2022-2023学年上海市徐汇中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市徐汇中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1. 已知，那么下列等式一定成立的是(    )

A. ， B.  C.  D.

2. 在中，点、分别在边、的延长线上，下列比例式中能判定的为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知线段、、，求作线段，使，以下作法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是(    )

A. 向右平移个单位，再向上平移个单位
B. 向右平移个单位，再向下平移个单位
C. 向左平移个单位，再向上平移个单位
D. 向左平移个单位，再向下平移个单位

5. 如图，、分别是边、上的点，且，延长、相交于点，若，，，则与的相似比、与的相似比分别为(    )

A. ：与： B. ：与： C. ：与： D. ：与：

6. 已知，是抛物线图象上的点，下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

二、填空题（本大题共12小题，共48分）

7. 已知线段是线段、的比例中项，且、，那么______．
8. 在比例尺是：的地图上，若某条道路长约，则它的实际长度约为______千米．
9. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ______ ．

10. 已知点在线段上，满足，如果，那么______．
11. 已知，，，那么它的重心与底边中点之间的距离为______．
12. 抛物线的对称轴是直线______．
13. 如果抛物线不经过第一象限，那么的取值范围是______．
14. 已知二次函数，当时，的值随的值增大而增大，当时，的值随的值增大而减小，则实数的值为______ ．
15. 如果二次函数图象的顶点在轴上，那么的值是______．
16. 二次函数与轴的交点到原点的距离为，它的顶点坐标为，那么它的解析式为______．
17. 定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点、、的坐标分别为，，，点坐标为以点为位似中心，与位似，且位似比为：，那么点的对应点的坐标为______．

18. 如图，已知中，、、，将绕点旋转，使点落在边上的点处，此时点落在点，与相交于点，则长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共69分）

19. 已知在平面直角三角坐标系中，二次函数的图象经过点，，．
    求这个二次函数的解析式；
    在抛物线第四象限的图象上求一点，的面积为，求点的坐标．
20. 如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一点，，，交于点、交延长线于点求线段的长度．

21. 已知二次函数的解析式为为常数．
    求证：这个二次函数图象与轴必有公共点；
    设这个二次函数图象与轴相交于、两点点在点的左侧，与轴相交于点当时，求的值．
22. “阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分如图所示，已知铅球出手时离地面米如图，直角坐标平面中的长，铅球到达最高点时离地面米即图中的长，离投掷点米即图中的长，请求出小杰这次掷铅球的成绩即图中的长，精确到米，参考数据
     
23. 如图，在中，是边的中点，交于点，，交于点．
    
    求证：∽；
    求证：．
24. 已知：在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为．
    若点非顶点与点重合，求抛物线的表达式；
    若抛物线的对称轴在轴的右侧，且，求比值；
    在第的条件下，在的内部作射线交抛物线的对称轴于点，使得，求点的坐标．

25. 已知矩形中，，，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，联结，直线与射线相交于点．
    如图，当在边上，若时，求的长；
    若射线交的延长线于，设，，求与的函数解析式，并写出的取值范围；
    如图，直线与边相交于点，若与相似，求的度数；
    如图，当直线与的延长线相交于点时，若求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
已知，根据内项之积等于外项之积，即若，则列出比例式判断即可．
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质并灵活运用．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图：
A、当时，不能判定，不符合题意；
B、当时，不能判定，不符合题意；
C、当，能判定，符合题意；
D、当时，能判定，而当时，不能判定，不符合题意；
故选：．
根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由得，，则，A错误；
由得，，则，B正确；
由得，，则，C错误；
由得，，则，D错误；
故选：．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
顶点由到需要向右平移个单位再向上平移个单位．
故选：．
根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，
，
，
与的相似比：：：，
，，
，
，
∽，
与的相似比：：，
故选：．
先根据两角相等的两个三角形相似证明∽，然后利用相似三角形的性质可得，从而求出，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
若，则，故选项A不符合题意；
当时，若，则，故选项B不符合题意；
若，则，故选项C符合题意；
当时，若，则，故选项D不符合题意；
故选：．
根据二次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：线段是线段、的比例中项，
，
即，
．
故答案是．
根据比例中项的定义可得，从而易求．
本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：设它的实际长度约为，则
：：，
解得，
．
它的实际长度约为．
故答案为：．
根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，即，
解得，
，
故答案为：．
由平行可得到，代入可求得，再根据线段的和可求得．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：满足，
，
，
故答案为：．
由黄金分割点的定义，知是较长线段，再由黄金分割的公式计算即可．
此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，，
，
，
设为的内心，
，
即重心与底边中点之间的距离为，
故答案为：．
过点作于点，根据等腰三角形的性质得，由勾股定理求得，由重心性质求得便可．
本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质与勾股定理求得．
 

