2018-2022年山西中考数学5年真题1年模拟汇编 专题08 函数（7个考向）（学生卷+教师卷）

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专题08函数

考向1平面直角坐标系
1．（2021•山西）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为 　（2，﹣3）　．

【答案】（2，﹣3）
【解析】∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），
∴得出坐标轴如下图所示位置：

∴点C的坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
考向2一次函数的实际应用
2．（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
解：（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1＝30x+200，方式二的费用为：y2＝40x；
（2）由y1＜y2得：30x+200＜40x，
解得x＞20时，
当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．
考向3反比例函数的图像与性质
3．（2021•山西）已知反比例函数y=6x，则下列描述不正确的是（　　）
A．图象位于第一，第三象限
B．图象必经过点（4，32）
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】A．∵k＝6＞0，
∴图象位于第一，第三象限，
故A正确，不符合题意；
B．∵4×32=6＝k，
∴图象必经过点（4，32），
故B正确，不符合题意；
C．∵x≠0，
∴y≠0，
∴图象不可能与坐标轴相交，
故C正确，不符合题意；
D．∵k＝6＞0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，
故D错误，符合题意．故选：D．
4．（2020•山西）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【解析】∵反比例函数y=kx（k＜0）的图象分布在第二、四象限，
在每一象限y随x的增大而增大，
而x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0＜y1＜y2．
即y2＞y1＞y3．
故选：A．
5．（2019•山西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为 　16　．

【答案】16
【解析】过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（﹣4，0），D（﹣1，4），
∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA﹣OF＝3，
在Rt△ADF中，AD=32+42=5，
∴OE＝EF﹣OF＝5﹣1＝4，
∴C（4，4）
∴k＝4×4＝16
故答案为：16．

6．（2018•山西）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y1＞0；
（3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围．

解（1）∵一次函数y1＝k1x+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），
∴-4k1+b=-22k1+b=4，
解得k1=1b=2．
∴一次函数的表达式为y1＝x+2．
∵反比例函数y2=k2x的图象经过点D（2，4），
∴4=k22．
∴k2＝8．
∴反比例函数的表达式为y2=8x．
（2）由y1＞0，得x+2＞0．
∴x＞﹣2．
∴当x＞﹣2时，y1＞0．
（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
考向4反比例函数的实际应用
7．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 　400　Pa．

【答案】400
【解析】设p=kS，
∵函数图象经过（0.1，1000），
∴k＝100，
∴p=100S，
当S＝0.25m2时，物体所受的压强p=1000.25=400（Pa），
故答案为：400．
考向5二次函数的图像与性质
8．（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
【答案】C
【解析】根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1．
故选：C．
9．（2018•山西）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
【答案】B
【解析】y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
考向6二次函数的实际应用
10．（2020•山西）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
【答案】C
【解析】由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
11．（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱组成，通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（　　）

A．y=26675x2 B．y=-26675x2
C．y=131350x2 D．y=-131350x2
【答案】B
【解析】设抛物线的解析式为：y＝ax2，
将B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452，
解得：a=-26675，
故此抛物线钢拱的函数表达式为：y=-26675x2．故选：B．
考向7二次函数的综合应用
12．（2022•山西）综合与探究
如图，二次函数y=-14x2+32x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）在y=-14x2+32x+4中，
令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：
8k+4＝0，
解得k=-12，
∴直线BC解析式为y=-12x+4；
（2）过C作CG⊥PD于G，如图：

设P（m，-14m2+32m+4），
∴PD=-14m2+32m+4，
∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，
∴四边形CODG是矩形，
∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，
∴PG＝PD﹣DG=-14m2+32m+4﹣4=-14m2+32m，
∵CP＝CE，CG⊥PD，
∴GE＝PG=-14m2+32m，
∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，
∴△CGE∽△BOC，
∴CGOB=GEOC，即m8=-14m2+32m4，
解得m＝0（舍去）或m＝4，
∴P（4，6）；
（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：
过C作CH⊥PD于H，如图：

