专题——最深度极值点偏移8讲


专题——最深度极值点偏移深度研究
目录
专题01极值点偏移概念 1
专题02 极值点偏移问题判定定理 5
专题03 不含参数的极值点偏移问题 14
专题04 含参数的极值点偏移问题 20
专题05 含对数式的极值点偏移问题 35
专题06 含指数式的极值点偏移问题 44
专题07 极值点偏移问题的函数选取 54
专题08 极值点偏移的终极套路 84










专题01极值点偏移概念

一、极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.






若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.





二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；
4. 若函数中存在且满足，令，
求证：.
三、问题初现，形神合聚
例题1. 函数有两极值点，且.
证明：.
















例题2. ★已知函数的图象与函数的图象交于，过的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.









四、招式演练
例题3. 过点P(−1,0)作曲线fx=ex的切线．
（1）求切线 l 的方程；
（2）若直线与曲线y=afx(a∈R)交于不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2，求证：x1+x2F0=fx0−fx0=0，从而得到： x>0时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于x>0时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来源:Z。xx。k.Com]










三、对点详析，利器显锋芒
例题4. 已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，且，证明：.











例题5. 函数与直线交于、两点.
证明：.








例题6. 已知函数，若，且，证明：.










例题7. 已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.
















四、招式演练
例题8. 已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数.
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若，证明：当，且时， .























例题9. 已知函数，其中
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）若函数有极大值为，且方程的两根为，且，证明： .



































专题03 不含参数的极值点偏移问题
函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
例题10. （2010天津理）已知函数 ，如果，且.
证明：








例题11. （2013湖南文）已知函数，证明：当时，[来源:学科网ZXXK]












招式演练：
例题12. 已知函数，正实数满足.
证明：.[来源:学科网]








例题13. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若方程 有两个相异实根，，且，证明：.




















专题04 含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.
例题14. 已知函数有两个不同的零点，求证：.










例题15. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：










例题16. 已知是函数的两个零点，且.
（1） 求证：；（2）求证：.










例题17. 已知函数，若存在，使，求证：.[来源:学科网ZXXK]














【招式演练】
例题18. 设函数的图像与轴交于两点，
（1）证明：；
（2）求证：.








例题19. 设函数，其图像在点处切线的斜率为.
当时，令，设是方程的两个根，
是的等差中项，求证：(为函数的导函数）.












例题20. 设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：









例题21. 已知函数.
（1）若，求函数在上的零点个数；
（2）若有两零点（），求证：.












例题22. 已知函数fx=12x2+1−ax−alnx .
（Ⅰ）讨论fx的单调性；
（Ⅱ）设a>0，证明：当0