12.【答案】 

【解析】解：由抛物线知，该抛物线与轴的交点坐标为和，
则其对称轴是直线．
故答案为：．
根据抛物线解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，然后利用抛物线的轴对称性质求得对称轴直线方程．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，解题时，利用了抛物线的轴对称性质求得抛物线的对称轴．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线不经过第一象限，
，
解得：，
故答案为：．
根据抛物线不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定的取值范围．
考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查抛物线的对称轴及增减性，掌握在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．根据二次函数的增减性，结合条件可求得抛物线的对称轴方程，可得到关于的方程，可求得答案．
【解答】
解：，
其对称轴方程为，
又当时，的值随的值增大而增大，当时，的值随的值增大而减小，
其对称轴为，
，解得，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
，即，
解得．
故答案是：．
因为抛物线顶点在轴上，故函数图象与轴只有一个交点，根据，即可求出的值．
此题考查了二次函数图象与轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：时，图象与轴有两个交点；，图象与轴有一个交点；，图象与轴无交点．
 

16.【答案】或 

【解析】解：二次函数的图象顶点坐标为，
设这个二次函数的解析式，
二次函数的图象与轴的交点到原点的距离是，
交点坐标为或，
把代入，得，解得，
则这个二次函数的解析式；
把代入，得，解得，
则这个二次函数的解析式；
故答案为：或．
根据二次函数的图象顶点是，设这个二次函数的解析式，然后代入与轴的交点坐标即可求得．
此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是根据已知条件选择合适的解析式．
 

17.【答案】或 

【解析】解：以点为坐标原点、所在的直线为轴建立新的平面直角坐标系，
则点在新坐标系中的坐标为，
以点为位似中心，与位似，且位似比为：，
点的对应点在新坐标系中的坐标为或，即或，
则点在原坐标系中的坐标为或，
故答案为：或．
以点为坐标原点、所在的直线为轴建立新的平面直角坐标系，求出点在新坐标系中的坐标，再根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

18.【答案】 

【解析】解：、、，
，
，
如图，过点作于，过点作于，过点作于，

，
，
，
，
将绕点旋转，
，，，
，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
由勾股定理的逆定理可求，由旋转的性质可得，，，由相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：二次函数的图象经过点，，，
，
解得，
所求函数的解析式为；
设经过点直线解析式为，
直线与轴的交点为，
，
联立方程组，
整理得，，
，
，

，
解得或，
或，
点在第四象限，
． 

【解析】利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
设经过点直线解析式为，先求出直线与轴的交点为，则，联立方程组，利用根与系数的关系得到，，则，求出的值再求点坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，根与系数的关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
．
，
．
，，，
，．
，，
∽，
．
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】通过∽，则有，由可得，从而得到∽，然后根据相似三角形的性质即可解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，证到∽是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
这个二次函数图象与轴必有公共点；

解：当时，，，
，，
如果点为 ，那么点 而．
，
，
不符合题意，舍去或．
如果点为 ，那么点 为 而．
，解得不合题意，舍去或．
的值为或． 

【解析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可；
令求出两点的坐标，用表示出点坐标，再根据勾股定理求出的值即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点问题及勾股定理，在解答时要注意进行分类讨论，不要漏解．
 

22.【答案】解：由题意得、分
设抛物线解析式分
将代入，得，
解得分
抛物线解析式分
设代入，得
解得负值舍去分
米分
答：小杰这次掷铅球的成绩是米． 

【解析】已知抛物线上的，两点，其中为顶点坐标，可设顶点式，再代入点求得，从而求得解析式．
本题考查了二次函数的应用，涉及到抛物线上的三点而求其解析式，难度一般．
 

23.【答案】证明：，
，
，且是中点，
，为等腰三角形，
，
∽；
∽，
，
是边的中点，
，
，
，，
，即，
又，
∽，
，
，
． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
由，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证；
根据相似三角形的性质得到，由是边的中点，得到，于是得到，由于，，推出，得到∽，根据相似三角形的性质得到，即可得到结论．
 

24.【答案】解：令，则，
，
令，则，
，
令时，，
，
点与点重合，
，
抛物线的顶点在直线上，
，
联立可得或，
点非顶点，
不符合题意，舍去，
；
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，，
；
设直线与直线的交点为，
，
，
，
，
，
由知，，
设，
，
解得或，
在内部，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
点在对称轴上，
． 

【解析】由点与点重合，可得，再由顶点在直线上，可得，联立求出的值，即可求函数的解析式；
先判断是等腰直角三角形，得到，根据两点间距离公式得到方程，求出的值，从而确定各点坐标，再求解即可；
设直线与直线的交点为，根据，得到，能够求出，设，得到方程，求出的值，从而确定点坐标，再用待定系数法求直线的解析式，直线与对称轴的交点即为点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
；
由折叠可知，
，
，
，
∽，
，即，
；
设，
当∽时，，
，
，
由折叠可知，，
，
，
；
当∽时，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
综上所述：；
连接，，
由折叠可知，
又，
，
，
，
，
由折叠可知，
，
，
，，
，
． 

【解析】由已知可得四边形是平行四边形，再结合折叠的性质得到，即可求；
通过证明∽，得到，即可求出；
设，分两种情况讨论：当∽时，，分别推导出，，，即可求；当∽时，，分别推导出，，，，再由三角形内角和定理，求出，则；
连接，，由折叠可知，结合已知条件可得到，则，从而得到，由结合折叠的性质可得，所以，用勾股定理求出的长即为所求．
本题考查三角形相似的综合应用，熟练掌握矩形的性质，三角形折叠的性质，三角形相似的判定及性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角定义是解题的关键．