2022-2023学年河北省保定市部分学校高二上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省保定市部分学校高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，根据复数的除法与乘法，可得答案.

【详解】．

故选：C.

2．无论实数k取何值，直线都过定点，则该定点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由赋值法求解

【详解】令，解得，则直线过定点．

故选：A

3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据空间向量的运算，结合平面向量基本定理，可得答案.

【详解】对于A，设，使得，则，

即，该方程无解，故A错误；

对于B，设，使得，

则，即，解得，故B正确；

对于C，设，使得，

则，即，该方程无解，故C错误；

对于D，设，使得，

则，即，该方程无解，故D错误；

故选：B.

4．如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】C

【分析】以点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可.

【详解】

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.，.

设平面的一个法向量为，则取，

因为与不平行，所以与平面不垂直，错误；

因为与不平行，所以与平面不垂直，B错误；

因为，且线在面外，所以平面，C正确；

因为，所以与平面不平行，D错误

5．如图，在四面体OABC中，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量基本定理求解出，从而求出.

【详解】因为，所以，

又，所以．

故选：D

6．甲、乙两名同学进行投篮训练，已知甲同学每次投篮命中的概率为，乙同学每次投篮命中的概率为，两名同学每次投篮是否命中相互独立．若甲、乙分别进行2次投篮，则他们命中的次数之和不少于2的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】可先计算出两人命中次数为0次和1次的概率，从而利用对立事件概率公式计算出他们命中的次数之和不少于2的概率.

【详解】由题可知，他们命中的次数为0的概率为；命中的次数为1的概率为．

故他们命中的次数之和不少于2的概率为．

故选：B

7．如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若点G在直线上，且平面AEF，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面AEF的法向量，设出，利用求出的值，从而求出的模长，求出答案.

【详解】如图：以C为原点，CB，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则．

由题可设，则．

设平面AEF的法向量，则，

令，则，

得．

由，得，

则，，

即．

故选：A

8．如图，已知两点，从点射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果.

【详解】由题意易得AB所在的直线方程为，

设点关于直线的对称点，

则，解得，，

点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为．

直线MN即直线，则直线MN的方程为，即．

故选：D

二、多选题

9．已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则或

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】根据两直线平行列出方程，求出或，经检验，不合要求；

再根据两直线垂直列出方程，求出.

【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．

若，则，解得，C正确，D错误．

故选：AC

10．已知正方体的棱长为a，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由空间向量数量积运算律对选项逐一判断

【详解】如图：

对于A，因为，所以，故A错误．

对于B，，故B正确．

对于C，，故C正确．

对于D，，故D错误．

故选：BC

11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（    ）

A． B． C．的面积为 D．的周长为

【答案】ABD

【分析】利用正余弦定理和已知条件，解三角形，验证各个选项.

【详解】由，有，得，选项A正确．

因为，由正弦定理有，，得，选项B正确．

的面积为，选项C错误．

因为，由余弦定理，

解得，故的周长为，选项D正确.

故选：ABD

12．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，则下列各选项正确的是（    ）

A．该半正多面体的体积为

B．A，C，D，F四点共面

C．该半正多面体外接球的表面积为

D．若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为

【答案】ABD

【分析】A选项，将该半正多面体补成正方体，从而求出正方体的体积，减去8个三棱锥的体积，求出答案；

B选项，求出补成的正方体的外接球的半径即为该半正多面体的半径，从而求出外接球体积；

C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理进行求解；

D选项，设出点的坐标，用空间向量表达出直线DE与直线AF所成角的余弦值，

换元后，使用二次函数的取值范围求出直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围.

【详解】将该半正多面体补成正方体．因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为2．

该半正多面体的体积，A正确．

该半正多面体的外接球球心即正方体的外接球球心．设正方体的外接球球心为M，

则该半正多面体的外接球半径，故该半正多面体外接球的表面积为，C错误．

建立如图所示的空间直角坐标系，则，

．设，

可解得，则，，共面，即A，C，D，F四点共面，B正确．

又，设，所以，则．

．令，

则．

因为，所以，

故直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为．D正确．

故选：ABD

三、填空题

13．已知向量，若，则__________．

【答案】13

【分析】由空间向量平行的坐标表示求解

【详解】因为，所以，解得，则．

故答案为：13

14．某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数（AQI），分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为__________．

【答案】89

【分析】根据百分位数的计算即可求解.

