天津市第十四中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份天津市第十四中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市第十四中学九年级（上）期末数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．一枚硬币，正面朝上
B．购买一张彩票，一定中奖
C．任意画一个三角形，它的内角和等于180°
D．存在一个实数，它的平方是负数
3．为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．1280+1280（1+x）+1280（1+x）2＝6080
B．6080（1+x）+6080（1﹣x）2＝1280
C．1280（1+x）2＝6080
D．6080（1﹣x）2＝1280
4．已知点A（﹣2，y1）、B（2，y2）是抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的两点，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
5．把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2+5 B．y＝﹣（x+2）2+5
C．y＝﹣（x﹣2）2﹣5 D．y＝﹣（x+2）2﹣5
6．如图，在△ABC中，∠C＝64°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．58°
7．小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得AB＝3，则此光盘的直径为（　　）

A．3 B． C． D．
8．若直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个直角三角形内切圆的半径是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．70° B．145° C．140° D．110°
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，①b2﹣4ac＞0②4a+c＜0③当﹣3≤x≤1时，y≥0④若，为函数图象上的两点，则y1＞y2，以上结论中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．二次函数的图象开口向下，则m＝　 　．
12．大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是 　 　．
13．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的两个实数根，且x1x2﹣x1﹣x2＝﹣3，则m＝　 　．
14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是　 　．
15．蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为　 　m．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A'（﹣4，3），将OA'绕坐标原点O顺时针旋转90°至OA，则点A的坐标是 　 　．

17．抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标是（1，﹣2），则该抛物线的解析式是 　 　．
18．点A和B在直线y＝﹣x+6上，点A的横坐标是2，且AB＝5．当线段AB绕点A顺时针旋转90°后，点B的坐标是 　 　．
三、解答题（共46分）
19．解方程：4x2﹣4x+1＝0．
20．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．（请用列表法或画树状图的方法）
（1）求两次数字之积为奇数的概率；
（2）若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
21．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点作⊙O的切线，交AB的延长线于点P．
（1）如图，连接AC，BC，若BP＝OB，求∠P的大小；
（2）若BP＝2，CP＝4，求AB的长．

22．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件，市场调查反映；如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件，请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：

原价
每件降价1元
每件降价2元
…
每件降价x元
每件售价（元）
35
34
33
…

每天销售量（件）
50
52
54
…

（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．
23．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO′．点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA'的长；
（Ⅱ）如图②．若α＝45°，求点O'的坐标；
（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，求出△ACE的最大面积和点D的坐标；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



答案与解析
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．一枚硬币，正面朝上
B．购买一张彩票，一定中奖
C．任意画一个三角形，它的内角和等于180°
D．存在一个实数，它的平方是负数
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．一枚硬币，正面朝上，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．购买一张彩票，不一定会中奖，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．任意画一个三角形，它的内角和等于180°，是必然事件，因此选项C符合题意；
D．存在一个实数，它的平方是负数，是不可能事件，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件，掌握随机事件、必然事件、不可能事件是正确判断的前提．
3．为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．1280+1280（1+x）+1280（1+x）2＝6080
B．6080（1+x）+6080（1﹣x）2＝1280
C．1280（1+x）2＝6080
D．6080（1﹣x）2＝1280
【分析】根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆1280（1+x）人次，第二个月进馆1280（1+x）2人次．，结合到第三个月月末累计进馆6080人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆1280（1+x）人次，第二个月进馆1280（1+x）2人次．
根据题意得：1280+1280（1+x）+1280（1+x）2＝6080．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．已知点A（﹣2，y1）、B（2，y2）是抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的两点，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【分析】求出二次函数的图象开口方向的对称轴，再根据二次函数的性质即可判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵点A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为点A（4，y1），且2＜4，
∴y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是本题的关键．
5．把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2+5 B．y＝﹣（x+2）2+5
C．y＝﹣（x﹣2）2﹣5 D．y＝﹣（x+2）2﹣5
【分析】根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．
【解答】解：把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象是y＝﹣（x﹣2）2+5，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．如图，在△ABC中，∠C＝64°，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．58°
【分析】方法一：根据旋转的性质，可以得到AC＝AC′，然后根据∠C＝64°，即可得到旋转角的度数，然后三角形内角和，即可得到∠B′C′B的度数．
方法二：根据旋转的性质和等腰三角形的性质，可以得到∠AC′C和∠AC′B′的度数，再根据三角形内角和即可得到∠B′C′B的度数．
【解答】解：方法一：∵将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∠C＝64°，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，∠B＝∠B′，
∴∠C＝∠AC′C＝64°，
∴∠CAC′＝52°，
∴∠BAB′＝52°，
∴∠B′AD＝52°，
∵∠B＝∠B′，∠BDC′＝∠B′DA，
∴∠BC′D＝∠B′AD＝52°，
即∠B′C′B的度数为52°，
故选：C．
方法二：∵将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∠C＝64°，
∴AC＝AC′，∠C＝∠AC′B′＝64°，
∴∠C＝∠AC′C＝64°，
∴∠B′C′B＝180°﹣∠AC′C﹣∠AC′B′＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
故选：C．

