专题02 不等式及应用（亮点练）

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专题02不等式及应用

1. 已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．a2b＜ab2
C． D．
【答案】C
【分析】根据反例或作差法逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，取，则，但，故A错误.
对于B，取，则，但，故B错误.
而，故D错误.
对于C，因为，故，故C正确.
故选：C.
2. 与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】B
【分析】
利用平方作差，再判断差的正负即可得解.
【详解】
因，，
则，
所以.
故选：B

3. 实数､､满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分别把两个等式转化，写成及的形式，从而比较数的大小.
【详解】
由知，
，即；
由知，，
则，即；
综上，
故选：D
4. 不等式|3x－2|＞4的解集是(　　)
A．{x|x＞2} B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　方法一　由|3x－2|＞4，得3x－2＜－4或3x－2＞4.
即x＜－或x＞2.所以原不等式的解集为.
方法二　(数形结合法)画出函数y＝|3x－2|＝的图象，如图所示．

由|3x－2|＝4，解得x＝2或x＝－.在同一坐标系中画出直线y＝4，所以交点坐标为(2,4)与.所以当|3x－2|＞4时，x＜－或x＞2.所以原不等式的解集为.
5. 曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D.
【答案】B
【解析】函数求导可得,.
=,等号成立条件即，选B.
6. 已知正实数a，b满足，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】
因为，
所以 ，当且仅当时等号成立，因为，
所以，即，所以，
即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，
故选：B.
7. 设，，若，则的最小值为（       ）
A．6 B．9 C． D．18
【答案】B
【详解】
解：，，且，
且，

，
当且仅当，即且时取等号，
故的最小值为9；
故选：B
8. 已知实数a，b满足条件，则的最小值为（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【详解】
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以，，，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2
故选：D.
9. _______（用不等号“＜”或“＞”填空）．
【答案】＞
【分析】
利用作差法比较大小即可.
【详解】

,
,
故答案为：＞
10. 若函数的定义域为，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】要使有意义，即对恒成立，则，即.
11. 若函数的值域是，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】要使函数的值域为，只需有，当时，有
，（*）显然成立； 当时，要使（*）成立，有，
即，此时可得，（*）成立；当时，（*）显然不成立，结合题意可得.
12. 若两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】本题考点是不等式的综合应用.∵两个正实数满足
∴，
又恒成立，故，即

13. 对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
【解析】　由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴解得x<1或x>3.
故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
14. 已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】　不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知，不存在这样的m.
15.已知．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时不等式成立，求的取值范围．
【解析】(1)当时，，即
故不等式的解集为．
(2)当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．




















一． 单选题：
1. 设集合，，则=（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为，且，故集合；
因为，且，故集合；
所以.
故选：D.
2. 设集合 ,,则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】本题考点是一元二次不等式与一元一次不等式的解法与集合的交集运算.
因为所以故选D.
3. 已知函数为偶函数，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为为偶函数，所以，即
解之得，经检验符合题意.则
由，可得
故的解集为，
故选：B.
4. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
当时，不等式为恒成立，故满足要求；
当时，要满足：
，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故选：D
5.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是(　　)
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－1,3] D．[－2,4]
【答案】　C
【解析】　 因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1 当a<1时，不等式的解集为{x|a 当a＝1时，不等式的解集为∅，
要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1 所以实数a的取值范围是a∈[－1,3]，故选C.
6. 若，则下列结论中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A，利用不等式的性质判断，对于B，利用基本不等式判断，对于C，利用指数函数的性质判断，对于D，举例判断
【详解】
∵，∴，∴，故A错误；
∵，∴，∴．
∵，∴，故B正确；
∵，∴．故C错误；
令，此时．故D错误．
故选：B．
7. 已知，且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.
【详解】
对于A，令，显然，错误；
对于B，，
又不能同时成立，故，正确；
对于C，取，则，错误；
对于D，取，则，错误.
故选：B.

8. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题是综合性问题，主要考点 不等式、恒成立问题，其间要求会解绝对值不等式，二次函数通过配方法求最值，以及基本不等式的具体运用..
不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），所以，综上．故选A．
9. 若直线（，）被圆截得弦长为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
直线被圆截得的弦长为4，
圆的半径为 ,圆心为
直线过圆心，故 ，即 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，最小值为9.
故选：A
10. 若对x，都有成立，则实数a的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由，得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
，
，
由，得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为；
由题意知，恒成立，所以，
故a的最小值为.
故选：B.
11. 下列不等式中一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由得的范围可判断A；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B；作差比较与的大小可判断C；作差比较与的大小可判断D.
【详解】
因为，所以，所以，故A错误；
只有在时才成立，故B错误；
因为，所以，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D.

12. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，得到，，在直角中，利用勾股定理，求得，结合，即可求解.
【详解】
设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.

