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    (课时练习)2022-2023学年高一年级北师大版(2019)数学必修一4.1 一元二次函数

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    高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数同步达标检测题

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数同步达标检测题,共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    4.1 一元二次函数学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题(本大题共9小题,共45.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)二次函数的对称轴和顶点坐标分别是(    )A.  B.
    C.  D. 二次函数的图像与x轴没有交点的充要条件是(    )A.  B.
    C.  D. 若二次函数的函数值恒小于0,则实数a的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函数,当时,y的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 如果二次函数图象的对称轴是,并且通过点,则ab的值分别是(    )A. 24 B. 2 C. 4 D. 已知二次函数的对称轴为,一元二次方程有一根为3,则另一根为(    )A.  B.  C. 0 D. 1将二次函数的图像平行移动,顶点移到下列各点.请判断得到的对应解析式不正确的有几个(    )
    平移后的顶点:,平移后的解析式:²
    平移后的顶点:,平移后的解析式:²
    平移后的顶点:,平移后的解析式:²
    平移后的顶点:,平移后的解析式:²A. 1 B. 2 C. 3 D. 4设二次函数,当,且对任意实数x都有恒成立,实数ab的值为(    )A.  B.
    C.  D. 如图二次函数的图象过点,且与x轴相交于AB两点,若,则a的取值为(    )A.
    B.
    C.
    D.  二、多选题(本大题共3小题,共15.0分。在每小题有多项符合题目要求)已知二次函数的图象过点,对称轴为,则下列结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函数的图象经过点,则下列结论正确的是(    )A.
    B.
    C. 时,二次函数的图象与x轴必有一个交点在点的右侧
    D. 二次函数的图象的对称轴为由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数的图象过点,求证:这个二次函数的图象关于直线对称.根据现有信息,题中的二次函数可能具有的性质是(    )A. x轴上截得的线段的长度是2 B. y轴交于点
    C. 顶点是 D. 过点 三、填空题(本大题共2小题,共10.0分)已知二次函数图象永远在横轴上方,则实数a的取值范围为______.方程的两个不等实根都在上,则______ . 四、解答题(本大题共6小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)本小题如图,已知二次函数过点求此二次函数的解析式;在抛物线上存在一点P使的面积为10,求点P的坐标.本小题
    已知关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点.
    k的取值范围;
    若图象与x轴交点的横坐标为,且它们的倒数之和是,求k的值.本小题
    已知二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线上,并且图象经过点
    求二次函数的解析式;
    时,求二次函数的最大值与最小值,并求此时x的值.本小题
    已知二次函数,非空集合
    时,二次函数的最小值为,求实数a的取值范围;
    是否存在整数a的值,使得二次函数的最大值为3的充分条件,如果存在,求出一个整数a的值,如果不存在,请说明理由.本小题已知二次函数为常数,且的图象过两点,且它的对称轴的方程为求该二次函数的表达式;时,函数的最大值为,最小值为,令,求的表达式.本小题已知二次函数,写出函数的最大值与最小值;若函数在区间上满足函数值y随自变量x的增大而增大,求实数a的取值范围;求函数的最小值.
    答案和解析 1.【答案】D 【解析】【分析】
    本题考查二次函数的性质,属于基础题.
    根据题意配方求解即可.
    【解答】
    解:二次函数 的对称轴方程为
    顶点坐标为
    故选  2.【答案】B 【解析】【分析】本题考查二次函数的图像与x轴交点个数问题,以及充要条件的应用,属于基础题.
    由二次函数的图像与x轴没有交点,故,由此即可得到答案.【解答】解:由二次函数的图像与x轴没有交点,

    故选  3.【答案】A 【解析】【分析】本题考查二次函数的性质和一元二次不等式的恒成立问题,属于基础题.
    由题意,结合二次函数图象可得,从而求得a的范围.【解答】解:因为是二次函数,
    所以
    因为函数值恒小于零,
    所以二次函数的图像开口向下,且其图像与x轴没有交点,
    所以,解得
    故选  4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质的应用,能理解二次函数的性质是解此题的关键,属于基础题.
    先求出y的值,再求顶点坐标,根据函数的增减性得出即可.【解答】解:
    时,yx的增大而减小,
    时,
    时,y的取值范围是
    故选  5.【答案】B 【解析】【分析】根据图象的对称轴可得,根据图象过点可得,联立两方程可求得a本题考查二次函数的性质,属于基础题,准确理解二次函数的相关性质是解决问题的关键.【解答】解:图象的对称轴是
        
    图象过点

    联立①②解得
    故选  6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象关于对称轴对称以及运用,属于基础题.
    利用二次函数的图象特征,图象关于对称轴对称,所以两根也关于对称轴对称.【解答】解:因为二次函数的对称轴为
    一元二次方程有一根为3,设另一根为m
    所以
    解得
    故选  7.【答案】B 【解析】【分析】本题考查二次函数的平移,属于基础题.
    对于二次函数²,平移后顶点为,则平移后二次函数的解析式为²,即可作答.【解答】解:二次函数的图像平行移动,顶点移到点,此时函数的解析式为²,故正确.
    二次函数的图像平行移动,顶点移到点,此时函数的解析式为²,故错误.
    二次函数的图像平行移动,顶点移到点,此时函数的解析式为²,故错误.
    二次函数的图像平行移动,顶点移到点,此时函数的解析式为²;故正确.
    故不正确的个数有2.
    故选  8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质,属于中档题.
    首先根据当,得到,再根据不等式的恒成立问题可得,即可求得ab【解答】解:因为二次函数,当,所以
    所以
    因为对任意实数x都有恒成立,即二次函数恒成立,
    可得 ,代入可得
    所以,故选  9.【答案】B 【解析】【分析】通过根与系数的关系得,再由射影定理得出等式,解出即可.
    本题考查了韦达定理,是一道难题.【解答】解:当时,抛物线与x轴交于

