高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1 B.x2＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
如果方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A.(3，＋∞)
B.(﹣∞，﹣2)
C.(3，＋∞)∪(﹣∞，﹣2)
D.(3，＋∞)∪(﹣6，﹣2)
椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于( )
A.eq \f(1,2) B.2 C.4 D.eq \f(1,4)
“2＜m＜6”是“方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是( )
A.(±3,0) B.(±eq \f(1,3)，0) C.(±eq \f(3,20)，0) D. (0，±eq \f(3,20))
已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A.2eq \r(3) B.6 C.4eq \r(3) D.12
已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )
A.(±1,0) B.(0，±1) C.(±eq \r(7)，0) D. (0，±eq \r(7))
方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A.k＞4 B.k＝4 C.k＜4 D.0＜k＜4
“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\r(2))＝1 B.eq \f(x2,2)＋y2＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)＝1
以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.2eq \r(2)
设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A.5 B.4 C.3 D. 1
二、填空题
已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为________.
已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m)＝1(m＞0)并且焦距为6，则实数m的值为__________.
若椭圆的方程为eq \f(x2,10－a)＋eq \f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________.
三、解答题
已知椭圆eq \f(8x2,81)＋eq \f(y2,36)＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1共焦点的椭圆的方程.
求经过点A(eq \r(3)，﹣2)和点B(﹣2eq \r(3)，1)的椭圆的标准方程.
在直线l：x﹣y＋9＝0上取一点P，过点P以椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为焦点作椭圆.
(1)P点在何处时，所求椭圆长轴最短；
(2)求长轴最短时的椭圆方程.
求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).
(2)离心率e＝eq \f(3,5)，焦距为12.
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)离心率为eq \f(5,13)，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的离心率且经过点(2，﹣eq \r(3))；
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.
\s 0 答案解析
答案为：B；
解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，
故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，则c＝eq \r(5).
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)＝1.
答案为：D
解析：本题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆方程的特征.由于椭圆的焦点在x轴上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2>a＋6，,a＋6>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2a－3>0，,a>－6.))解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2，故选D.
答案为：D；
解析：由x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1及题意知，2eq \r(\f(1,m))＝2×2×1，m＝eq \f(1,4)，故选D.
答案为：B
解析：若eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2＜m＜6且m≠4.
故“2＜m＜6”是“eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的必要不充分条件.
答案为：D
解析：椭圆的标准方程为eq \f(x2,\f(1,25))＋eq \f(y2,\f(1,16))＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝eq \f(1,16)，b2＝eq \f(1,25)，
所以c2＝a2﹣b2＝eq \f(1,16)﹣eq \f(1,25)＝eq \f(9,400)，故c＝eq \f(3,20).所以所求焦点坐标为(0，±eq \f(3,20)).
答案为：C；
解析：依题意，记椭圆的另一个焦点为F，则△ABC的周长等于
|AB|＋|AC|＋|BC|＝|AB|＋|AC|＋|BF|＋|CF|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4eq \r(3)，故选C.
答案为：D
解析：本题考查椭圆的性质.由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7)，所以椭圆的焦点坐标是(0，±eq \r(7))，故选D.
答案为：D.
解析：椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1，焦点在x轴上，所以0＜k＜4.]
答案为：C
解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，
则有eq \f(1,m)＞0，eq \f(1,n)＞0，且eq \f(1,n)＞eq \f(1,m)，即m＞n＞0.反之，m＞n＞0时，方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆.故选C.
答案为：C；
由条件可知b＝c＝eq \r(2)，a＝2，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.故选C.
答案为：D
解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，eq \f(1,2)×2cb＝1
⇒bc＝1,2a＝2eq \r(b2＋c2)≥2eq \r(2bc)＝2eq \r(2)，当且仅当b＝c＝1时，等号成立.故选D.
答案为：B
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq \r(5)，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2eq \r(5))2可知，△F1PF2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×4×2＝4，故选B.
二、填空题
答案为：eq \f(y2,16)＋x2＝1
解析：本题考查椭圆的标准方程.由已知，2a＝8,2c＝2eq \r(15)，∴a＝4，c＝eq \r(15)，
∴b2＝a2﹣c2＝16﹣15＝1，∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
答案为：16或34.
解析：∵2c＝6，∴c＝3.
当焦点在x轴上时，a2＝25，∴m＝16.当焦点在y轴上时，b2＝25，∴m＝34.
答案为：4或8；
解析：对椭圆的焦点位置进行讨论.由椭圆的焦距为4得c＝2，
当2＜a＜6时，椭圆的焦点在x轴上，则10﹣a﹣(a﹣2)＝4，解得a＝4；
当6＜a＜10时，椭圆的焦点在y轴上，则a﹣2﹣(10﹣a)＝4，解得a＝8.故a＝4或a＝8.
答案为：2,120°
解析：∵a2＝9，b2＝2，∴c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(9－2)＝eq \r(7)，∴|F1F2|＝2eq \r(7).
又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2.由余弦定理得cs∠F1PF2＝eq \f(22＋42－2\r(7)2,2×2×4)＝﹣eq \f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°.
三、解答题
解：(1)把M的纵坐标代入eq \f(8x2,81)＋eq \f(y2,36)＝1
得eq \f(8x2,81)＋eq \f(4,36)＝1，即x2＝9.∴x＝±3，
即M的横坐标为3或﹣3.
(2)对于椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
焦点在x轴上且c2＝9﹣4＝5，
故设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－5)＝1.
把M点的坐标代入得eq \f(9,a2)＋eq \f(4,a2－5)＝1，解得a2＝15.
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
解法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0).
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝15，,b2＝5.))
所以所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0).
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝15.))
因为a＜b，所以方程无解.故所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))
所以所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1.
解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F1(﹣3,0)、F2(3,0).
设点F1(﹣3,0)关于直线l的对称点F′1的坐标为(x0，y0)，
当P在F2F′1与直线l的交点处时，椭圆长轴最短.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋3)＝－1，,\f(x0－3,2)－\f(y0,2)＋9＝0，))解之得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－9，,y0＝6，))∴F′1(﹣9,6).
则过F′1和F2的直线方程为eq \f(y－6,－6)＝eq \f(x＋9,3＋9)，
整理得x＋2y﹣3＝0
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3＝0，,x－y＋9＝0，))解之得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝4，))
即P点坐标为(﹣5,4)
(2)由(1)知2a＝|F′1F|＝eq \r(180)，
∴a2＝45.
∵c＝3，∴b2＝a2﹣c2＝36.
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1.
解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝5×2b，,\f(25,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝1.))
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝5×2b，,\f(0,a2)＋\f(25,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝25，,b＝5.))
故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,625)＋eq \f(x2,25)＝1
综上所述，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋y2＝1或eq \f(y2,625)＋eq \f(x2,25)＝1.
(2)由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，2c＝12，得a＝10，c＝6，
∴b2＝a2﹣c2＝64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1或eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1.
解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，﹣2)，(0,2).
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(32＋2＋22)＋eq \r(32＋2－22)＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,13)，所以c＝5，
所以b2＝a2﹣c2＝132﹣52＝144，
因为焦点可能在x轴上，也可能在y轴上
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,169)＋eq \f(y2,144)＝1或eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1.
解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t1或eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝t2(t1，t2＞0)，
因为椭圆过点(2，﹣eq \r(3))，
所以t1＝eq \f(22,4)＋eq \f(－\r(3)2,3)＝2，或t2＝eq \f(－\r(3)2,4)＋eq \f(22,3)＝eq \f(25,12).
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
(2)由于焦点的位置不确定，
所以设所求的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝5＋3，,2c2＝52－32，))解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.