【详解】将这组数据从小到大排序依次为65，67，71，78，89，91，102，因为，所以这组数据的第70百分位数为第5个数据，即89．

故答案为：89

15．若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为___________.

【答案】3

【分析】根据题意得到该等边三角形的三边所在直线的倾斜角，进而求出三边所在直线的斜率，求出和即可.

【详解】因为一条中线所在直线的斜率为1，所以此中线所在直线的倾斜角为，

可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为，

因为，，

，

即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为，

所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3.

故答案为：3

16．如图，在长方体中，点E，F分别在棱，上，且．若，，，则的最小值为__________．

【答案】2

【分析】建立空间直角坐标系，设，，，，表示出，，根据垂直得到，即可得到，再分和两种情况讨论，最后利用基本不等式计算可得．

【详解】解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，，，，则，．

因为，所以，即，化简得．

当时，显然不符合题意

当时，当且仅当，即时等号成立．

故的最小值为．

故答案为：

四、解答题

17．已知坐标平面内三点．

(1)求中AB边上的高所在的直线方程；

(2)若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】作图，根据斜率公式和点斜式直线方程即可求解.

【详解】(1)

由题易知，则高所在的直线的斜率为，                                     

故所求直线方程为，即；

(2)如图，当点D在第一象限时，                  

设，则 ，解得，故点D的坐标为；

18．如图，在长方体中，E是的中点，且．

(1)过点A，C，E的截面与棱交于点F，求的长度；

(2)求点到平面ACE的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由线面平行的性质得线线平行，根据向量共线即可求解，

（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解点面距离即可.

【详解】(1)在长方体中，以点D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则．

连接EF，在长方体中，平面，平面,

平面平面，所以．               

设，则．          

因为，所以，解得．

故．

(2)．             

设平面ACE的法向量为，则令，得          

则点到平面ACE的距离 ．

19．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防．某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成这六组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）

(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由频率之和为1即可求解,由平均数的计算公式即可求解平均数，

（2）根据列举法即可求解古典概型的概率.

【详解】(1)由图可知，，解得．   

这100人问答成绩的平均数约为．

(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在内的有人，分别记为A，B；问答成绩在内的有人分别记为a，b，c．

从中任意抽取2人，则实验的样本空间

，共有10个样本点．    

设事件A为2人的问答成绩均在内的概率，则，          

所以这2人的间答成绩均在内的概率．

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点．

(1)证明：平面PCD．

(2)求直线PA与平面CEF所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证，

（2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角.

【详解】(1)如图，设M为PC的中点，连接FM，MD．                

因为F，M分别为PB，PC的中点，所以．

在正方形ABCD中，，所以．

所以四边形DEFM为平行四边形，．                 

因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．

(2)以D为原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，           

．                 

设平面CEF的法向量为，

则即令，则．            

设直线PA与平面CEF所成角为，

则，

故直线PA与平面CEF所成角的正弦值为．

21．已知直线与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且的面积为4．

(1)求m的值；

(2)若，点E，F分别在线段OA和OB上，且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，求解与坐标轴的交点，结合三角形的面积公式，可得答案；

（2）由（1）可得点的坐标，根据面积关系，转化边长的关系，设出点的坐标，整理数量积的函数关系，可得答案.

【详解】(1)令，得；令，得．

所以．，解得．

(2)由（1）可得，易得P为AB的中点，则．

．

因为，所以，则．

设，则，

．

故的取值范围为．

22．在三棱柱中，，G是线段EF上的动点．

(1)求三棱锥的体积；

(2)求平面ACG与平面ABED所成锐二面角余弦值的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由结合线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得平面⊥平面，过点G作，垂足为M，过点E作，垂足为H，可得，从而可求出三棱锥的体积；

（2）以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量表示平面ACG与平面ABED夹角的余弦值，从而可求出其最大值.

【详解】(1)因为，所以．

因为，平面，

所以平面．

因为平面ABC，

所以平面⊥平面．               

过点G作，垂足为M．

因为平面BCGE，所以平面ABC，

点G到平面ABC的距离即GM的长度．                                        

过点E作，垂足为H，则．          

．

(2)以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，

．

设平面ACG的法向量为，

则，

取，可得．                         

设平面ABED的法向量为，

则，

取，可得．                              

故．                  

令，则．         

因为，所以，．

故平面ACG与平面ABED所成锐二面角的余弦值的最大值为.