    C轴于D
    所以
    所以
    ,因为是抛物线上的点
    ,所以
    所以联立①②
    故选:  10.【答案】ABC 【解析】【分析】
    本题考查了二次函数的图象与系数的关系,解答此类问题的关键是掌握二次函数系数符号.
    由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定,解题时要注意数形结合思想的运用.
    【解答】
    解:二次函数的图象与x轴交于两点,,即项正确;
    对称轴为,即项正确;
    时,,即项正确;
    项错误.
    故选  11.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质,属于中档题.
    将点代入,即可判断A正确;将点代入,得,又由,两式相加,相减,从而可判断B选项;根据一元二次方程根与系数的关系即可判断C;根据抛物线的对称轴公式为,即可判断D选项.【解答】解:抛物线经过点
    所以,故A正确;
    B. 抛物线经过点
    所以

    两式相加,得
    两式相减,得
    因为
    ,即时,,故B错误;
    C. 时,因为
    所以抛物线x轴有两个交点,
    设另一个交点的横坐标为x
    ,即
    因为
    所以
    所以
    即抛物线与x轴必有一个交点在点的右侧,故C正确;
    D. 抛物线的对称轴为,故D正确.
    故选  12.【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查了二次函数,属于基础题.
    根据二次函数的图像和性质逐一判定即可得出结论.【解答】解:因为函数图象过点,且对称轴是直线
    所以函数与x轴另一个交点为
    D正确;
    因为函数图像与x轴交于
    所以函数在x轴上截得的线段长度为2
    A正确;
    因为函数对称轴为,故二次函数顶点横坐标为2
    C错误;
    由题知
    时,,此时函数图像与y轴交于点
    B正确

    故选  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查实数的取值范围的求法,考查二次函数、一元二次不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    推导出恒成立,由此能求出实数a的取值范围.【解答】解:二次函数图象永远在横轴上方,
    恒成立,且

    解得
    实数a的取值范围是
    故答案为:  14.【答案】  【解析】【分析】
    本题主要考查一元二次方程的根与判别式的关系与方程系数的关系,属于中档题.
    由已知条件得:判别式,令,根据函数的零点在内,列出不等式组,解不等式组即可求出m的取值范围.
    【解答】
    解:令
    由条件得:
    解得
    的取值范围为
    故答案为  15.【答案】解:二次函数过点,解得二次函数的解析式为时,,解得:的面积为10,解得:时,,解得:2时,,方程无解, 【解析】本题考查一元二次函数解析式,待定系数法,属于中档题.
    利用待定系数法把代入二次函数中,即可算出bc的值,进而得到函数解析式是
    首先求出AB两点坐标,再算出AB的长,再设,根据的面积为10可以计算出n的值,然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标.
     16.【答案】解:二次函数的图象与x轴有两交点,
    时,有两个不相等的实数根.

    解得
    时,


    解得:舍去
     【解析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系,考查一元二次方程根与系数的关系,属于基础题.
    根据二次函数的图象与有两交点,得出时,有两个不相等的实
    数根,从而可知,解不等式即可得出答案;
    由根与系数关系得出方程,解方程即可得出答案.
     17.【答案】解:因为二次函数的最大值为2
    图象的顶点在直线上,所以顶点坐标为
    因此设二次函数为
    由二次函数的图象经过点,解得
    所以二次函数为
    因为
    所以由的图象知:
    时,y的最大值为2
    时,y的最小值为 【解析】本题考查了二次函数,函数的解析式和函数的最值,属于中档题.
    利用待定系数法求函数的解析式,计算得结论;
    利用二次函数在闭区间上的最值,计算得结论.
     18.【答案】解:,当且仅当时,二次函数有最小值为
    由已知时,二次函数的最小值为,则,所以二次函数,开口向上,对称轴为作出二次函数图象如图所示,由二次函数的大值为3的充分条件,时,二次函数的最大值为3,即为,令,解得由图像可知,当时,二次函数的最大值不等于3,不符合充分条件,,即a可取的整数值为01234任意一个. 【解析】本题考查二次函数的图象与性质及充分条件,属于拔高题.
    先求出二次函数当时取得最小值,得出a的取值范围即可;
    根据二次函数的图象与性质由二次函数的最大值为3的充分条件得出a的取值范围即可得出答案.
     19.【答案】解:二次函数的图像经过两点,

    因为它的对称轴的方程为,则
    解得所以该二次函数的表达式
    时,函数
    ,其图象对称轴的方程为
    ,即时,
    ,即时,

    ,即时,

    ,即时,
    综上: 【解析】本题考查二次函数性质及二次函数最值,考查分类讨论数学思想,属于中档题.
    根据二次函数过AB点可得,再由对称轴的方程为,即可解得abc,进而求得解析式.时,函数,分,和四种情况讨论求解最大值与最小值即可.
     20.【答案】解:时,
    因为,所以
    所以
    所以函数的最大值27,最小值为2
    由题可知,函数的对称轴为直线
    因为函数在区间上满足函数值y随自变量x的增大而增大,
    所以 ,解得
    即实数a的取值范围
    知,函数的对称轴为直线
    时,函数在处取得最小值为
    时,函数在处取得最小值为
    时,函数在处取得最小值为
    综上,当时,函数的最小值为
    时,函数的最小值为
    时,函数的最小值为 【解析】本题考查了二次函数的性质,属于中档题.
    时,,根据函数的图象即可求出函数的最大值与最小值;
    由二次函数的性质可得,解出a即可;
    知,函数的对称轴为直线,对的范围进行讨论即可求出答案.
     

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