【点评】本题考查旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得AB＝3，则此光盘的直径为（　　）

A．3 B． C． D．
【分析】连接OC、OA、OB，根据切线的性质得到∠OCA＝∠OBA＝90°，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：设直角三角板的斜边与光盘相切于点C，连接OC、OA、OB，
则OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠OCA＝∠OBA＝90°，
由题意得：∠CAB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠OAB＝60°，
∴OB＝AB•tan60°＝3，
∴此光盘的直径为6，
故选：D．

【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．若直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个直角三角形内切圆的半径是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设△ABC的内切圆⊙O与边AC、BC、AB分别相切于点E、F、G，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，根据勾股定理求得AB＝10，由切线长定理得AE＝AG，BF＝BG，CE＝CF，即可求得CF＝2，再证明OE＝CF＝2，则这个直角三角形的内切圆的半径长是2，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
设⊙O与AC、BC、AB分别相切于点E、F、G，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AE＝AG，BF＝BG，CE＝CF，
∴AE+BF＝AG+BG＝AB＝10，
∴CE+CF＝AC+BD﹣（AE+BF）＝6+8﹣10＝4，
∴2CF＝4，
∴CF＝2，
∵AC⊥OE，BC⊥OF，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝2，
∴这个直角三角形的内切圆的半径长是2，
故选：B．

【点评】此题重点考查切线的性质、切线长定理、勾股定理的应用、矩形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．70° B．145° C．140° D．110°
【分析】根据圆周角定理求出∠A，再利用圆内接四边形性质得出∠C+∠A＝180°，即可求出∠C的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝70°，
∴，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝145°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解答此题的关键．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，①b2﹣4ac＞0②4a+c＜0③当﹣3≤x≤1时，y≥0④若，为函数图象上的两点，则y1＞y2，以上结论中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质解答．
【解答】解：由题意可知二次函数图象与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
由函数图象对称性可得函数图象经过（﹣3，0）和（1，0）两点，
∴9a﹣3b+c＝0①，a+b+c＝0②，
①+②×3并化简得：3a+c＝0，
∴4a+c＝a+3a+c＝a＜0，故②正确；
∵由函数图象对称性可得函数图象经过（﹣3，0）和（1，0）两点，
∴由函数整个图象可得当﹣3≤x≤1时，y≥0，故③正确；
设时，函数值为y3，则由函数图象的对称性可得：y2＝y3，
∵，
∴由函数的增减性可得：y1＜y3，
∴y1＜y2，故④错误；
故正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．
11．二次函数的图象开口向下，则m＝　﹣2　．
【分析】直接利用二次函数的定义以及其性质得出m的值．
【解答】解：二次函数y＝（m+1）的图象的开口向下，
∴m2﹣2＝2，且m+1＜0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键．
12．大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是 　　．
【分析】由在我”“的”“中”“国”“梦”这5个字的卡片中只有1张写有“中”字，利用概率公式计算可得．
【解答】解：∵在我”“的”“中”“国”“梦”这5个字的卡片中只有1张写有“中”字，
∴这张卡片上面恰好写着“中”字的概率是
故答案为：．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的两个实数根，且x1x2﹣x1﹣x2＝﹣3，则m＝　2　．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝5，x1•x2＝m再结合已知条件求解即可．
【解答】解：x1，x2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝5，x1•x2＝m，
∵x1x2﹣x1﹣x2＝﹣3，
∴m﹣5＝﹣3，
∴m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系是解题关键．
14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是　2　．
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．
故答案为：2．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
15．蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为　4　m．

