天津市红桥区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷　（含答案）

这是一份天津市红桥区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷　（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
天津市红桥区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷　
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．4x+2＝25﹣5x B．x2+2x﹣1＝0 C． D．
2．（3分）将一元二次方程3x2﹣8x＝10化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣3，8，﹣10 B．3，﹣8，10 C．﹣3，﹣8，10 D．3，﹣8，﹣10
3．（3分）一元二次方程x2+6x+4＝0可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（　　）
A． B．x+3＝5 C． D．x+3＝﹣5
4．（3分）用配方法解方程x2﹣10x+9＝0时，配方所得的方程为（　　）
A．（x﹣5）2＝16 B．（x﹣5）2＝﹣16
C．（x+5）2＝16 D．（x﹣10）2＝﹣16
5．（3分）一元二次方程5x2﹣3x＝x+1的实数根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝3，则原方程可化为（　　）
A．（x﹣2）（x﹣3）＝0 B．（x+2）（x+3）＝0
C．（x﹣2）（x+3）＝0 D．（x+2）（x﹣3）＝0
7．（3分）方程x2+x＝5x+6的两个实数根的和与积分别是（　　）
A．﹣5，6 B．﹣4，6 C．4，﹣6 D．﹣1，6
8．（3分）若点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2+x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两个实数根是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝5
10．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C，点B'恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
11．（3分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400 D．400x2＝625
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，有下列结论：①a＞0；②a+b＝3；③抛物线经过点（﹣1，0）；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为 　 　．
14．（3分）二次函数y＝x2﹣4x的最小值为 　 　．
15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是 　 　．（写出一个即可）
16．（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝　 　s．

17．（3分）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则的值为 　 　．
18．（3分）如图，△A'B'C'是由△ABC绕点O逆时针旋转得到的，请用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形区域中作出点O，并简要说明点O的位置是如何找到的（保留作图痕迹） 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解下列关于x的方程．
（1）（2x+1）2﹣9＝0；
（2）x2﹣5x+2＝0．
20．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点的坐标；
（2）请在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转180°后的图形．

21．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣m＝0（m为常数）．
（1）若x＝2是该方程的一个实数根，求m的值；
（2）当m＝3时，求该方程的实数根；
（3）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
22．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象为抛物线C．
（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当0≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
（3）将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为C'．请直接写出抛物线C'的函数解析式．
23．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

24．在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN．

（1）如图①，当∠B＝50°时，求∠MAN的大小；
（2）如图②，当AB∥NC时，求∠B的大小；
（3）如图③，求证：∠AMN＝∠ACN．

25．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
②P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标．


天津市红桥区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．4x+2＝25﹣5x B．x2+2x﹣1＝0 C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义，直接判断即可．
【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、该方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、分母中含有未知数，为分式方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（3分）将一元二次方程3x2﹣8x＝10化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣3，8，﹣10 B．3，﹣8，10 C．﹣3，﹣8，10 D．3，﹣8，﹣10
【分析】根据一元二次方程的一般形式进行解答即可．
【解答】解：将一元二次方程3x2﹣8x＝10化为一般形式为3x2﹣8x﹣10＝0，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣8，﹣10．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
3．（3分）一元二次方程x2+6x+4＝0可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（　　）
A． B．x+3＝5 C． D．x+3＝﹣5
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+6x+4＝0，
x2+6x＝﹣4，
x2+6x+9＝﹣4+9，
（x+3）2＝5，
x+3＝±，
x+3＝或x+3＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣10x+9＝0时，配方所得的方程为（　　）
A．（x﹣5）2＝16 B．（x﹣5）2＝﹣16
C．（x+5）2＝16 D．（x﹣10）2＝﹣16
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣10x+9＝0，
x2﹣10x＝﹣9，
x2﹣10x+25＝﹣9+25，
（x﹣5）2＝16，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
5．（3分）一元二次方程5x2﹣3x＝x+1的实数根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】将原方程转化为一般形式，根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝36＞0，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：将原方程化成一般形式5x2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝3，则原方程可化为（　　）
A．（x﹣2）（x﹣3）＝0 B．（x+2）（x+3）＝0
C．（x﹣2）（x+3）＝0 D．（x+2）（x﹣3）＝0
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝3，
∴﹣2+3＝﹣p，﹣2×3＝q，
∴p＝﹣1，q＝﹣6，
∴原方程可化为（x+2）（x﹣3）＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
7．（3分）方程x2+x＝5x+6的两个实数根的和与积分别是（　　）
A．﹣5，6 B．﹣4，6 C．4，﹣6 D．﹣1，6
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【解答】解：方程x2+x＝5x+6整理得：x2﹣4x﹣6＝0
设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0的两根，
则x1+x2＝4，x1•x2＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
8．（3分）若点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2+x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2+x﹣1，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝﹣＝﹣．
∵点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2+x﹣1的图象上，且三点离对称轴的距离按由远到近为：C、A、B，
∴y2＜y1＜y3，
故选：A．
【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两个实数根是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝5
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两实数根，就是二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标．
【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣5x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x＝，
又∵二次函数y＝x2﹣5x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性可知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（4，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性．
10．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C，点B'恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
11．（3分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400 D．400x2＝625
【分析】第三年的植树量＝第一年的植树量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意得：400（1+x）2＝625，
故选：B．
【点评】考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，有下列结论：①a＞0；②a+b＝3；③抛物线经过点（﹣1，0）；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由抛物线对称轴在y轴左侧，且抛物线经过（1，0），（0，﹣3）可得抛物线开口向上，从而判断①④，分别将（1，0），（0，﹣3）代入解析式可得a+b与c的关系，从而判断②，由抛物线的对称性可判断③．
【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴左侧，且抛物线经过（1，0），（0，﹣3），
∴抛物线开口向上，即a＞0，①正确．
将（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得c＝﹣3，
将（1，0）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝0，
∴a+b＝﹣c＝3，②正确．
∵抛物线对称轴在y轴左侧，点（1，0），（﹣1，0）关于y轴对称，
∴（﹣1，0）不在抛物线上，③错误．
∵抛物线开口向上，﹣1＞﹣3，
∴抛物线与直线y＝﹣1有两个不同交点，
∴ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，④正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为 　（﹣3，5）　．
【分析】根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案．
【解答】解：y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为（﹣3，5）．
故答案为：（﹣3，5）．
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的性质是解决本题的关键．
14．（3分）二次函数y＝x2﹣4x的最小值为 　﹣4　．
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：y＝x2﹣4x
＝（x﹣2）2﹣4，
当x＝2时，y的最小值为﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是 　﹣1　．（写出一个即可）
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，在m的范围内选一个即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
取m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
16．（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝　2　s．

