上海市普陀区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 含解析

这是一份上海市普陀区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 含解析，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在客题纸的相应位置上】
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A．1B．22C．55D．1010
3．已知非零向量和，下列条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
4．二次函数的图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）．
A．B．C．D．
5．如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不一定能推得与相似的是（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，那么 ．
8．已知点在二次函数的图像上，那么n的值为 ．
9．抛物线的对称轴是直线，那么b的值为 ．
10．已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ．
11．如果点在抛物线上，那么 （“”、“”或“”）
12．如果向量与单位向量的方向相反，且长度为4，那么 ，（用表示）
13．在中，是中线，G是重心，向量，向进，那么向量 （用向量、表示）
14．如图，是等边三角形，在中，点D在边上，以为边作等边，与交于点F，如果，那么 ．

15．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点N，则 ．
16．如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边、上，如果，的面积是36，那么的长为 ．

17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为 ．
18．如图，在矩形中，已知，如果将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，如果，那么的长为 ．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）
20．已知二次函数（其中a、b、c为常数，且）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示：
(1)该二次函数图像的对称轴是直线__________．
(2)如果，求此二次函数的解析式及其图像与y轴的交点坐标．
21．已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．
(1)求此抛物线的顶点P的坐标．
(2)将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．
22．如图，在四边形中，对角线、相交于点E，过点E作的平行线，分别交．、于点F、G，且．

(1)求证：；
(2)如果，求的长．
23．如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD•AC．
（1）求证：∠FEB＝∠C；
（2）连接AF，若，求证：EF•AB＝AC•FB．
24．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线过点A、B、C，点A的坐标是，点C的坐标是，联结，抛物线的顶点为点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的面积；
(3)如果点P是抛物线上的一点，当时，求点P的横坐标．
25．如图，在梯形中，，点N在线段的延长线上，联结，作，与交于点M．
(1)求的长；
(2)设，求y关于x的函数关系式；
(3)如果是等腰三角形，求的长．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】根据二次函数的定义，可得答案．
解：A．是二次函数，故本选项符合题意；
B．是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是一次函数，故本选项不符合题意；
D．右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a．b．c为常数，）的函数，叫二次函数．
2．C
【分析】利用黄金分割的比值关系进行运算即可．
【详解】解：由黄金分割可得：
∴
整理得：
解得：，(舍去)
故答案为：
【点睛】本题主要考查了黄金分割的比值关系，熟悉掌握比值关系建立式子是解题的关键．
3．B
【分析】根据平面向量的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，选项A，不符合题意；
∵，不能确定两个向量的方向，
∴无法判断，选项B符合题意；
∵，
∴，选项C，不符合题意；
∵
∴，选项D，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键．
4．A
【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴左侧，
与同号，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．
5．B
【分析】利用平行线分线段成比例与相似三角形的判定与性质逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，而，
∴，故A不符合题意；
∵，而，
∴，故B符合题意；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
∴，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键．
6．D
【分析】由相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；故A不符合题意；
∵，，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴，故C不符合题意；
∵，，不符合两边对应成比例且夹角相等，
∴与不一定相似，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键．
7．##2.5
【分析】根据比例的性质，设，代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，则，
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
8．0
【分析】将点A的坐标代入二次函数中即可求得n的值．
【详解】解：将点代入二次函数中得，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了求函数的值，将点的坐标直接代入函数是解题的关键．
9．
【分析】根据对称轴公式列得，直接求值．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式，熟练掌握抛物线的顶点坐标公式是解题的关键．
10．8
【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可．
【详解】解：把原点代入解析式，得，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的点的坐标满足解析式．
11．
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【详解】∵
∴，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键．
12．
【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．
【详解】解：∵的长度为4，向量是单位向量，
∴，
∵与单位向量的方向相反，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面向量的知识，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向．
13．
【分析】先求解，，再利用三角形的重心的性质可得答案．
【详解】解：如图，∵是中线，，
∴，

∵，
∴，
根据三角形的重心性质，，
∴；
故答案为：．
【点睛】此题考查了平面向量的三角形法则和重心性质（三角形的重心是各中线的交点，重心性质是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中点的线段长的），难度不大．
14．##
【分析】先由等边三角形的性质与已知线段的比例关系求得的长，再证明，则，可求得．
【详解】由等边知，
∵
∴，．
由等边得，，
由等边知，，
∴
由得，
∴，又
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是求证．
15．
【分析】利用是的中位线，是的中点，可得到，再证得，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】∵是的中位线，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
16．4
【分析】作于H，交于P，由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解即可．
【详解】解：作于H，交于P，如图所示：

