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湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
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这是一份湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年八年级上学期
期中考试数学试卷
一、选择题（下列选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角
D．四边形的稳定性
3．（3分）如果△ABC≌△EFD，∠B＝50°，则∠F的度数是（ ）
A．95° B．55° C．50° D．35°
4．（3分）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
6．（3分）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
7．（3分）下列条件中不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和直角边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等
D．一条边和一个角对应相等
8．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ ）
A．50° B．45° C．30° D．20°
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成 个不同的三角形．
12．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 ．
13．（3分）若等腰三角形的顶角为100°，则它的一个底角的度数为 ．
14．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝ ．
16．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为 ．
三、解答题（本题共8个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．（6分）已知：如图，BC∥EF，AB＝DE，BC＝EF，证明△ABC≌△DEF．
18．（6分）请结合图形阅读作法，并将证明“PQ⊥l”的过程补充完整．
已知直线l和l外一点P，下面是小明设计的“过点P作直线的垂线”的作法：
作法：①在直线l上取点A，B；
②分别以点A、B为圆心，AP、BP为半径作弧，两弧在直线l下方交于点Q；
③作直线PQ．
结论：PQ⊥l，且PQ经过点P．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
由作法可知，
∵AP＝ ，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上；
∵BP＝ ，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上；（依据： ）
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据：两点确定一条直线）
∴PQ⊥l．
19．（6分）已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
20．（8分）已知：如图，已知△ABC，△ABC的顶点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）均在正方形网格的格点上．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，
求①∠BAE的度数；
②∠DAE的度数；
（2）探究：如果只知道∠B＝∠C+42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
22．（9分）如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．
（1）若AE＝5，求BF的长；
（2）若∠AEC＝90°，AC＝DB，求证：∠ACE＝∠BDF．
23．（9分）如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：CA平分∠BCD；
（3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满
足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD．
（1）求A点的坐标和∠OAB的度数；
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若点C在第一象限，点C的坐标为（2，1.5），连接CD，AC与OD交于点F．求D点的坐标．
25．（10分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．
（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；
（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．
①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；
②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．
湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年八年级上学期
期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角
D．四边形的稳定性
【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．
【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．（3分）如果△ABC≌△EFD，∠B＝50°，则∠F的度数是（ ）
A．95° B．55° C．50° D．35°
【分析】直接根据全等三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC≌△EFD，
∴∠F＝∠B＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
4．（3分）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、AD是△ABC边BC上的高，不符合题意；
B、AD是△ADC边AC上的高，不符合题意；
C、BD是△DBC边BC上的高，不符合题意；
D、BD是△ABC边AC上的高，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
5．（3分）只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选：C．
【点评】考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
6．（3分）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．
【解答】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
7．（3分）下列条件中不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和直角边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等
D．一条边和一个角对应相等
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【解答】解：A、两条直角边对应相等，可利用SAS判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、斜边和直角边对应相等，可利用HL判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、一条边和一锐角对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、一条边和一个角对应相等不能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL，此题难度不大，是一道基础题．
8．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．
【解答】解：如图，
∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝45°，
则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ ）
A．50° B．45° C．30° D．20°
【分析】从已知条件进行思考，由∠BAC＝100°得∠B+∠C＝80°，根据垂直平分线的性质，得∠BAD+∠EAC＝80°于是答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线性质，可得AD＝BD，AE＝CE．
故∠EAC＝∠ECA，∠ABD＝∠BAD．
因为∠BAC＝100°，∠ABD+∠ACE＝180°﹣100°＝80°，