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：∵CD垂直平分AB，
∴AD＝8．
∴OD＝＝6m，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为：4．
【点评】此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A'（﹣4，3），将OA'绕坐标原点O顺时针旋转90°至OA，则点A的坐标是 　（3，4）　．

【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′B′⊥x轴于点B′，根据旋转的性质可得OA＝OA′，∠AOA′＝90°，易证△AOB≌△OA′B′（AAS），根据全等三角形的性质可得AB＝OB′，OB＝A′B′，进一步可得点A坐标．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′B′⊥x轴于点B′，如图所示：

则∠A′B′O＝∠ABO＝90°，
根据旋转的性质，可得OA＝OA′，∠AOA′＝90°，
∴∠A′OB′+∠AOB＝90°，∠AOB+∠OAB＝90°，
∴∠A′OB′＝∠OAB，
在△AOB和△OA′B′中，
，
∴△AOB≌△OA′B′（AAS），
∴AB＝OB′，OB＝A′B′，
∵点A′的坐标为（﹣4，3），
∴OB′＝4，A′B′＝3，
∴OB＝3，AB＝4，
∴点A的坐标为（3，4），
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键．
17．抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标是（1，﹣2），则该抛物线的解析式是 　y＝﹣x2+2x﹣3　．
【分析】根据解析式可知a＝﹣1，设顶点式即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标是（1，﹣2），
设y＝a（x﹣1）2﹣2，
又∵a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2﹣2，
即y＝﹣x2+2x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，掌握顶点式是解题的关键．
18．点A和B在直线y＝﹣x+6上，点A的横坐标是2，且AB＝5．当线段AB绕点A顺时针旋转90°后，点B的坐标是 　（5，）或（﹣1，）　．
【分析】求出点A的坐标，再求出与旋转前直线垂直的直线的关系式，利用两点的距离公式列方程求解即可．
【解答】解：把x＝2代入直线y＝﹣x+6得，y＝，
所以点A（2，），
由于旋转后的直线与原直线y＝﹣x+6互相垂直，
设旋转后的直线的关系式为y＝kx+b，则k＝，
把A（2，）代入得，×2+b＝，
解得b＝，
∴旋转后的直线的关系式为y＝x+，
设旋转后对应的点B（x，x+），而点A（2，），AB＝5，
由两点间的距离公式可得，
（x+﹣）2+（x﹣2）2＝52，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
当x＝5时，y＝×5+＝，此时点B（5，），
当x＝﹣1时，y＝×（﹣1）+＝，此时点B（﹣1，），
故答案为：（5，）或（﹣1，）．
【点评】本题考查了一次函数上点的坐标特征，利用旋转变换的性质以及两点间的距离公式列方程求解是解决问题的关键．
19．解方程：4x2﹣4x+1＝0．
【分析】首先将常数项移到等号的右侧，把二次项系数化为1，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：原方程变形为 x2﹣x＝﹣，
∴（x﹣）2＝﹣+
∴x﹣＝0，
∴x1＝x2＝．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
20．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．（请用列表法或画树状图的方法）
（1）求两次数字之积为奇数的概率；
（2）若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的结果数和两次数字之积为奇数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
（2）根据概率公式先求出两次数字之积为奇数和两次数字之积为偶数的概率，再进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：

1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字之积为奇数的有4种，
则两次数字之积为奇数的概率为＝；

（2）根据（1）得出的两次数字之积为奇数的概率是，则两次数字之积为偶数的概率是，
∵＜，
∴这个游戏不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点作⊙O的切线，交AB的延长线于点P．
（1）如图，连接AC，BC，若BP＝OB，求∠P的大小；
（2）若BP＝2，CP＝4，求AB的长．