设P（m，-14m2+32m+4），
由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，
根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，-14m2+32m+4）代入得：
-14m2+32m+4＝2m+b，
∴b=-14m2-12m+4，
∴直线PF解析式为y＝2x-14m2-12m+4，
令x＝0得y=-14m2-12m+4，
∴F（0，-14m2-12m+4），
∴OF＝|-14m2-12m+4|，
同（2）可得四边形CODH是矩形，
∴CH＝OD，
∵CE＝FD，
∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），
∴∠HCE＝∠FDO，
∵∠HCE＝∠CBO，
∴∠FDO＝∠CBO，
∴tan∠FDO＝tan∠CBO，
∴OFOD=OCOB，即|-14m2-12m+4|m=48，
∴-14m2-12m+4=12m或-14m2-12m+4=-12m，
解得m＝25-2或m＝﹣25-2或m＝4或m＝﹣4，
∵P在第一象限，
∴m＝25-2或m＝4．
13．（2021•山西）综合与探究
如图，抛物线y=12x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．

解：（1）当y＝0时，12x2+2x﹣6＝0，
解得x1＝﹣6，x2＝2，
∴A（﹣6，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；
（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，

∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；
如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，

∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m1＝﹣25，m2＝25（舍去），
∴点D的坐标为（﹣25，25-6），
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（2﹣25，25）；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣25，25）；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，

∵A（﹣6，0），B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+b，
∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣4m﹣12），
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC，
∴12（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）=12×6×6，
整理得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），
∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），
∴点M的坐标为（﹣2，8），
∴DM=(-2+5)2+(8+1)2=310，
答：DM的长为310．
14．（2020•山西）综合与探究
如图，抛物线y=14x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

解：（1）令y＝0，得y=14x2﹣x﹣3＝0，
解得，x＝﹣2，或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
-2k+b=04k+b=-3，
解得，k=-12b=-1，
∴直线l的解析式为y=-12x-1；
（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
P（m，14m2﹣m﹣3），N（m，-12m﹣1），

∴PM=-14m2+m+3，MN=12m+1，NP=-14m2+12m+2，
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得-14m2+m+3＝3（12m+1），
解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），
∴P（0，﹣3）；
②当PM＝3NP时，得-14m2+m+3＝3（-14m2+12m+2），
解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），
∴P（3，-154）；
∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，-154）或（0，﹣3）；
（3）∵直线l：y=-12x-1与y轴交于点E，
∴点E的坐标为（0，﹣1），
分两种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，

过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠Q1HE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，
∴△Q1EH∽△AEO，
∴Q1HAO=EHEO，即Q1H2=EH1
∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，
∴Q1H＝DH，
∴DH＝2EH，
∴HE＝ED，
连接CD，
∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），
∴CD⊥y轴，
∴ED=CE2+CD2=22+42=25，
∴HE=ED=25，Q1H=2EH=45，
∴Q1E=Q1H2+EH2=10，
∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，
∴Q1（0，9）；
②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，

∵∠Q2EG＝∠AEO，
∴△Q2GE∽△AOE，
∴Q2GAO=EGOE，即Q2G2=EG1，
∴Q2G＝2EG，
∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，
∴DG＝Q2G＝2EG，
∴ED＝EG+DG＝3EG，
由①可知，ED＝25，
∴3EG＝25，
∴EG=253，
∴Q2G=453，
∴EQ2=EG2+Q2G2=103，
∴OQ2=OE+EQ2=133，
∴Q2(0，-133)，
综上，点Q的坐标为（0，9）或（0，-133）．
15．（2019•山西）如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC、BC、DB、DC．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值．
（3）当m＝2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝6，解得：a=-34，
故抛物线的表达式为：y=-34x2+32x+6；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，6），
由点B、C的坐标，得直线BC的表达式为：y=-32x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H，

设点D（m，-34m2+32m+6），则点H（m，-32m+6），
则S△BDC=12HD×OB＝2（-34m2+32m+6+32m﹣6）＝2（-34m2+3m），
∴34S△ACO=34×12×6×2=92，
即：2（-34m2+3m）=92，
解得：m＝1或3（舍去1），故m＝3；
（3）当m＝2时，点D（2，6），
设点M（x，0），点N（t，n），则n=-34t2+32t+6①，
①当BD是边时，
点B向左平移2个单位向上平移6个单位得到点D，同样点M（N）向左平移2个单位向上平移6个单位得到点N（M），
故x-2=t6=n或x+2=t-6=n，
解得x＝2或1±17（不合题意的值已舍去）；
故点M的坐标为（﹣1+17，0）或（﹣1-17，0）或（2，0）；
②当BD是对角线时，
由中点公式得：12（2+4）=12（x+t），12（6+0）=12（n+0）③，
联立①③并解得x＝6，
故点M的坐标为（6，0），
综上，点M的坐标为（﹣1+17，0）或（﹣1-17，0）或（2，0）或（6，0）．
16．（2018•山西）综合与探究
如图，抛物线y=13x2-13x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

