2022-2023学年江苏省常州市天宁区北郊中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市天宁区北郊中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  年月日，“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲某校名学生在线观看了“天宫课堂”第三课，并参与了关于“你最喜爱哪一个太空实验？”的问卷调查若从中随机抽取名学生的问卷调查情况进行统计分析，则以下说法不正确的是(    )

A. 名学生是总体 B. 名学生选择的太空实验是样本
C. 是样本容量 D. 每一名学生选择的太空实验是个体

3.  连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷正面朝上的是(    )

A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件

4.  分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

5.  给出下列判断，正确的是(    )

A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．

6.  我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在边长为的正方形的边上有一个动点，从出发沿折线移动一周，回到点后继续周而复始设点移动的路程为，的面积为请结合右侧函数图象分析当时，的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若分式的值为零，则的值为______．

10.  若，则代数式的值是        ．

11.  如图，平行四边形中，和交于点，若，，则边长的取值范围是______ ．

12.  某射箭运动员在同一条件下的射箭记录计如下：

根据以上统计结果．估计这名运动员射击一次时“射中环以上”的概率为______结果保留小数点后一位

13.  关于的方程有增根，则的值是______ ．

14.  若分式的值是整数，则可以取最小整数的值是______．

15.  如图，在边长为的正方形中，点、分别是边，的中点，连接，，点、分别是，的中点，连接，则的长度为______ ．

16.  如图，在菱形中，，，点和点分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简：
；
．

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
先化简，再求值：，请选择一个合适的整数作为的值代入求值．

20.  本小题分
用电脑程序控制小型赛车进行米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，“畅想号”从起点出发秒后，“和谐号”才从起点出发，结果“和谐号”迟到秒到达终点．已知“和谐号”是“畅想号”的平均速度的倍，“畅想号”的平均速度是多少？

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，．
若与关于原点成中心对称点，，分别与点，，对应，试在图中画出；
将以为中心顺时针旋转得到，试在图中画出；
若可由以点为中心旋转得到，则点的坐标是______．

22.  本小题分
随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷每人必选且只选一种某校九年级班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
这次参与调查的共有        人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为        ；
将条形统计图补充完整；
如果该校有人在使用手机：
在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“”的概率是        ．
请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
 

23.  本小题分
如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、，连接、．
求证：四边形是菱形；
若四边形的周长为，，求的长．

24.  本小题分
阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，．(    )
应用上面的结论解答下列问题：
方程的两个解分别为、，则 ______ ， ______ ；
方程的两个解中较大的一个为______ ；
关于的方程的两个解分别为、，求的值．

25.  本小题分
如图，在矩形中，已知，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，把沿着翻折得到．
如图，射线恰好经过点，试求此时的值；
当射线与边交于点时，是否存在这样的的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
【解答】
解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】A、名学生的问卷调查结果是总体，说法错误，故A符合题意；
B、名学生选择的太空实验是样本，说法正确，故B不合题意；
C、是样本容量，说法正确，故B不合题意；
D、每一名学生选择的太空实验是个体，说法正确，故D不合题意．
故选：．
根据统计中的总体，样本，个体，样本容量，逐一判断选项，即可．
本题主要考查了统计中的总体，样本，个体，样本容量，熟练掌握概念是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：“第四次抛掷正面朝上”是随机事件．
故选：．
根据随机事件的定义即可判断．
本题考查了随机事件的定义，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
．
故选：．
根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】
解：、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据单价总价数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，
，
绕点旋转得到，
，
，
．
故选：．
根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在正方形的边上每运动一周，则的值增加，
周单位长度，
当时，点位于上距离点个单位长度处，
，
故选：．
观察函数图象可知，点在正方形的边上每运动一周，则的值增加，而周单位长度，则当时，点位于上距离点个单位长度处，于是可以求得的面积为，即，得到问题的答案．
此题考查动点问题的函数图象，掌握正方形的性质、三角形的面积公式、一次函数的图象、动点问题的求解等知识与方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到且，从而得到的值．
【解答】
解：依题意得：且，
解得．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
，
原式

