上海市罗星中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份上海市罗星中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间100分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共6小题，共24分）
1．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个等腰梯形
2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点为线段的黄金分割点，如果，那么的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（ ）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的延长线上，下列不能判定DE//BC的条件是
A．；B．；
C．；D．．
6．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
A．△ABC与△ADEB．△ABD与△AECC．△ABE与△ACDD．△AEC与△ADC
二、填空题（本大题共12小题，共48分）
7．已知，那么的值等于 ．
8．在中，点、分别在边、上，且，，，，那么 ．
9．如果两个相似三角形的周长的比等于，那么它们的面积的比等于 ．
10．在平面直角坐标系中，为原点，点在第一象限内，，射线与轴正半轴的夹角为，如果，那么点的坐标为 ．
11．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝ ．
12．一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 米．
13．如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F，如果，那么 （用含的式子表示）．
14．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，AD＝BC＝12，如果矩形PQMN内接于△ABC中，点P、N分别在边AB、AC上，点Q、M在BC上，那么矩形PQMN的周长为 ．
15．在△ABC中，点G是重心，∠BGC=90°，BC=8，那么AG的长为 ．
16．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．
17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．

18．如图，已知中，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．计算：．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．
求证：．
21．如图，在中，是边上的高，．
求：（1）线段的长；
（2）的值．
22．如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求：

(1)路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）；
(2)灯杆的长度．（参考数据：，）
23．如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的值.

24．在等腰直三角形ABC中，，已知，，M为边BC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）设点M的坐标为（a，b），求的值；
（3）探究：在x轴上是否存在点P，使以O、P、M点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简述理由．
25．在中，，，，点D是斜边上一点，过点A作，垂足为点E，交直线于点F．
(1)当时，求线段的长；
(2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
(3)当时，求线段的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似形的定义，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
2．D
【分析】先领用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可.
【详解】∵∠C=90°，BC=6，AC=4，
∴AB=2，
A．sinA==，故此选项错误；
B．csA==，故此选项错误；
C．tanA==，故此选项错误；
D．ctA==，故此选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
3．C
【分析】本题考查黄金分割点．根据黄金分割点分线段对应成比例，分成的两条线段中的较长的线段与原线段的比值为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴；
故选C．
4．B
【分析】根据平面向量的定义解答即可．
【详解】解：∵向量为单位向量，向量与向量方向相反，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．B
【详解】试题解析：如图：
∵EA:AC=DA:AB，
∴DEBC，故A正确；
∵EA:EC=DA:DB，
∴DEBC，故C正确；
∵AC:EC=AB:DB，
∴DEBC，故D正确；
故不能够判断DEBC的是B.
故选B.
6．C
【分析】根据是直角三角形，而不是直角三角形，即可判断A选项，只有，不能判断B选项中两三角形相似，根据题意可得，进而证明，即可判断，即可判断C选项，D选项中只有一个公共角，根据已知条件找不到另外一对角相等，故不能判断D选项中两三角形相似．
【详解】A.是直角三角形，不是直角三角形，故不能判断△ABC与△ADE相似；
B.只有，不能判断B选项中△ABD与△AEC相似；
D. 只有，不能判断D选项中△AEC与△ADC相似；
C.是等腰直角三角形，则
设，则，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．##
【分析】本题考查比例的性质，利用设参法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴；
故答案为：．
8．
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是解题关键．根据两个相似三角形的周长的比等于，得到相似比为，即可得到它们的面积比等于．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长的比等于，
∴这两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积比等于．
故答案为：
10．
【分析】如图，过点作轴于，根据，，求出，再利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作轴于，
，，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，求点的坐标，添加常用辅助线构造直角三角形是解题关键．
11．5.4
【分析】由题意利用平行线分线段成比例定理列出比例式，以此进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴，
解得 CN＝3.6，
∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4
故答案为：5.4．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12．100
【分析】本题考查解直角三角形的应用．设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．掌握坡度等于铅直高与水平距离的比值，是解题的关键．
【详解】解：设此人升高了x米，
∵坡度为，
∴他行走的水平距离为米，
由勾股定理得，，
解得： (负值舍去)，
即他沿着垂直方向升高了100米，
故答案为：100．
13．
【分析】利用平行四边形的性质可先求出DF:EF的值，从而得到DF:DE，然后用三角形法则表示出，即可得到
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵E是AB的中点，
∴DC:AE=AB:AE=1:2，
∴DF:EF=DC:AE=2:1，
∴DF:DE=，
∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的知识，结合平行四边形性质，得到相关的边关系式解题的关键．
14．24
【分析】根据相似三角形的性质得出PQ和PN的关系，再求周长即可．
【详解】解：∵矩形PQMN内接于△ABC中，
∴PN∥BC，
∴△ABC∽△APN，
∵AD是BC上的高，
∴，
∵AD＝BC＝12，
∴PN＝AE，
∴PQ+ PN= PQ+ AE= AD=12，
矩形PQMN的周长为2×12=24．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是根据相似三角形的性质得出矩形两邻边的关系．
15．8
【分析】延长AG交BC于D，根据重心的定义，点D为BC的中点，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DG的长，再由重心的性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍进行求解即可．
【详解】解：延长AG交BC于D，
∵点G是重心，
∴点D为BC的中点，且AG=2DG，
∵∠BGC=90°，BC=8，
∴DG=BC=4，
∴AG=2DG=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握三角形的重心定义和性质是解答的关键．
16．
【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、A、B共线，再根据tan∠ABC＝，求出EC、EB即可解决问题．
【详解】解：如图，连接EA，EC，