【分析】（1）连接OC，根据等边对等角可得∠P＝∠BCP，∠OCB＝∠OBC，根据三角形的外角关系得∠OBC＝∠P+∠BCP＝2∠BCP，最后得到3∠BCP＝90°，从而计算得解；
（2）设OC＝OB＝x，根据勾股定理列方程、解方程，利用半径与直径的关系得到AB的长．
【解答】解：（1）如图，连接OC，OC＝OB，

∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，∠OCP＝90°，
∵BP＝OB，
∴∠P＝∠BCP，∠OBC＝∠P+∠BCP＝2∠BCP，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝2∠BCP，
∵∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝90°，
∴3∠BCP＝90°∠BCP＝30°，
∴∠P＝30°；
（2）解：∠OCP＝90°，
设OC＝OB＝x，
∵OC2+CP2＝OP2，
∴x2+42＝（x+2）2，
解方程得x＝3，
∴AB＝2OB＝6．
【点评】本题考查了圆的切线、勾股定理、等边对等角、三角形外角等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
22．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件，市场调查反映；如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件，请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
（1）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：

原价
每件降价1元
每件降价2元
…
每件降价x元
每件售价（元）
35
34
33
…

每天销售量（件）
50
52
54
…

（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．
【分析】（1）现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为（35﹣x）元；多卖2x件，即每天销售量为（50+2x）件；
（2）每天的销售额＝每件售价×每天销售量，即y＝（35﹣x）（50+2x），配方后得到y＝﹣2（x﹣5）2+1800，根据二次函数的性质得到当x＝5时，y取得最大值1800．
【解答】解：（1）35﹣x，50+2x；

（2）根据题意，每天的销售额y＝（35﹣x）（50+2x），（0＜x＜35）
配方得y＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵a＜0，
∴当x＝5时，y取得最大值1800．
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为1800元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：根据题意构建二次函数关系式，再利用配方法配成顶点式，然后根据二次函数的性质讨论函数的最大值或最小值．
23．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO′．点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA'的长；
（Ⅱ）如图②．若α＝45°，求点O'的坐标；
（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）．
【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，由旋转的性质得出∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，由勾股定理可得出答案；
（2）过点O'作O'C⊥OB于点C，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出OC，O'C的长，则可得出答案；
（3）画出图形，得出MN的最大值和最小值，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（3，0），点B（0，4），
∴AO＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A'BO′，
∴∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，
∴AA'＝＝＝5；
（2）如图②，若α＝45°，则∠CBO'＝90°，过点O'作O'C⊥OB于点C，

则∠CO'B＝90°，
∴BC＝CO'，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转45°，得△A'BO′，
∴OB＝O'B＝4，
∴BC＝CO'＝4×＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2，
∴O'（2，4﹣2）；
（3）如图③中，过点O作OH⊥AC，

则OH＝，
∴BH＝＝，
观察图形可知，MN重合时，MN的最小值＝0，
MN的最大值＝BM+BN＝5+3＝8．
∴MN的取值范围是0≤MN≤8．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，求出△ACE的最大面积和点D的坐标；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），则DE＝﹣m2﹣3m，故S△ACE＝×3×（﹣m2﹣3m），进而求解；
（3）分BC、BQ、BE分别为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，0），AB＝4，
∴A（﹣3，0），
将B（1，0），A（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）设直线AC的解析式为y＝k'x+b'，
∴，解得，
∴y＝x+3，
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝﹣m2﹣3m，
∴S△ACE＝×3×（﹣m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S△ACE的值最大为，
∴D（﹣，）；

（3）存在，理由如下：
∵m＝﹣2，
∴E（﹣2，3），
设Q（n，t），
①当BC为平行四边形的对角线时，
则，解得，
∴Q（3，0）；
②当BE为平行四边形的对角线时，
则，解得，
∴Q（﹣1，0）；
③当BQ为平行四边形的对角线时，
则，解得，
∴Q（﹣3，6）；
综上所述：当Q点为（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．