【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
且﹣5＜0，
∴当t＝2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
17．（3分）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则的值为 　14　．
【分析】由根与系数的关系，得到x1+x2＝2，x1•x2＝﹣5，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣5，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣5）＝14；
故答案为：14．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2＝﹣5．
18．（3分）如图，△A'B'C'是由△ABC绕点O逆时针旋转得到的，请用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形区域中作出点O，并简要说明点O的位置是如何找到的（保留作图痕迹） 　作线段AA′，BB′的垂直平分线，交点O即为旋转中心　．

【分析】作线段AA′，BB′的垂直平分线，交点O即为旋转中心．
【解答】解：如图，作线段AA′，BB′的垂直平分线，交点O即为旋转中心．

故答案为：作线段AA′，BB′的垂直平分线，交点O即为旋转中心．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解下列关于x的方程．
（1）（2x+1）2﹣9＝0；
（2）x2﹣5x+2＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）（2x+1）2﹣9＝0，
（2x+1）2＝9，
∴2x+1＝±3，
∴x1＝1，x2＝﹣2；
（2）x2﹣5x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0，
∴x＝＝，
∴，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）请在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点的坐标；
（2）请在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转180°后的图形．

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C 的对应点A″，B″，C″即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求，A′（4，﹣2），B′（4，0），C′（1，1）；
（2）如图，△A″B″C″即为所求．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
21．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣m＝0（m为常数）．
（1）若x＝2是该方程的一个实数根，求m的值；
（2）当m＝3时，求该方程的实数根；
（3）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）将x＝2代入原方程可求出m的值；
（2）代入m＝3，利用因式分解法可求出方程的实数根；
（3）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）将x＝2代入原方程得2×22﹣5×2﹣m＝0，
解得：m＝﹣2，
∴m的值为﹣2；
（2）将m＝3代入原方程得2x2﹣5x﹣3＝0，
∴（2x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝3，
∴当m＝3时，该方程的实数根为x1＝﹣，x2＝3；
（3）∵关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣m）＞0，
解得：m＞﹣，
∴m的取值范围为m＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）代入x的值，求出m的值；（2）利用因式分解法，求出方程的解；（3）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
22．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象为抛物线C．
（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当0≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
（3）将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为C'．请直接写出抛物线C'的函数解析式．
【分析】（1）把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得；
（2）根据二次函数的性质可得出答案；
（3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线C的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；
（2）∵抛物线C的开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，
当x＝1时，y＝2；
当x＝3时，y＝﹣2；
∴当0≤x≤3时，该二次函数的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2；
（3）将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为C'：y＝﹣（x﹣1+2）2+2+1，即可y＝﹣（x+1）2+3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

【分析】（1）设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
24．在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN．

（1）如图①，当∠B＝50°时，求∠MAN的大小；
（2）如图②，当AB∥NC时，求∠B的大小；
（3）如图③，求证：∠AMN＝∠ACN．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB＝50°，由旋转的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得∠ACN＝∠ABC，由三角形内角和定理可求∠ABC＝60°；
（3）由“SAS”可证△ABM≌△ACN，可得∠ABC＝∠ACN，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，
∴∠MAN＝∠BAC＝80°；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，
∴∠ACN＝∠ABC，
∵AB∥CN，
∴∠ACN＝∠CAB，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ABC＝60°；
（3）证明：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，
∴AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
又∵AB＝AC，AM＝AN，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN，
∵AB＝AC，AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
②P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①设B（2，m）（m＞0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
②运用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得AB，即PA﹣PB的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，

设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
如图2，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，

∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键．