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标.

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】A

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】

10．【答案】（1，0）

11．【答案】1：16

12．【答案】

13．【答案】一

14．【答案】22.5°

15．【答案】

16．【答案】①②④

17．【答案】

18．【答案】54

19．【答案】（1）解：

解得： ， .

（2）解：

解得： ， .

20．【答案】（1）解：原式

.

（2）解：原式

.

21．【答案】（1）

（2）解：如图，画树状图如下： 

由树状图可得：所有的等可能的结果数有   个，积为偶数的结果数有   个，

所以小明胜的概率为：   小华胜的概率为：  

而   所以游戏不公平.

22．【答案】（1）解： 在 中， ，且 ， 

， .

（2）解：在 中，由勾股定理可知： ， 

， ，

，   .

23．【答案】（1）解：设涨价x元，根据题意，得（x+10）（500-20x）=6000，

整理，得 ，

解得 ， ，

要让顾客得到实惠，故x=5，

故每千克应涨价5元.

（2）解：设总利润为y元，

则y=（x+10）（500-20x），

=

=

∵-20＜0，

∴二次函数有最大值，

且当x= 时，有最大值，且最大值为6125，

∴当涨价为 元时，利润最大，最大利润为6125元.

24．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
 

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠ACO，

∵∠FAC=∠BAC，

∴∠FAC=∠ACO，

∴AF//OC，

∴∠AFC+∠OCF=180°，

∵CF⊥AF，

∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切线.

（2）

25．【答案】解：过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，如下图所示：

由题意可知 ， ， ，

在 中， ， ，

， ，

在 中， ，

，

.

26．【答案】（1）解：由题意可知：点A（-1，0）、B（3，0）在抛物线y=-x2+bx+c上， 

，解得：   ，

抛物线的函数解析式为：   .

（2）解：连接  ，如下图所示： 

由   可知：对称轴为：直线   ，   （0，3），   （1，4），

由两点间距离公式可得：   ，   ，  

在   中，   ，

为直角三角形，且   ，

，且   ，

，即   ，

设直线   解析式为：   ，直线   解析式为：   ，

，解得：   ，

直线   解析式为：   ，

，

，即   ，

直线   解析式为：   ，

将   代入得：   ，故直线   解析式为：   ，

联立   与   有：

解得：   或   ，

  点P的坐标为   .

（3）解：设直线  切⊙  与点  ，连接  、  ，作  于点  ，如下图所示： 

由题意可知：   ，   ，

由   可知：对称轴为：直线   ，   （0，3），   （1，4），

，   ，即   ，

是等腰直角三角形，

，

，

，

为等腰直角三角形，

设   ，故   ，

在   中，   ，

由勾股定理可知：   ，

，

解得：   ，

   、   .