河北省保定市部分学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

高二年级上学期第一次考试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册占，选择性必修第一册第一章至第二章第2节占。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（    ）

A．        B．        C．       D．

2．无论实数k取何值，直线都过定点，则该定点的坐标为（    ）

A．        B．        C．        D．

3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）

A．         B．

C．       D．

4．如图，在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（    ）

A．平面    B．平面   C．平面   D．平面

5．如图，在四面体OABC中，，且，则（    ）

A．     B．     C．     D．

6．甲、乙两名同学进行投篮训练，已知甲同学每次投篮命中的概率为，乙同学每次投篮命中的概率为，两名同学每次投篮是否命中相互独立．若甲、乙分别进行2次投篮，则他们命中的次数之和不少于2的概率为（    ）

A．         B．       C．        D．

7．如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若点G在直线上，且平面AEF，则（    ）

A．       B．        C．        D．

8．如图，已知两点，从点射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的方程为（    ）

A．     B．    C．      D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则     B．若，则或

C．若，则     D．若，则

10．已知正方体的棱长为a，，则（    ）

A．    B．    C．   D．

11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（    ）

A．     B．      C．的面积为   D．的周长为

12．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，则（    ）

A．该半正多面体的体积为         B．A，C，D，F四点共面

C．该半正多面体外接球的表面积为

D．若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

13．已知向量，若，则__________．

14．某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数（AQI），分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为__________．

15．若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为__________．

16．如图，在长方体中，点E，F分别在棱，上，且．若，，，则的最小值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知坐标平面内三点．

（1）求中AB边上的高所在的直线方程；

（2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．

18．（12分）

如图，在长方体中，E是的中点，且．

（1）过点A，C，E的截面与棱交于点F，求的长度；

（2）求点到平面ACE的距离．

19．（12分）

为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防．某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成这六组，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值，并估计这100人问答成绩的平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）

（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率．

20．（12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点．

（1）证明：平面PCD．

（2）求直线PA与平面CEF所成角的正弦值．

21．（12分）

已知直线与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且的面积为4．

（1）求m的值；

（2）若，点E，F分别在线段OA和OB上，且，求的取值范围．

22．（12分）

在三棱柱中，，G是线段EF上的动点．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求平面ACG与平面ABED夹角的余弦值的最大值．

高二年级上学期第一次考试

数学参考答案

1．C  ．

2．A直线过定点．

3．B因为，所以向量共面．

4．C以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则．

．

设平面的一个法向量为，则取

因为与不平行，所以与平面不垂直，A错误；

因为与不平行，所以BD与平面不垂直，B错误；

因为，所以平面，C正确；

因为，所以与平面不平行，D错误．

5．D因为，所以，又，所以．

6．B由题可知，他们命中的次数为0的概率为；命中的次数为1的概率为．故他们命中的次数之和不少于2的概率为．

7．A如图：

以C为原点，CB，所在的直线分别为y轴，x轴建立空间直角坐标系，

则．

由题可设，则．

设平面AEF的法向量，则令，得．

由，得，则．

8．D易得AB所在的直线方程为，点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为．直线MN即直线，则直线MN的方程为，即．

9．AC令，解得或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．若，则，解得，C正确，D错误．

10．BC如图：

因为，所以，A错误．

，B正确．

，C正确．

，D错误．

11．ABD  ．

因为，所以，即．

的面积为．

因为，所以，

解得，故的周长为

12．ABD 将该半正多面体补成正方体．因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为2．该半正多面体的体积，A正确．该半正多面体的外接球球心即正方体的外接球球心．设正方体的外接球球心为M，则该半正多面体的外接球半径，故该半正多面体外接球的表面积为，C错误．建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设，可解得，则，，共面，即A，C，D，F四点共面，B正确．

又，设，所以，则．

．令，则．

因为，所以．故直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为．D正确．

13．13 因为，所以，解得，则．

14．89 将这组数据从小到大排序依次为65，67，71，78，89，91，102，因为，所以这组数据的第70百分位数为89．

15．3因为一条中线所在直线的斜率为1，所以此中线所在直线的倾斜角为，可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为，，，即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为，所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3．

16．2以点为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．设，则．

因为，所以，即，化简得．当时，显然不符合题意．故，当且仅当时，等号成立．故的最小值为2．

17．解：（1）由题易知，                           1分

则所求直线的斜率为，                                     3分

故所求直线方程为，即．           5分

（2）如图，当点D在第一象限时，                  7分

设，则解得，故点D的坐标为．     10分

18．解：在长方体中，以点D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则．          2分

（1）连接EF，在长方体中，平面，

平面平面，所以．               5分

设，则．          6分

因为，所以，解得．

故．                                      7分

（2）．             8分

设平面ACE的法向量为，则令，得          10分

则点到平面ACE的距离 ．            12分

19．解：（1）由图可知，，解得．   3分

这100人问答成绩的平均数约为． 6分

（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在内的有人，分别记为A，B；问答成绩在内的有人分别记为a，b，c． 8分

从中任意抽取2人，则实验的样本空间

，共有10个样本点．    10分

设事件A为2人的问答成绩均在内的概率，则，          11分

所以这2人的间答成绩均在内的概率．               12分

20．（1）证明：如图，设M为PC的中点，连接FM，MD．                1分

因为F，M分别为PB，PC的中点，所以．

在正方形ABCD中，，所以．

所以四边形DEFM为平行四边形，．                 4分

因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．              5分

（2）解：以D为原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则,           6分

.                 7分

设平面CEF的法向量为，

则即令，则．            9分

设直线PA与平面CEF所成角为，

则，

故直线PA与平面CEF所成角的正弦值为．         12分

21．解：（1）令，得；令，得．                 2分

所以．                  3分

，解得．               5分

（2）由（1）可得，易得P为AB的中点，则．            6分

．                  7分

因为，所以，则．8分

设，则，                10分

．

故的取值范围为．                         12分

22．解：（1）因为，所以．

因为，所以平面BCGE．

因为平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．               2分

过点G作，垂足为M．因为平面BCGE，所以平面ABC，

点G到平面ABC的距离即GM的长度．                                        3分

过点E作，垂足为H，则．          4分

．                           5分

（2）以H为坐标原点，的方向为x轴的的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，

．

设平面ACG的法向量为，

则即

取，可得．                         7分

设平面ABED的法向量为，

则即

取，可得．                              8分

故．                  9分

令，则．         10分

因为，所以，．

故平面ACG与平面ABED所成锐二面角的余弦值的最大值为           12分