二、多选题：
1.设，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】
因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
2. 关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　)
A．－ B．1 C．－1 D．2
【答案】　AC
【解析】　由题意知a<0，则排除B，D；
对于A项，当a＝－时，(x－2)>0，
即(x＋2)(x－2)<0，解得－20，
即(x＋1)(x－3)<0，解得－1 3. 己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用不等式的性质及特殊值法判断即可．
【详解】
解：对于非零实数，满足，则，
即，故A一定成立；
因为，故B一定成立；
又，即，所以，故C一定成立；
对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．
故选：ABC
4. 已知，，且，则下列不等关系成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.
【详解】
对于A，由 ，   ，当且仅当 时等号成立，
，   ， ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B，由，得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若 满足， ，故C错误；
对于D，∵，∴ ，由B的结论得   ，

，
，故D正确；
故选：ABD.
5. 下列函数中最小值为6的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】
解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.
对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.
对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.
对于D选项，，
当且仅当，即无解，故D不正确.
故选：BC.
6. 设，，下列结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】
对于A选项，，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，取，则，B错；
对于C选项，，，
所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，因为，则，
所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对.
故选：ACD.
【点睛】
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.
7. 已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（       ）
A．的最小值是1 B．的最大值是1
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据等比中项整理得，直接由基本不等式可得的最大值，可判断AB；由展开后使用基本不等式可判断CD.
【详解】
因为，所以，
所以，可得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故错误，B正确．
因为，
故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．
故选：BC

三、填空题：
1. 已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
2. 若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.
【答案】　－14
【解析】　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得∴a＋b＝－14.
3. 若关于的不等式的解集为，则________.
【答案】
【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,
即,故填.
4. 命题“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
若命题“”为假命题，则命题“”为真命题，即在上恒成立，
则，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
故答案为：
5. 若实数、满足，则的最小值为___________.
【答案】
，即，
则
，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为，
故答案为：.
6.已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
【答案】或
【详解】
由正实数a，b，，可得 ，
所以

而，当且仅当 即 时取等号，
故
，
当且仅当 时，即 时取等号，
故答案为：
四、解答题：
1. 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围.
【答案】－7＜a－b＜2；＜＜2.
【解析】
利用不等式的基本性质由2＜b＜8，得－8＜－b＜－2，再由 1＜a＜4，利用加法性质求解.
根据2＜b＜8，得＜＜，再由1＜a＜4，利用乘法性质求解.
【详解】
因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
因为2＜b＜8，
所以＜＜，
所以＜＜＝2，
即＜＜2.
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，变形转化是关键，属于基础题.
2. （1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；
（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.
【答案】（1）≥；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）将目标代数式作差得，即可知大小关系；
（2）利用“作差法”有，对a分类讨论即可判断大小.
【详解】
（1）∵a，b均为正实数，
∴，即≥.
（2）由.
①当a=0时，0，则；
②当a<1且a≠0时，0，则；
③当a>1时，0，则.
综上，当a=0时，；当a<1且a≠0时，；当a>1时，.
3. 已知，，．
（1）试比较与的大小，并证明；
（2）分别求，的最小值．
【答案】（1）；证明见解析 ；（2） ，的最小值都是8．
【解析】
【分析】
（1）利用作差比较法，得到，即可求解；
（2）化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）与的大小为，
证明：由，
因为，，所以，，，，
所以，所以.
（2）因为
，
当时取等号，
又由（1），所以，的最小值都是8．
4. 已知函数．
(1)当时，求不等式的解集
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)实数a的取值范围是
【解析】(1)
当时，，
所以或或，
解得：或，
所以不等式的解集为
(2)

当或时，，
当时，，
当时，，
当时，，
显然在上单调递减，在上单调递增，
故，
令，解得：或，
综合前提，可得：或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
显然在上单调递减，在上单调递增，
故，
令，解得：，
综合前提，可得，
综上：实数a的取值范围是.
5. （1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时.
【解析】
（1）整理，利用基本不等式求解即可；（2）令，将代入整理得，利用基本不等式求解即可；
【详解】
（1）∵，
∴，
当且仅当即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时；
（2）令，
将代入得：
，
∵，∴，
当且仅当，
即，
即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.
【点睛】
1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2．注意验证取得条件．
6. 已知a，b，c都是正数.
(1)证明：；
(2)若，证明：.
【答案】(1)具体见解析；(2)具体见解析.
【分析】
（1）将左边化为，进而利用基本不等式证明问题；
（2）根据条件得到，进而左边化为，进一步得到，然后用基本不等式证明问题.
【证明】(1)因为已知a，b，c都是正数，所以，左边，当且仅当时取“=”.即成立.
(2)因为已知a，b，c都是正数，，所以，
则左边

.
当且仅当时取“=”.
即成立.
【点睛】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.

1.【2022·上海·高考真题】已知，下列选项中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
用不等式的基本性质得解.
【详解】
，但，，A、C错
，，所以.B正确.
，但，D错.
故选:B.
2. 【2022·全国·高考真题】已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：B.
3. 【2022·全国·高考真题】若集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：D
4. 【2020年新高考全国Ⅰ】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
5. 【2021·全国·高考真题（文）】下列函数中最小值为4的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
6. 【2022·全国·高考真题】（多选题）若x，y满足，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】
因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
7. 【2020年山东卷11】(多选题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a2+b2≥12 B．2a-b>12
C．log2a+log2b≥-2 D．a+b≤2
【答案】ABD
【解析】
对于A，a2+b2=a2+1-a2=2a2-2a+1=2a-122+12≥12，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；
对于B，a-b=2a-1>-1，所以2a-b>2-1=12，故B正确；
对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2a+b22=log214=-2，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，
所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
8.【2021·天津·高考真题】若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
9.【2022·上海·高考真题】不等式的解集为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.
【详解】
或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.
故答案为：
【点睛】
本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.