河北省沧州市部分学校2022-2023学年高二上学期第一次阶段测试数学试题（含答案）

2022-2023学年第一学期第一次阶段测试卷

高二数学

考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填在答题卡上．

─、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若，则（    ）

A．      B．        C．      D．

2．已知空间向量，则（    ）

A．5           B．6          C．7            D．

3．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（    ）

A．            B．           C．          D．

4．已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ）

A．       B．     C．        D．

5．已知，则平面ABC的一个单位法向量是（    ）

A．       B．        C．        D．

6．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ）

A．       B．        C．        D．

7．如图所示，E，F分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，D是线段EF的一个四等分点（靠近E点），设，则 （    ）

A．       B．        C．        D．

8．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M为PC上一动点，，若为锐角，则实数t可能为（    ）

A．          B．          C．         D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题正确的是（    ）

A．零向量与任意向量平行

B．是向量的必要不充分条件

C．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

D．空间中任意两个向量，则一定成立

10．关于点，下列说法正确的是（    ）

A．点P关于Oxy平面的对称点的坐标为

B．点P关于x轴的对称点的坐标为

C．点P关于Oyz平面的对称点的坐标为

D．点P关于y轴的对称点的坐标为

11．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为1

B．平面EFG

C．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是

D．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为

12．在长方体中，已知．则（    ）

A．在四边形内存在一点N，使得平面

B．三棱锥外接球表面积是

C．点C到平面的距离是1

D．与平面的交点恰为线段的三等分点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．空间中任意四个点A，B，C，D，则________．

14．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC．外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．

15．已知直线l过定点，且为其一个方向向量，则点到直线l的距离为__________．

16．如图，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当时，线段的比值是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知空间三点，设．

（1）若A，B，C三点共线时，求t的值；

（2）若时，当向量与互相垂直，求k的值．

18．（本小题满分12分）

如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．

（1）试用向量表示向量；

（2）试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．

19．（本小题满分12分）

在如图所示的平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，．

（1）证明：平面；

（2）若O是中点，求AO长．

20．（本小题满分12分）

如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，M、E、F分别为PC、AB、BC的中点．

（1）求证：平面PAD；

（2）求直线AC到平面PEF的距离．

21．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDE中，平面ABC，点D到平面ABC的距离为2， 是正三角形， ，．

（1）证明：；

（2）求平面ABC与平面BED所成角的正弦值．

22．（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD， ．

（1）求证：平面平面PAC；

（2）若E是侧棱PB上一动点，恰好使得平面ADE与平面PAD的夹角为，请指出E点位置．

2022-2023年第一学期第一次阶段测试卷

高二数学答案

1．B  【解析】．故选B．

2．D

3．C  【解析】因为直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，所以它们所在直线的夹角为，则直线l与平面所成的角等于．

4．B

5．B

6．A  【解析】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，∴两平面间的距离．故选A．

7．C  【详解】如图所示，连接，∵，，，，

∴

．故选C．

8．B  【解析】分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，故，

由可知，，即，

又因为为锐角，所以，

由，可知，

，整理得，

解得，．故选B．

9．AB

10．ACD  【解析】求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点关于y轴的对称点为，关于平面的对称点是．故选ACD．

11．ABC  【解析】对于A，，故A正确；

对于B，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，

则，

则平面，B正确；

对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C正确；

对于D，平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为，设两个平面夹角为，

，故D错误．故选ABC．

12．ABD  【解析】对于A选项，以点A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．

故．

设是四边形内一点，

则，

令得解得

故在四边形内存在一点，使得平面．

对于B选项，三棱锥外接球就是长方体中的外接球，所以对角线就是外接球直径，所以外接球表面积是；

对于C选项，借助等体积法，可求得点C到平面的距离是；

对于D选项，由（1）可知是平面的一个法向量，

又，所以平面可用下式表示．

化简，得，

即．①

设点E为线段的一个三等分点，且满足．

由，可知，即点E的坐标为．

代入①检验可知，点E的坐标满足平面的表达式①．

所以的三等分点E在平面内，即与平面的交点是线段的三等分点．

选择ABD．

13．  【解析】．

14．  【解析】根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得成立，其中，于是，所以．

15．  【解析】，则点P到直线l的距离．

16．2  【解析】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1，，则．设，则，

因为，即，解得，

即是的中点。故．

17．【解析】（1）∵，

．

，

∴．

（2）因为，

，

所以．

即，所以或．

18．【解析】（1）

因为，

而，

又D为的中点，所以，

所以

．

（2）因为，

，

所以，

，所以．

所以四点共面．

19．【解析】（1）证明：连接和，由于，

∴，∴

同理

所以平面．

（2）

．

∴．

∴．

20．【解析】（1）取中点N，连接和，

且

∴为平行四边形，

∴，又∵平面

∴平面．

（2）建立以D为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．

则，

所以，，，

设平面的法向量，

则，即

取，则，所以，

因为E，F分别为的中点，所以．

又因为平面平面，

所以平面．

因为，所以点A到平面的距离．

所以直线到平面的距离为．

21．【解析】（1）证明：取的中点O，连接，

∵，

∴，且，

就是点D到平面的距离，即平面

∵平面，∴，

又∵，∴四边形是平行四边形，∴

∵是正三角形，∴，∴．

又∵，

∴

（2）由（1）得平面，

以为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则

设平面的法向量为，

则由得，令，得．

设平面的法向量为

平面与平面所成角为，

则，

，

故平面与平面所成角的正弦值为．

22．【解析】（1）证明：∵底面，∴，

在三角形中，由，

得．

∴，即．

又，∴平面；又∵平面，

∴平面平面．

（2）以A为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵，

∴．

设，设，得．

∴，

∴．

则．

．

设平面的一个法向量为，

由，取，得；

设平面的一个法向量为，

由，

得，解得（舍）或．

∴当，使平面与平面的夹角为．