所以∠DAE＝100°﹣∠BAD﹣∠EAC＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线垂直且平分其所在线段），难度一般．求得∠BAD+∠EAC＝80°是正确解答本题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
故①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，
故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB•OM+×AC•OH+×BC•OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，
故③正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成 2 个不同的三角形．
【分析】根据三角形三边的关系得到能组成三角形的个数．
【解答】解：∵从长度分别为2，5，6，8的四条线段中任取三条，
能组成三角形的有：2、5、6；5、6、8；
故答案为2．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
12．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 1 ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3、1﹣n＝2，
解得：m＝2、n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
13．（3分）若等腰三角形的顶角为100°，则它的一个底角的度数为 40° ．
【分析】已知给出了顶角为100°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
【解答】解：因为其顶角为100°，则它的一个底角的度数为（180﹣100）＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
14．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是 4 ．
【分析】根据题意和△ABC的面积是16，可以得到△ABE的面积，本题得以解决．
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，
∴△ABD的面积等于△ADC的面积，△ABE的面积等于△BDE的面积，
∵△ABC的面积是16，
∴△ABD的面积和△ADC的面积都是8，
∴△ABE的面积和△BDE的面积都是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝ 45° ．
【分析】根据三角形全等的判定方法，先证△ADC≌△BDF，可得BD＝AD，进而得出∠ABC＝∠BAD＝45°．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，（对顶角相等）
∴∠EAF＝∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD＝AD，
又∵AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，寻求所需的条件．
16．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为 26cm ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，根据△ABD的周长为16cm求出AB+BC＝16cm，求出AC的长，再求出△ABC的周长即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∵AE＝5cm，
∴AC＝2AE＝10cm，
∵，△ABD的周长为16cm，
∴AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AD+BC＝16cm，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝16+10＝26（cm），
故答案为：26cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
三、解答题（本题共8个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．（6分）已知：如图，BC∥EF，AB＝DE，BC＝EF，证明△ABC≌△DEF．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ABC＝∠E，然后根据“SAS”判断△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
18．（6分）请结合图形阅读作法，并将证明“PQ⊥l”的过程补充完整．
已知直线l和l外一点P，下面是小明设计的“过点P作直线的垂线”的作法：
作法：①在直线l上取点A，B；
②分别以点A、B为圆心，AP、BP为半径作弧，两弧在直线l下方交于点Q；
③作直线PQ．
结论：PQ⊥l，且PQ经过点P．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
由作法可知，
∵AP＝ AQ ，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上；
∵BP＝ BQ ，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上；（依据： 与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据：两点确定一条直线）
∴PQ⊥l．
【分析】根据作图过程和线段垂直平分线的性质即可完成证明．
【解答】证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
由作法可知，
∵AP＝AQ，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上；
∵BP＝BQ，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上；（依据：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据：两点确定一条直线），
∴PQ⊥l．
故答案为：AQ，BQ，与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，直线的性质：两点确定一条直线，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
19．（6分）已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【分析】（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，利用一个内角与相邻外角互补得到180°﹣x°＝3x°+20°，解得x°＝40°，再由180°﹣x°即可计算；
（2）根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，
根据题意得180﹣x＝3x+20，解得x＝40，
180°﹣x°＝140°，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
（2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°，
所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9，
所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握多边形内角和公式与外角和定理：内角和公式：（n﹣2）•180° （n≥3，且n为整数）；外角和定理：多边形的外角和等于360度．
20．（8分）已知：如图，已知△ABC，△ABC的顶点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）均在正方形网格的格点上．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据题意写出出A1，B1，C1的坐标即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）A1的坐标为（0，2），B1的坐标为（2，4），C1的坐标为（4，1）；
（3）△ABC的面积＝3×4﹣×2×2﹣×2×3﹣×1×4＝5．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，
求①∠BAE的度数；
②∠DAE的度数；
（2）探究：如果只知道∠B＝∠C+42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【分析】（1）①先根据三角形内角和定理计算出∠BAC＝78°，然后根据角平分线定义得到∠BAE＝∠BAC＝39°；
②根据垂直定义得到∠ADB＝90°，则利用互余可计算出∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可；