解：（1）当y＝0，13x2-13x﹣4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
当x＝0，y=13x2-13x﹣4＝﹣4，
∴C（0，﹣4）；
（2）AC=32+42=5，
易得直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），
当CQ＝CA时，m2+（m﹣4+4）2＝52，解得m1=522，m2=-522（舍去），此时Q点坐标为（522，522-4）；
当AQ＝AC时，（m+3）2+（m﹣4）2＝52，解得m1＝1，m2＝0（舍去），此时Q点坐标为（1，﹣3）；
当QA＝QC时，（m+3）2+（m﹣4）2＝m2+（m﹣4+4）2，解得m=252（舍去），
综上所述，满足条件的Q点坐标为（522，522-4）或（1，﹣3）；
（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，
则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC为等腰直角三角形
∴∠OBC＝∠QFG＝45
∴△FQG为等腰直角三角形，
∴FG＝QG=22FQ，
∵PE∥AC，PG∥CO，
∴∠FPG＝∠ACO，
∵∠FGP＝∠AOC＝90°，
∴△FGP∽△AOC．
∴FGOA=PGCO，即FG3=PG4，
∴PG=43FG=43•22FQ=223FQ，
∴PQ＝PG+GQ=223FQ+22FQ=726FQ，
∴FQ=327PQ，
设P（m，13m2-13m﹣4）（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4），
∴PQ＝m﹣4﹣（13m2-13m﹣4）=-13m2+43m，
∴FQ=327（-13m2+43m）=-27（m﹣2）2+427
∵-27＜0，
∴QF有最大值．
∴当m＝2时，QF有最大值．


1. （2022•太原二模）如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中，从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（　　）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【解析】设水面原来高度为b，每枚棋子可以使水面上升高度为k，投放x枚棋子后水面高度为y，则y＝kx+b，符合一次函数的解析式．
故选：B．
2. （2022•运城二模）如图，李老师在求方程组x+y=7xy=6的近似解时，先在平面直角坐标系中作出了一次函数y＝﹣x+7和反比例函数y=6x的图象，接着观察这两个函数图象的交点坐标，然后得出该方程组的近似解，李老师的这种方法运用的主要数学思想是（　　）

A．公理化思想 B．分类讨论思想
C．整体思想 D．数形结合思想
【答案】D
【解析】如图，利用两个函数图象的交点坐标，得出该方程组的近似解，这种方法运用的主要数学思想是数形结合，故选：D．

3. （2022•太原一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝ax2+bx+c先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到抛物线y＝x2﹣2x﹣4，则抛物线y＝ax2+bx+c的函数表达式为（　　）
A．y＝x2+2x+4 B．y＝x2+4x﹣3 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2﹣8x+13
【答案】B
【解析】y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5．
将抛物线y＝（x﹣1）2﹣5先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度后得到抛物线y＝（x﹣1+3）2﹣5﹣2，即y＝（x+2）2﹣7＝x2+4x﹣3．
所以y＝ax2+bx+c＝x2+4x﹣3．
故选：B．
4. （2022•运城一模）如图，直线y＝﹣x+3与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（　　）

A．小明与小红都是正确的
B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的
D．小明是错误的，小红是正确的
【答案】C
【解析】设点P的坐标为（m，﹣m+3）（0＜m＜3），
则CO＝m，PC＝﹣m+3，
∴C矩形PCOD＝2（CO+CP）＝6，
则小明说法正确；
∵矩形PCOD的面积＝CO×CP＝m（﹣m+3）＝﹣（m-32）2+94，
∴当m=32时，矩形PCOD的面积的最大值为94，
则小红说法错误，故选C．
5. （2022•晋中一模）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y=-132x2+14x+1，则板球运行中离地面的最大高度为（　　）

