湖南省长沙市实验教育集团2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)

长沙市实验教育集团2022年下学期期中考试九年级数学试卷

命题人：  审题人：

注意：本试卷共4页，25题，满分120分，时量：120分钟

一、单选题(每题3分，共30分)

1．下列是关于x的一元二次方程的是（    ）

A． B． C． D．

2．二次函数的一次项系数是（    ）

A．1 B．2 C． D．3

3．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为（ ）

A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3

4．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．3

5．设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1＋x2的值为（    ）

A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3

6．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（    ）

A． B． C． D．

7．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（    　）．

A．60°     B．90°        C．120°     D．150°

8．如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是（    ）

第8题图                                      第9题图

A．1 B．2 C．2.5 D．3

9．如图，，，是上的三点，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

10．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（    ）

A．1 B．3 C．1或3 D．0

二、填空题(每题3分，共18分)

11．二次函数图象的顶点坐标是_______________．

12．二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____．

第12题图                                      第13题图

13．如图，是的内接正三角形，若P是上一点，则__________°．

14．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________．

第14题图                                         第15题图

15．如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°

16．如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“实验抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“实验抛物线”，则n的值为_____．

三、解答题(第17题、18题、19题每题6分；第20题、21题每题8分；第22题、23题每题9分；第24题、25题每题10分；共72分)

17．解方程：

(1)；                         (2)．

18．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，5)，B(1，1)，C(4，3)．

（1）画出ABC关于原点O成中心对称的图形A1B1C1．

（2）求A1B1C1的面积．

19．已知a是方程x2－2x－1＝0的一个根，求代数式(a－2)2＋(a＋1)(a－1)的值．

20．已知关于x的一元二次方程x2－（m＋3）x＋m＋2＝0

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．

21．为打造“文化实验，书香校园”，长沙市实验中学积极开展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享，校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，5月份人数比4月份增加10%，6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人.

(1)求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数；

(2)列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率.

22．如图，四边形内接于⊙，，．

(1)求点到的距离；

(2)求的度数．

23．某超市购进一批水果，成本为8元/，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价（元/）与时间第天之间满足函数关系式（，为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量与时间第天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．

(1)求与的函数解析式；

(2)在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？

24．【概念认知】：

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(，)和B(，)，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝＋．

【数学理解】：

（1）①已知点A(﹣2，1)，则d(O，A)＝           ；(其中O为坐标原点）

②函数(0≤x≤2)的图像如图①所示，B是图像上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是      ．

    (其中O为坐标原点）

（2）函数(x＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C，使d(O，C)＝3．

    (其中O为坐标原点）

（3）函数(x≥0)的图像如图③所示，D是图像上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标．(其中O为坐标原点）

25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4ax+3（a≠0）．

（1）抛物线的对称轴为x＝　   　；

（2）当a＞0时，若在抛物线上有两点（﹣4，y1），（m，y2），    且y2＞y1，则m的取值范围是 　   　；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向左平移2个单位得到点B，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．

长沙市实验教育集团2022年下学期期中考试九年级数学试卷参考答案：

1．B    2．C    3．B    4．C    5．C    6．B     7．D    8．B    9．B   10．B

11．（1，﹣2）       12．－1＜x＜3．     13．

14．            15．62               16．-3或6

17．(1)，             (2)，

18．（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）＝3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5．

19．∵是方程的一个根，

∴．

∴．

∴

．

20．解：（1）∵，

∴方程总有两个实数根；

（2）∵，

∴，.

∵方程两个根的绝对值相等，

∴.

∴或-1.

21．解：（1）由题意，得

5月份借阅了名著类书籍的人数是：1000×（1+10%）=1100（人），

则6月份借阅了名著类书籍的人数为：1100+340=1440（人）；

（2）设平均增长率为x．

 1000（1+x）2=1440，

解得：x=0.2.

答：从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率为20%．

22．(1)作于，

∵，

∴，

∵，

∴；

(2)连接，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

23．（1）解：设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx＋b，

根据题意，得：，

解得，

∴y＝−x＋35（1≤x≤10，x为整数）；

（2）

解：设销售这种水果的日利润为w元，

则w＝

＝

＝，

∵1≤x≤10，x为整数，

∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，

答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．

24．解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0＋2|＋|0−1|＝2＋1＝3；

②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0−x|＋|0−y|＝3，

∵0≤x≤2，

∴x＋y＝3，

∴，

解得： x＝1，y＝2，

∴B（1，2），

（2）假设函数的图像上存在点，使.

根据题意，得.

因为，所以.

所以.

方程两边乘，得.

整理，得.

因为，

所以方程无实数根.

所以函数的图像上不存在点，使.

（3）设.

根据题意，得.

因为，又，

所以.

所以当时，有最小值3，此时点的坐标是.

25．解：（1）抛物线的对称轴直线为x＝﹣＝﹣2，

故答案为：﹣2；

（2）由（1）得：抛物线的对称轴直线为x＝﹣2，

∴点（﹣4，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1），

∵a＞0，

∴抛物线的开口向上，

又∵y2＞y1，

∴m的取值范围是m＞0或m＜﹣4；

故答案为：m＞0或m＜﹣4；

（3）∵抛物线y＝ax2+4ax+3（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，且对称轴与x轴交于点M，

∴点M的坐标为（﹣2，0），

∵点M与点A关于y轴对称，

∴点A的坐标为（2，0），

∵点M向左平移2个单位得到点B，

∴点B的坐标为（﹣4，0），

∵y＝ax 2+4ax+3＝a(x2+4x)+3，

∴令x＝0，则x2+4x＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣4，

∴无论a取何值，该二次函数的图象总会经过两个定点，定点坐标分别为（0，3），（﹣4，3），

①当a＞0时，只有顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，

把点M（﹣2，0）代入y＝ax2+4ax+3，可得a＝；

②当a＜0时，根据所画图象可知抛物线与线段AB恰有一个交点时，x＝2对应的y≤0，

把x＝2代入，得：4a+8a+3≤0，

解得：a≤﹣．

综上所述：若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围为a＝或a≤﹣．