（2）由∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝∠C+42°可消去∠C得到∠BAC＝222°﹣2∠B，则根据角平分线定义得到∠BAE＝111°﹣∠B，接着在△ABD中利用互余得∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可得到∠DAE＝21°．
【解答】解：（1）①∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣30°＝78°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝39°；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝39°﹣18°＝21°；
（2）能．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝∠C+42°，
∴∠C＝∠B﹣42°，
∴2∠B+∠BAC＝222°，
∴∠BAC＝222°﹣2∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝111°﹣∠B，
在△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（111°﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝21°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．
22．（9分）如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．
（1）若AE＝5，求BF的长；
（2）若∠AEC＝90°，AC＝DB，求证：∠ACE＝∠BDF．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EAM＝∠FBM，∠E＝∠BFM，即可利用AAS证明△AEM≌△BFM，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质得出∠BFM＝90°，再根据平角的定义得到∠BFD＝90°，进而得出∠AEC＝∠BFD＝90°，即可利用HL证明Rt△ACE≌Rt△BDF，根据全等三角形的性质得出∠ACE＝∠BDF．
【解答】（1）解：∵BF∥AE，
∴∠EAM＝∠FBM，∠E＝∠BFM，
在△AEM和△BFM中，
，
∴△AEM≌△BFM（AAS），
∴AE＝BF，
∵AE＝5，
∴BF＝5；
（2）证明：∵BF∥AE，
∴∠AEC＝∠BFM，
∵∠AEC＝90°，
∴∠BFM＝90°，
由（1）知AE＝BF，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠ACE＝∠BDF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．（9分）如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：CA平分∠BCD；
（3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
【分析】（1）根据三角形的判定定理ASA即可证得．
（2）通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可证得．
（3）过点A作AM⊥CE，垂足为M，根据角的平分线的性质求得AF＝AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而证得EC＝2AF．
【解答】（1）证明：如图①，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
（2）证明：如图①，∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；
（3）证明：如图②，过点A作AM⊥CE，垂足为M，
∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，
∴AF＝AM，
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，
∴CM＝AM＝ME，
又∵AF＝AM，
∴EC＝2AF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满
足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD．
（1）求A点的坐标和∠OAB的度数；
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若点C在第一象限，点C的坐标为（2，1.5），连接CD，AC与OD交于点F．求D点的坐标．
【分析】（1）利用非负数的性质可得a＝b＝﹣3，再求解即可；
（2）设AC与y轴的交点为G，BD与x轴的交点为H，证明△AOC≌△BOD（SAS），可得OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，再求∠DOC＝90°，可得OC⊥OD；
（3）由（2）可知OC＝OD，OC⊥OD，过点D作DK⊥x轴交于K，证明△DOK≌△OCL（AAS），可得结论．
【解答】解：（1）∵|a﹣b|+＝0，
∴a＝b＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°；
（2）结论：OC＝OD，OC⊥OD．
理由：如图1中，设AC与y轴的交点为G，BD与x轴的交点为H，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°．
∴∠OBE+∠EGB＝90°，
∵∠OGA+∠OAG＝90°，∠OGA＝∠OGE，
∴∠OAG＝∠OBE，
∵AO＝BO，BD＝AC，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，
∴90°+∠BOC＝90°+∠DOH，
∴∠BOC＝∠DOH，
∵∠BOC+∠COH＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴OC⊥OD；
（3）由（2）可知OC＝OD，OC⊥OD，
如图2中，过点D作DK⊥x轴交于K，
∵∠DOK+∠COL＝90°，∠DOK+∠KDO＝90°，
∴∠KDO＝∠COL，
∵OC＝OD，
∴△DOK≌△OCL（AAS），
∴DK＝OL，OK＝CL，
∵点C的坐标为（2，1.5），
∴OK＝CL＝1.5，DK＝OL＝2，
∴D（﹣1.5，2）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．（10分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．
（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；
（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．
①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；
②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC＝∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）①分点F沿C→B路径运动和点F沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
②分点F沿F→C路径运动，点F沿C→B路径运动，点F沿B→C路径运动，点F沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
【解答】解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：
∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ACD和△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，
则CM＝8﹣t，
由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，
∴CN＝6﹣3t，
点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，
当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，
解得，t＝，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，
解得，t＝，
综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；
②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，
∴∠NCE＝∠CMD，
∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，
解得，t＝﹣（不合题意），
当点N沿C→B路径运动时，9﹣t＝3t﹣6，
解得，t＝，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，
解得，t＝，
当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，
解得，t＝，
综上所述，当t＝秒或秒或秒时，△MDC与△CEN全等．