∵的面积，，
∴，
设正方形的边长为x．
∴，
∵，
∴．
由得，
∴．
∵，正方形，
∴，，
即，
由，，，
∴，
解得，即．
故答案为：4
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
17．##
【分析】先根据是的比例中项可求得，再过点D作的平行线构造平行四边形，可求得的长度，然后再利用即可求得的值．
【详解】如图，过点D作的平行线，交于点M、N．
∵
∴四边形、四边形、四边形均为平行四边形．
∴，
∵是梯形的比例中项，
∴．
∴
由得，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例中项、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是作的平行线构造平行四边形与相似三角形．
18．
【分析】连接，构造直角三角形，依据折叠的性质以及勾股定理，即可得到的长以及的长，再根据，得到比例式求出，进而得出的长．
【详解】解：如图，连接，
四边形为矩形，
，，
为的中点，
，
将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，
，，
在中，，
，
，，
，
又，
，
，即，
，
；
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理和相似三角形的性质进行计算求解．
19．见解析
【分析】根据平面向量的加减运算法则解答；由平面向量的几何意义作图．
【详解】解：
．
作图：
∴如图，为所求向量．
【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用．
20．(1)
(2)，
【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）先用待定系数法求出函数解析式，再求与y轴的交点坐标．
【详解】（1）∵和时，，
∴二次函数图像的对称轴是直线．
故答案为：；
（2）设二次函数解析式为，
把，代入，得
，
∴，
∴，
当时，
，
∴与y轴的交点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
21．(1)此抛物线的顶点P的坐标为；
(2)平移后新抛物线的表达式为．
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的表达式，再配成顶点式，即可求解；
（2）利用二次函数图象平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴此抛物线的顶点P的坐标为；
（2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
∵顶点落在直线上，
∴，
解得，
∴平移后新抛物线的表达式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，二次函数图象平移的性质，掌握相关性质是解题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）先证明可得，再证明，可得，从而可得结论；
（2）证明，可得，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法与相似三角形的对应边成比例是解本题的关键．
23．（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）证明△AED∽△ACB即可解决问题；
（2）证明△EFB∽△FAB，可得，由AF＝AC，可得结论.
【详解】（1）∵AE•AB＝AD•AC．
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED＝∠C，
又∵∠AED＝∠FEB，
∴∠FEB＝∠C．
（2）∵∠FEB＝∠C，∠EFB＝∠CFD，
∴△EFB∽△CFD，
∴∠FBE＝∠FDC，
∵，
∴，
∴△FBA∽△CDF，
∴∠FEB＝∠C
∴AF＝AC，
∵∠FEB＝∠C，
∴∠FEB＝∠AFB，
又∵∠FBE＝∠ABF，
∴△EFB∽△FAB，
∴，
∵AF＝AC，
∴EF•AB＝AC•FB．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．(1)
(2)3
(3)或．
【分析】（1）把点A，C坐标代入，求出b，c的值即可；
（2）求出抛物线顶点坐标，根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）设，分两种情况讨论：当P点在上方时和下方时，讨论求解即可．
【详解】（1）把点，点代入得，
，
解得，，
∴抛物线的表达式为；
（2），
∴,
过点D作于点E，
∴
∴
又，点
∴，
∴
（3）设，
当P点在上方时，过点P作轴交于E，
∵，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴P点横坐标为；
当P点在下方时，过点P作轴交于K，
∵，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴P点横坐标为；
综上所述：P点的横坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，解直角三角形是解题的关键．
25．(1)；
(2)；
(3)的长为0或1或．
【分析】（1）过点D作于G，由已知易得四边形是矩形，则，在中，由勾股定理的长；
（2）由（1）中，可得，结合即可得到，可得，从而可得，在中，由勾股定理得，进一步计算即可求解；
（3）分①当时，②当时，③当时三种情况结合已知条件和前面所得结论进行分析计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点D作于G，
∴，
∵，梯形中，，
∴，
∴四边形是矩形，，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵是等腰三角形，
∴①当时，如图，，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，
解得（负值舍），
即：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
∴点N与点B重合，
∴；
③当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，
解得，
即：；
综上：的长为0或1或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，函数的应用，勾股定理，讨论“是等腰三角形”时，需分当、、三种情况讨论，不要忽略了其中任何一种情况．
x
…
0
1
3
…
y
0
m
n
0
…