．
故答案为：．
根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想求值是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
．
故答案为：．
由平行四边形中，对角线和交于点，若，，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得与的值，又由三角形的三边关系，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系．注意平行四边形的对角线互相平分是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是．
故答案为：．
根据大量的试验结果稳定在左右即可得出结论．
本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得，
由分式方程有增根，得到，即，
，
解得：．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：分式的值是整数，
，，，
，，，，，
的最小整数的值为．
故答案为：．
先根据分式的值为整数，求出所有的的值，从而得到答案．
本题考查了分式的值，解题的关键是先求出所有满足条件的的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，连接，

四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
点，分别是，的中点，
．
连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，交于，连接，，

在菱形中，，
，，
是等边三角形，
点，点关于对称，
，，
，
又是等边三角形，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当点，，三点共线时，的最小值为的长，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，则，即当点，，三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


；
原式


． 

【解析】根据分式的加减法则进行计算即可；
先算括号里面的，再算括号外面的即可．
本题考查的是分式的加减法，熟知分式的加减法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

19.【答案】解：原式

，
要使原式有意义，且，即且，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件选择一个合适的整数代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分式有意义的条件是解题的关键．
 

20.【答案】解：设“畅想号”的平均速度为米秒，则“和谐号”的平均速度的米秒，
由题意得，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：“畅想号”的平均速度米秒． 

【解析】设“畅想号”的平均速度为米秒，则“和谐号”的平均速度的米秒，根据“畅想号”从起点出发秒后，“和谐号”才从起点出发，结果“和谐号”迟到秒到达终点，可得方程，解出即可．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图所示：

解：如图所示：

解：点的位置如图所示：

由图可知，点的坐标为．
故答案为：．
根据成中心对称的两个图形的特征，即可画出图形；
根据旋转图形的性质，即可画出图形；
根据旋转的性质，即可找到点，从而求出点的坐标．
本题主要考查了作图旋转、成中心对称，作已知两个图形的旋转中心，解题的关键是掌握相关的作图方法．
 

22.【答案】     

【解析】解：这次参与调查的共有人，
最喜欢用“短信”进行沟通的人数为人，
最喜欢用“微信”进行沟通的人数为人，
表示“微信”的扇形圆心角的度数为，
故答案为：，；
补全条形统计图如下：

抽取的恰好使用“”的概率，
答：抽取的恰好使用“”的概率是，
故答案为：；
该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数为人，
答：该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数为人．
根据最喜欢用“电话”进行沟通的人数除以它所占的比例求出总人数为人，再求出最喜欢用“短信”进行沟通的人数和最喜欢用“微信”进行沟通的人数，再求圆心角度数即可；
根据数据直接补全统计图即可；
用使用的人数除以总人数即可；
全校总人数乘以最喜欢用“微信”进行沟通的人数所占比例即可．
本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和利用样本估计总体．
 

23.【答案】证明：，
．
直线是对角线的垂直平分线，
，．
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：菱形的周长为，
，
又，
，
在中，由勾股定理得，
，
． 

【解析】

【分析】证≌，得出，由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
由菱形的周长得到菱形的边长，由菱形的性质及得到，在中由勾股定理得到的长，进而得到的长．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．  

24.【答案】     

【解析】解：方程的两个解分别为、，
，，
故答案为：，；
设方程的两个解为，，
则，，
，或，，
两个解中较大的一个为；
故答案为：；


，
或，
或，
，
，，
．
根据材料可得：，，计算出结果；
设方程的两个解为，，同理得，，解出可得结论；
将原方程变形后变为：，未知数变为整体，根据材料中的结论可得：，，代入所求式子可得结论．
此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
 

25.【答案】解：如图，

，
，
由轴对称得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
；
存在，分两种情况：
当点在矩形内部时，过作于，过作于，如图，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得；
当点在矩形的外部时，如图：

，
，
，，
，即，
，
此时与重合，
综上，存在这样的值，使得，的值为或． 

【解析】先证明，得，根据勾股定理得，由，可得结论；
分两种情况：点在矩形的内部和外部，根据等量关系列方程可解答．
本题考查四边形综合题、矩形的性质、几何动点问题，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题，属于中考压轴题．