【点评】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年八年级上学期
期中考试数学试卷
一、选择题（下列选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角
D．四边形的稳定性
3．（3分）如果△ABC≌△EFD，∠B＝50°，则∠F的度数是（ ）
A．95° B．55° C．50° D．35°
4．（3分）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
6．（3分）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
7．（3分）下列条件中不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和直角边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等
D．一条边和一个角对应相等
8．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ ）
A．50° B．45° C．30° D．20°
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成 个不同的三角形．
12．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 ．
13．（3分）若等腰三角形的顶角为100°，则它的一个底角的度数为 ．
14．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝ ．
16．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为 ．
三、解答题（本题共8个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．（6分）已知：如图，BC∥EF，AB＝DE，BC＝EF，证明△ABC≌△DEF．
18．（6分）请结合图形阅读作法，并将证明“PQ⊥l”的过程补充完整．
已知直线l和l外一点P，下面是小明设计的“过点P作直线的垂线”的作法：
作法：①在直线l上取点A，B；
②分别以点A、B为圆心，AP、BP为半径作弧，两弧在直线l下方交于点Q；
③作直线PQ．
结论：PQ⊥l，且PQ经过点P．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
由作法可知，
∵AP＝ ，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上；
∵BP＝ ，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上；（依据： ）
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据：两点确定一条直线）
∴PQ⊥l．
19．（6分）已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
20．（8分）已知：如图，已知△ABC，△ABC的顶点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）均在正方形网格的格点上．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，
求①∠BAE的度数；
②∠DAE的度数；
（2）探究：如果只知道∠B＝∠C+42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
22．（9分）如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．
（1）若AE＝5，求BF的长；
（2）若∠AEC＝90°，AC＝DB，求证：∠ACE＝∠BDF．
23．（9分）如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：CA平分∠BCD；
（3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满
足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD．
（1）求A点的坐标和∠OAB的度数；
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若点C在第一象限，点C的坐标为（2，1.5），连接CD，AC与OD交于点F．求D点的坐标．
25．（10分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．
（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；
（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．
①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；
②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．
湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年八年级上学期
期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角
D．四边形的稳定性
【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．
【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．（3分）如果△ABC≌△EFD，∠B＝50°，则∠F的度数是（ ）
A．95° B．55° C．50° D．35°
【分析】直接根据全等三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC≌△EFD，
∴∠F＝∠B＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
4．（3分）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、AD是△ABC边BC上的高，不符合题意；
B、AD是△ADC边AC上的高，不符合题意；
C、BD是△DBC边BC上的高，不符合题意；
D、BD是△ABC边AC上的高，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
5．（3分）只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选：C．
【点评】考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
6．（3分）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．
【解答】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
7．（3分）下列条件中不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和直角边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等
D．一条边和一个角对应相等
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【解答】解：A、两条直角边对应相等，可利用SAS判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、斜边和直角边对应相等，可利用HL判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、一条边和一锐角对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、一条边和一个角对应相等不能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL，此题难度不大，是一道基础题．
8．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．
【解答】解：如图，
∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝45°，
则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ ）
A．50° B．45° C．30° D．20°
【分析】从已知条件进行思考，由∠BAC＝100°得∠B+∠C＝80°，根据垂直平分线的性质，得∠BAD+∠EAC＝80°于是答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线性质，可得AD＝BD，AE＝CE．
故∠EAC＝∠ECA，∠ABD＝∠BAD．
因为∠BAC＝100°，∠ABD+∠ACE＝180°﹣100°＝80°，
所以∠DAE＝100°﹣∠BAD﹣∠EAC＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线垂直且平分其所在线段），难度一般．求得∠BAD+∠EAC＝80°是正确解答本题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
