天津市第二中学2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷(含答案)

2022-2023学年天津二中九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件中，是随机事件的是(    )

A. 明天太阳从东方升起
B. 通常加热到时，水沸腾
C. 任意画一个四边形，其内角和是
D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数

3.  某厂家今年一月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为则所列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是(    )

A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向下平移个单位

6.  如图，是绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上且，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，，分别与相切于点，、过圆上点作的切线分别交，于点，，若，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，，，，则它的内切圆与外接圆半径分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9.  如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与的延长线交于点若点是弧的中点，且，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线是常数，，经过点，其对称轴是直线有下列结论：；关于的方程有两个不相等的实数根；；其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______．

12.  在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的个红球、个黄球、个绿球，任意摸出一球，摸到绿球的概率是______．

13.  方程的两根分别为和，则的值为______．

14.  用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为______．

15.  如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度为，水面宽为，则输水管的半径为______

16.  在平面直角坐标系中，点坐标为，连接，将绕点旋转后，得到，则点的坐标为______．

17.  二次函数的图象过点，两点，对称轴为，这个二次函数的解析式为______．

18.  如图所示，在直角坐标系中，等腰直角的顶点是坐标原点，点的坐标是，直角顶点在第二象限，把绕点旋转到，点与对应，点与点对应，那么点的坐标是______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：．

20.  本小题分
某轨道车共有四节车厢，车厢号分别为、、、，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一辆轨道车．
甲从号车厢上车的概率是______；
用列表法或画树状图法，求甲和乙从同一节车厢上车的概率是多少？

21.  本小题分
已知为的直径，，为上一点，连接，．
如图，若为的中点，求的大小和的长；
如图，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长．

22.  本小题分
某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每降价元，每星期要多卖出件．已知商品的进价为每件元．
若每件降价元，单件商品的利润为______元；每星期的销售量为______件用含的式子表示；
若每周可获利元，求与的函数关系式；
售价为多少才能使利润最大？并求出最大利润．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点点以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，，记旋转角为．

如图，当时，求点的坐标；
如图，当点落在的延长线上时，求点的坐标；
当点落在线段上时，直接写出点的坐标．

24.  本小题分
如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
求此抛物线的解析式及顶点坐标；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由；
设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．直接写出结果

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、明天太阳从东方升起，是必然事件，故A错误；
B、通常加热到时，水沸腾，是必然事件，故B错误；
C、任意画一个四边形，其内角和是，是必然事件，故C错误；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故D正确；
故选：．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
本题考查了随机事件，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，
由题意得，．
故选：．
若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，某厂家今年一月份的口罩产量是万个，则二月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，根据三月份的口罩产量是万个，列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产值是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线为常数的对称轴为直线，
所以到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，
所以．
故选：．
先根据顶点式得到抛物线为常数的对称轴为直线，然后二次函数的性质和点、点和点离对称轴的远近进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是先向右平移一个单位，再向上平移个单位，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由旋转得：，，
，
．
故选：．
根据旋转的性质得：，，利用角的和与差求出的度数．
本题考查了旋转、等腰三角形的性质和外角定理，明确旋转前后的边和角对应相等是关键，同时要注意所求的角是内角还是外角，熟练掌握外角定理和等边对等角这些有关角的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：、分别与相切于点、，
的切线分别交、于点、，切点在弧上，
，，，
的周长．
故选：．
由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果．
本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出的周长．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，
，，
，
外接圆半径，
四边形是正方形，且是的内切圆，
内切圆半径；
故选：．
直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中、为直角边，为斜边，内切圆半径为，则；外接圆的半径就是斜边的一半．
本题考查了三角形的外接圆和内切圆，勾股定理，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是的切线，点为切点，
，
即，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
点是弧的中点，
，
，
，
，
，
在四边形中，由内角和定理可知，