设菱形的边长为a，由题意得∠CEF＝60°，∠BEF＝30°，CE＝a，AE＝，EB＝，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠AGF＝60°，
∴∠EAB＝180°，
∴E、A、B共线，
在Rt△CEB中，tan∠ABC＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．##
【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可．
【详解】解：延长与交于点，如图所示：

点A关于直线的对称点是点，
，，，
是等高底三角形，是等底，
，
点是的重心，
，
设，则，
，

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系．
18．或
【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕的长．
【详解】解：分两种情况：
如图，
当时，是直角三角形，
在中，，
，
由折叠可得，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，
当时，是直角三角形，
由题可得，，
，
，
又，
，
过作于，则，
，
由折叠可得，，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19．
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：，，，
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
20．见解析
【分析】由GF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，继而可证得，则可证得结论．
【详解】证明：∵GF∥BC，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴，
∴．
点评：此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（1）5；（2）．
【分析】（1）在Rt△ABD中，由AD=12，sinB=，可求出AB，再根据勾股定理求出BD，进而求出CD；
（2）作高，构造直角三角形，求出CE、AC即可，利用三角形的面积公式和勾股定理可求．
【详解】解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，
∵sinB=，
∴，
又∵AD=12，
∴AB=15，
∴BD==9，
又∵BC=4，
∴CD=BD-BC=9-4=5；
答：线段CD的长为5；
（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵S△ABC=BC•AD=AB•CE
∴×4×12=×15×CE，
∴CE=，
在Rt△AEC中，
∴sin∠BAC=，
答：sin∠BAC的值为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系和三角形的面积公式是解决问题的关键．
22．(1)路灯A离地面的高度为
(2)灯杆的长度为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质．
（1）过点作，设，则：，在中，表示出的长，在，利用，列出方程求解即可；
（2）过点作，易得四边形为矩形，得到，进而求出的长，再利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可．
【详解】（1）解：过点作，则：，

设，则：，
在中，，则：，
在中，，则：，
∴，解得：，
∴；
答：路灯A离地面的高度为；
（2）过点作，

∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
答：灯杆的长度为．
23．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE＝EC，推出∠EDC＝∠ECD，求出∠FDC＝∠B，根据∠F＝∠F，证△FBD∽△FDC即可；
（2）根据已知和三角形面积公式得出，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，即可求出．
【详解】（1）证明：，，
是的中点，，，
，，
，，
，，
，，
.
（2），，，
，
，
.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．
24．（1）；（2）；（3）存在，，
【分析】（1）如图1中，作CD⊥x轴于D．证明△ABO≌△CAD（AAS），利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）过点M作轴，垂足为点H．根据平行线等分线段定理证得H是OD中点，再求出M坐标即可解决问题；
（3）在Rt△中，，得，证得OM平分∠BOD
，再由△OMB与△OMP相似，根据相似的性质求出P点坐标即可；
【详解】解：（1）过点C作轴，垂足为点D．
∵△是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又
∴，
∵，
∴△△．
∴，，
∴
（2）过点M作轴，垂足为点H．
∵，．
∴
∴，
∴
（3）存在点P，分两种情况：
∵在Rt△中，
∵，
∴
当点P在轴时，
∵，
∴当△OMB与△OMP时．有或
∴或
∴，
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据，求出的长，勾股定理求出的长，同角的余角相等，得到，求出的长，再用求出的长；
（2）过点作，交的延长线与点，证明，得到，利用，得到，进而推出y关于x的函数解析式，及其定义域即可；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
（2）过点作，交的延长线与点，
则：，，
∴，即：①
由（1）知：，
∴，
∴，即：②，
由①②，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴；
（3）①当点在线段上时，
∵，，
∴，解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
②当点在线段的延长线上时，
设，同法（2）可得：，解得：；
经检验，是原方程的解；
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求函数表达式．本题的综合性强，难度较大，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造相似三角形．