A．1 B．32 C．83 D．4
【答案】B
【解析】将二次函数y=-132x2+14x+1，化成y=-132（x﹣4）2+32，
当x＝4时，y有最大值，y最大值=32，
因此，板球运行中离地面的最大高度为32．故选：B．
6. （2022•山西模拟）如图，已知正比例函数y＝ax（a≠0）和一次函数y＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），则根据图象可得不等式ax＞﹣2x+b的解集是（　　）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2
【答案】C
【解析】由图象可得，
当x＞2时，正比例函数y＝ax的图象在一次函数y＝﹣2x+b的图象的上方，
∴不等式ax＞﹣2x+b的解集是x＞2，
故选：C．
7. （2022•大同三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I=200R（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【答案】D
【解析】设I与R的函数关系式是I=UR（R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴U880=0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I=220R（R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I=UR（R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
8. （2022•大同模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（　　）

A．点C处 B．点D处 C．点A处 D．点B处
【答案】A
【解析】当P在BA上运动时，△DAP的面积不断增大；
当P在CB运动时，DA一定，高为BA不变，此时面积不变；
当P在CD上运动时，面积不断减小．
∴当x＝7时，点R应运动到高不变的结束，即点C处．
故选：A．
9. （2022•迎泽区模拟）如图，▱OABC的顶点C在反比例函数y=kx的图象上，且点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（5，﹣1），则k的值为 　8　．

【答案】8
【解析】作CD⊥x轴于D，BF∥x轴，交y轴于F，作AG⊥x轴，交BF于E，交x轴于G，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，∠AOC＝∠ABC，OC＝AB，
∴∠FBC＝∠AFB，
∵BF∥x轴，
∴∠AFB＝∠AOD，
∴∠FBC＝∠AOD，
∴∠DOC＝∠ABE，
在△COD和△ABE中，
∠DOC=∠ABE∠ODC=∠AEB=90°OC=AB，
∴△COD≌△ABE（AAS），
∴OD＝BE，CD＝AE，
∵点A坐标为（1，﹣3），点B坐标为（5，﹣1）．
∴EF＝1，AG＝3，BF＝5，EG＝1，
∴AE＝3﹣1＝2，BE＝5﹣1＝4，
∴OD＝4，CD＝2，
∴C（4，2），
∵顶点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝4×2＝8，
故答案为：8．

10. （2022•太原二模）综合与探究
如图1，抛物线y=-34x2+94x+3与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，顶点为点D．连接AB，BC．将△ABC沿x轴向右平移m个单位长度得到△A'B'C'，线段A'B'与线段BC交于点E．
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）当点E是A'B'的三等分点时，求m的值；
（3）如图2，当m=6037时，线段B'C'与CD交于点F，连接EF，B'B．判断点F关于直线A'B'的对称点F′是否在抛物线上，并说明理由．