，
故选：．
根据切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质进行计算即可．
本题考查切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理以及圆内接四边形，掌握切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质是正确解答的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为，
，
抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，故错误；
抛物线开口向下，与轴有两个交点，
顶点在轴的上方，
，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不等的实数根；故正确；
抛物线经过点，
，
，
，即，
，
，
，
，故正确，
故选：．
由题意得到抛物线的开口向下，对称轴，判断，与的关系，得到，即可判断；
根据题意得到抛物线开口向下，顶点在轴上方，即可判断；
根据抛物线经过点以及，得到，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向下，
，
解得：，
故答案为：．
根据二次函数图象性质判断出的范围即可．
此题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与性质是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：袋子中共有个球，其中绿球有个，
任意摸出一球，摸到绿球的概率是，
故答案为：．
根据随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数，用绿球的个数除以总个数，求出恰好摸到绿球的概率是多少即可．
本题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程两根为，，
，
故答案为：．
直接由方程根与系数的关系可求得答案．
本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：扇形的弧长，
圆锥的底面半径为．
故答案为：．
易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径．
本题考查扇形的弧长公式，正确记忆圆锥的弧长等于底面周长是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即输水管的半径为，
故答案为：．
由垂径定理可知，设，则，在中，再利用勾股定理即可求出的值．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，如图：

过点作轴，过点作轴，
则：，，，
将绕点旋转后，得到，
，，
，
，
≌，
，，
；
将绕点逆时针旋转，如图：

同法可得：，，
；
综上：点的坐标为或；
故答案为：或．
分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，利用旋转的性质，进行求解即可．
本题考查坐标系下的旋转．熟练掌握旋转的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，即，
故答案为．
利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则可设交点式，然后把代入求出的值即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
 

18.【答案】或 

【解析】解：如图所示：若绕点逆时针旋转得到，过作轴，则，

又，
，
，
点的坐标是，
，
，
，，
点的坐标是；
如图所示：若绕点顺时针旋转得到，过作轴，则，

同理可得，，，
，
，，
点的坐标是；
综上所述，点的坐标是或
故答案为：或
根据绕点旋转得到，分两种情况，过作轴，依据中，和的长，即可得到点的坐标．
本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
 

19.【答案】解：方程整理得：，
配方得：，
即，
开方得：，
解得：，． 

【解析】方程利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：甲从号车厢上车的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲和乙从同一节车厢上车的结果有种，
甲和乙从同一节车厢上车的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲和乙从同一节车厢上车的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：为的直径，
，
为的中点，
，
，
；
是的切线，
，
，，
四边形为矩形，
，
在中，，，，
则，
，
，
． 

【解析】根据圆周角定理得到，，进而求出，根据余弦的定义求出；
根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可．
本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：若每件降价元，单件商品的利润为元，每星期的销售量为件，
故答案为：，；
根据题意得：

；


；
当时，有最大值，最大值为：．
此时售价为：元．
答：每件售价为元时利润最大，最大利润为元．
每件降价元，单件商品的利润为元，每星期的销售量为元；
每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式；
根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
 

23.【答案】解：过点作轴于，如图所示：
点，点，
，，
以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
，，，
在中，，，
，
点的坐标为；
过点作轴于，于，如图所示：
则，，
，，
，
，
，
，，
点的坐标为；
连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为． 

【解析】过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标；
过点作轴于，于，则，，由勾股定理得出，由面积法求出，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标；
连接，作轴于，由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明≌，得出，即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：将、代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
存在，
如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，直线与抛物线对称轴的交点为，此时的周长最小，最小值为，

设直线的解析式为：，
由可知，
将点、代入得：，
解得，
直线解析式为：，
把代入得，
，
、，，
，，
的周长的最小值为；
设点的坐标是，
将代入得，，
，
当时，取得最大值，
点的坐标是 

【解析】由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
首先求出直线的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
根据题意可以设出点的坐标，可以表示出的面积，从而可以求得的面积的最大值，进而求得点的坐标．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的最值、用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．