故①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，
故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB•OM+×AC•OH+×BC•OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，
故③正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成 2 个不同的三角形．
【分析】根据三角形三边的关系得到能组成三角形的个数．
【解答】解：∵从长度分别为2，5，6，8的四条线段中任取三条，
能组成三角形的有：2、5、6；5、6、8；
故答案为2．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
12．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是 1 ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3、1﹣n＝2，
解得：m＝2、n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
13．（3分）若等腰三角形的顶角为100°，则它的一个底角的度数为 40° ．
【分析】已知给出了顶角为100°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
【解答】解：因为其顶角为100°，则它的一个底角的度数为（180﹣100）＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
14．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是 4 ．
【分析】根据题意和△ABC的面积是16，可以得到△ABE的面积，本题得以解决．
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，
∴△ABD的面积等于△ADC的面积，△ABE的面积等于△BDE的面积，
∵△ABC的面积是16，
∴△ABD的面积和△ADC的面积都是8，
∴△ABE的面积和△BDE的面积都是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝ 45° ．
【分析】根据三角形全等的判定方法，先证△ADC≌△BDF，可得BD＝AD，进而得出∠ABC＝∠BAD＝45°．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，（对顶角相等）
∴∠EAF＝∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD＝AD，
又∵AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，寻求所需的条件．
16．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为 26cm ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，根据△ABD的周长为16cm求出AB+BC＝16cm，求出AC的长，再求出△ABC的周长即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∵AE＝5cm，
∴AC＝2AE＝10cm，
∵，△ABD的周长为16cm，
∴AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AD+BC＝16cm，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝16+10＝26（cm），
故答案为：26cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
三、解答题（本题共8个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．（6分）已知：如图，BC∥EF，AB＝DE，BC＝EF，证明△ABC≌△DEF．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ABC＝∠E，然后根据“SAS”判断△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
18．（6分）请结合图形阅读作法，并将证明“PQ⊥l”的过程补充完整．
已知直线l和l外一点P，下面是小明设计的“过点P作直线的垂线”的作法：
作法：①在直线l上取点A，B；
②分别以点A、B为圆心，AP、BP为半径作弧，两弧在直线l下方交于点Q；
③作直线PQ．
结论：PQ⊥l，且PQ经过点P．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
由作法可知，
∵AP＝ AQ ，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上；
∵BP＝ BQ ，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上；（依据： 与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据：两点确定一条直线）
∴PQ⊥l．
【分析】根据作图过程和线段垂直平分线的性质即可完成证明．
【解答】证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
由作法可知，
∵AP＝AQ，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上；
∵BP＝BQ，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上；（依据：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据：两点确定一条直线），
∴PQ⊥l．
故答案为：AQ，BQ，与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，直线的性质：两点确定一条直线，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
19．（6分）已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【分析】（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，利用一个内角与相邻外角互补得到180°﹣x°＝3x°+20°，解得x°＝40°，再由180°﹣x°即可计算；
（2）根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，
根据题意得180﹣x＝3x+20，解得x＝40，
180°﹣x°＝140°，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
（2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°，
所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9，
所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握多边形内角和公式与外角和定理：内角和公式：（n﹣2）•180° （n≥3，且n为整数）；外角和定理：多边形的外角和等于360度．
20．（8分）已知：如图，已知△ABC，△ABC的顶点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）均在正方形网格的格点上．
（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据题意写出出A1，B1，C1的坐标即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）A1的坐标为（0，2），B1的坐标为（2，4），C1的坐标为（4，1）；
（3）△ABC的面积＝3×4﹣×2×2﹣×2×3﹣×1×4＝5．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，
求①∠BAE的度数；
②∠DAE的度数；
（2）探究：如果只知道∠B＝∠C+42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【分析】（1）①先根据三角形内角和定理计算出∠BAC＝78°，然后根据角平分线定义得到∠BAE＝∠BAC＝39°；
②根据垂直定义得到∠ADB＝90°，则利用互余可计算出∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可；
（2）由∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝∠C+42°可消去∠C得到∠BAC＝222°﹣2∠B，则根据角平分线定义得到∠BAE＝111°﹣∠B，接着在△ABD中利用互余得∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可得到∠DAE＝21°．