解：（1）令y＝0得-34x2+94x+3=0，∴x1＝﹣1，x2＝4，
∴C（4，0），A（﹣1，0），
∴AC＝5，
∵x=-b2a=-942×(-34)=32，4ac-b24a=4×(-34)×3-(94)24×(-34)=7516，
∴D（32，7516），
设直线CD的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），
把点C、D的坐标代入得，
4k+b=032k+b=7516，
∴k=-158b=152，
∴直线CD的函数表达式为y=-158x+152；
（2）∵点E是A′B′的三等分点，
∴A′E=23A'B'或A′E=13A'B'，
由平移的性质得：A′B′∥AB，A′B′＝AB，
∴ΔA′EC∽△ABC，
∴A'EAB=A'CAC，
当A′E=23A'B' 时，
∴A'C=23AC=23x5=103，
∴m＝AA'＝5-103=53，
当A'E=13A'B'时，
∴A'CAC=A'EAB=A'EA'B'=13，
∴A'C=13AC=13×5=53，
∴m=AA'=5-53=103，
故m的值为53或103；
（3）在，理由如下：
在y=-34x2+94x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
∵m=6037，
∴B'（6037，3），A′（2337，0），C'(20837，0)，
设直线B′C′的函数表达式为：y＝k1x+b1（k1≠0），
6037k1+b1=320837k1+b1=0，
∴k1=-34b1=15637，
直线B′C′的函数表达式为：y=-34x+15637，
同理得直线A′B′的表达式为y＝3x-6937，
直线BC的表达式为y=-34x+3，
解方程组y=-158x=152y=-34x+15637，得：x=10837y=7537，
∴F（10837，7537），
解方程组y=-34x=3Y=3x-6937，得：x=4837y=7537，
∴E（4837，7537），
∴EF∥x轴，EF=10837-4837=6037，
∵m=6037，
∴EF∥BB′，EF＝BB′，
∴四边形BEFB是平行四边形，
∵E（4837，7537），B（0，3），
∴BE=(4837)2+(3-7537)2=6037，
∴BE＝EF，
∴四边形BEFB′是菱形，
∴BF与E′B互相垂直平分，
∴点F与点B关于直线EB′对称，
即点F关于直线A′B′的对称点为点B，
∴点B在抛物线y=-34x2+94x+3上，
∴点F关于直线A′B′的对称点F′在抛物线y=-34x2+94x+3上．
11. （2022•运城二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线PE∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角△PDF．
（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；
（2）设点P的横坐标为m（0＜m＜3），在点P运动的过程中，当等腰直角△PDF的面积为9时，请求出m的值；
（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）分别代入y＝ax2+bx﹣8中，
则4a-2b-8=064a+8b-8=0，
解得a=12b=-3，
∴抛物线的表达式为y=12x2﹣3x﹣8；
令x＝0．则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
设直线BC解析式为y＝kx﹣8（k≠0），
把B（8，0）代入解析式得，8k﹣8＝0，
解得：k＝1，
∴直线BC解析式为y＝x﹣8；
（2）∵点P的横坐标为m（0＜m＜3），
∴P（m，12m2-3m﹣8），D（m，m﹣8），
∴PD＝（m﹣8）﹣（12m2-3m﹣8）=-12m2+4m，
过点P作PN⊥PD于N，

∵△PDF是等腰直角三角形，PD为斜边，
∴PN＝DN，
∴FN=12PD，
∴SPDF=12PD•FN=14PD2＝9，
∴PD＝6，
∴-12m2+4m＝6，
解得：m1＝6，m2＝2，
又∵0＜m＜3，
∴m＝2；
（3）存在，理由如下：由（2）得△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ACO+∠BCM＝∠ABC＝∠BCO＝45°，
①如图，当点M在BC的上方时，设CM与x轴交于一点D，

∵∠ACO+∠BCD＝∠ABC＝∠BCO＝∠OCD+∠BCD，
∴∠ACO＝∠DCO，
∵OC⊥AD，OC＝OC，
∴△AOC≌△COD（ASA），
∴OD＝OA＝2，
∴D（2，0），
设直线CM解析式为y＝nx﹣8（n≠0），
则2n﹣8＝0，
解得：n＝4，
∴直线CM解析式为y＝4x﹣8，
则y=4x-8y=12x2-3x-8，
解得：x=14y=48或x=0y=-8（舍去），
∴此时点M的坐标为（14，48）；
②如图，当点M在BC的下方时，
过B作x轴的垂线，过C作y轴的垂线，两条垂线交于一点H，作∠HCK＝∠ACO，CK交抛物线与点M，

由（2）得△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCO＝45°，
∴∠BCH＝45°，
即∠BCM+∠MCH﹣45°，
∵∠ACO+∠BCM＝∠ABC＝45°，
∴∠ACQ＝∠MCH，
又∵∠ACO＝∠HCK＝90°，
∵OB＝OC．∠COB＝∠OCH＝∠OBH＝90°，
∴四边形OCHB正方形，
∵OC＝OH，
∴△AOC≌△KHC（ASA），
∴KH＝OA＝2，
∴BK＝BH﹣KH＝8﹣2＝6，
∴K（8，﹣6），
设直线CK的解析式为y＝ex﹣8（e≠0），
∴﹣6＝8e﹣8，
解得：e=14，
∴直线CK的解析式为y=14x﹣8，
则y=14x-8y=12x2-3x-8，
解得x=132y=-518或x=0y=-8（舍去），
∴M（132，-518）；
综上所述，点M坐标为（14，48）或（132，-518）．