【解答】解：（1）①∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣30°＝78°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝39°；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝18°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝39°﹣18°＝21°；
（2）能．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝∠C+42°，
∴∠C＝∠B﹣42°，
∴2∠B+∠BAC＝222°，
∴∠BAC＝222°﹣2∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝111°﹣∠B，
在△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（111°﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝21°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．
22．（9分）如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．
（1）若AE＝5，求BF的长；
（2）若∠AEC＝90°，AC＝DB，求证：∠ACE＝∠BDF．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EAM＝∠FBM，∠E＝∠BFM，即可利用AAS证明△AEM≌△BFM，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质得出∠BFM＝90°，再根据平角的定义得到∠BFD＝90°，进而得出∠AEC＝∠BFD＝90°，即可利用HL证明Rt△ACE≌Rt△BDF，根据全等三角形的性质得出∠ACE＝∠BDF．
【解答】（1）解：∵BF∥AE，
∴∠EAM＝∠FBM，∠E＝∠BFM，
在△AEM和△BFM中，
，
∴△AEM≌△BFM（AAS），
∴AE＝BF，
∵AE＝5，
∴BF＝5；
（2）证明：∵BF∥AE，
∴∠AEC＝∠BFM，
∵∠AEC＝90°，
∴∠BFM＝90°，
由（1）知AE＝BF，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠ACE＝∠BDF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．（9分）如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：CA平分∠BCD；
（3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
【分析】（1）根据三角形的判定定理ASA即可证得．
（2）通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可证得．
（3）过点A作AM⊥CE，垂足为M，根据角的平分线的性质求得AF＝AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而证得EC＝2AF．
【解答】（1）证明：如图①，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
（2）证明：如图①，∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；
（3）证明：如图②，过点A作AM⊥CE，垂足为M，
∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，
∴AF＝AM，
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，
∴CM＝AM＝ME，
又∵AF＝AM，
∴EC＝2AF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满
足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD．
（1）求A点的坐标和∠OAB的度数；
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若点C在第一象限，点C的坐标为（2，1.5），连接CD，AC与OD交于点F．求D点的坐标．
【分析】（1）利用非负数的性质可得a＝b＝﹣3，再求解即可；
（2）设AC与y轴的交点为G，BD与x轴的交点为H，证明△AOC≌△BOD（SAS），可得OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，再求∠DOC＝90°，可得OC⊥OD；
（3）由（2）可知OC＝OD，OC⊥OD，过点D作DK⊥x轴交于K，证明△DOK≌△OCL（AAS），可得结论．
【解答】解：（1）∵|a﹣b|+＝0，
∴a＝b＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°；
（2）结论：OC＝OD，OC⊥OD．
理由：如图1中，设AC与y轴的交点为G，BD与x轴的交点为H，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°．
∴∠OBE+∠EGB＝90°，
∵∠OGA+∠OAG＝90°，∠OGA＝∠OGE，
∴∠OAG＝∠OBE，
∵AO＝BO，BD＝AC，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，
∴90°+∠BOC＝90°+∠DOH，
∴∠BOC＝∠DOH，
∵∠BOC+∠COH＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴OC⊥OD；
（3）由（2）可知OC＝OD，OC⊥OD，
如图2中，过点D作DK⊥x轴交于K，
∵∠DOK+∠COL＝90°，∠DOK+∠KDO＝90°，
∴∠KDO＝∠COL，
∵OC＝OD，
∴△DOK≌△OCL（AAS），
∴DK＝OL，OK＝CL，
∵点C的坐标为（2，1.5），
∴OK＝CL＝1.5，DK＝OL＝2，
∴D（﹣1.5，2）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．（10分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．
（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；
（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．
①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；
②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC＝∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）①分点F沿C→B路径运动和点F沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
②分点F沿F→C路径运动，点F沿C→B路径运动，点F沿B→C路径运动，点F沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
【解答】解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：
∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ACD和△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，
则CM＝8﹣t，
由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，
∴CN＝6﹣3t，
点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，
当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，
解得，t＝，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，
解得，t＝，
综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；
②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，
∴∠NCE＝∠CMD，
∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，
解得，t＝﹣（不合题意），
当点N沿C→B路径运动时，9﹣t＝3t﹣6，
解得，t＝，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，
解得，t＝，
当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，
解得，t＝，
综上所述，当t＝秒或秒或秒时，△MDC与△CEN全等．
【点评】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
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