2021-2022学年上海市松江区领科双语学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年上海市松江区领科双语学校九年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 一次函数的图象不经过的象限是

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 对于等边三角形，下列说法正确的为

A. 既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，但不是轴对称图形
D. 既不是中心对称图形，又不是轴对称图形

5. 某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在天中每天所出的次品数如下单位：个：，，，，，，，那么该班组在天中出的次品数的中位数与方差分别是

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

6. 对于命题：如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离．
   下列判断正确的是

A. 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题
C. 、都是真命题 D. 、都是假命题

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7. 化简：______．
8. 计算： ______ ．
9. 函数的定义域为______ ．
10. 如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值随的增大而______ ．
11. 方程组的解为______ ．
12. 从，，这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被整除的概率是______ ．
13. 某商店共有件某型号衬衫，先以每件元的标价出售，在售出若干件后，剩余衬衫全部按标价的八折售完．图中折线反映了该型号衬衫的营业收入元与售出衬衫件之间的函数关系的特征，根据图象提供的信息，该型号衬衫按标价售出的件数为______件．

14. 如图，在中，点在边上，，，，设，，那么 ______ 用向量、的式子表示
     

15. 如果与相交，的半径是，，那么的半径的取值范围是______ ．
16. 如图，已知在梯形中，，，矩形的顶点、、分别在边、、上，如果，，那么的长为______ ．

17. 已知矩形纸片的边，如图，将它折叠后，点落在边的中点处，那么折痕的长为______ ．
     

18. 在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的倍为整数，那么我们称这个三角形为倍角三角形，如果一个三角形既是倍角三角形，又是倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知点在双曲线上
    求此双曲线的表达式与点的坐标；
    如果点在此双曲线上，图象经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知：如图，在中，，，垂足为，，，与、分别相交于点、．
    求：的长；
    的长．
    
    
     

22. 如图是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼和成轴对称，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼边缘，且与闸机侧立面夹角．
    求闸机通道宽度，即和之间的距离；
    经实践调查，：至：该公园入园游客较多，图为该公园：至：每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻，现已知所有统计数据的平均数为人．
    求出：：时段的入园游客人数；
    根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过人”或“在园内游客总数超过人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因．

23. 已知：如图，在梯形中，，，是的中点，的延长线交边于点．
    求证：四边形是平行四边形；
    如果，求证：四边形是菱形．

24. 在平面直角坐标系中，点的坐标为如图，经过点的抛物线与轴相交于点，顶点为点．
    求此抛物线表达式与顶点的坐标；
    求的正弦值；
    将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为，且与相似，求平移后的新抛物线的表达式．

25. 如图，已知半圆的直径，点在线段上，半圆与半圆相切于点，点在半圆上，，的延长线与半圆相交于点，与相交于点．
    求证：；
    设半圆的半径为，线段的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域；
    当点在半圆上时，求半圆的半径．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：关于的方程有实数根，
，
，
，
故选：．
由关于的方程有实数根知，求出的取值范围即可．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

3.【答案】
 

【解析】解：一次函数中，，，
此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：．
根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：等边三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形．
故选：．
直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
此题主要考查了轴对称图形以及中心对称图形的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、、、、，
所以这组数据的中位数为，平均数为，
则其方差为，
故选：．
将已知数据重新排列，再根据中位数和方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、平均数及方差的定义．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，原命题是假命题；
故选：．
根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

7.【答案】
 

【解析】解：
．
故答案为：．
要先判断出，再根据绝对值的定义即可求解．
此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．
 

8.【答案】
 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先把除法运算写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了利用分式的基本性质进行化简，对于分子或分母是多项式时，要先进行因式分解再约分．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据题意可得，，即．
故答案为：．
函数的定义域，需要使函数有意义，即分母不为，列出不等式，即可求出的取值范围．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，理解函数的自变量是使函数有意义的自变量的值是解题关键．
 

10.【答案】减小
 

【解析】解：正比例函数的图象经过第二、四象限，大致图象如图：

越大，越小，
故答案为：减小．
画出大致图象即可得到答案；
本题考查正比例函数的性质，解题的关键是画出大致图象．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
将代入．
．
．
．
故答案为：．
根据题意先对第一个式子因式分解，求出的值，即可求解了．
本题考查高次方程的解法，运用了因式分解的知识，关键在于运用因式分解进行降次．
 

12.【答案】
 

【解析】解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被整除的结果有个，
在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被整除的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有个等可能的结果，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被整除的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设按标价售出件，
由题意可得：，
解得，
即按标价售出件，
故答案为：．
根据题意和函数图象中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
根据，求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】
 

【解析】解：两圆相交，
圆心距的取值范围是，
即．
故答案为：．
根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则．
本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．
表示圆心距，，分别表示两圆的半径．
 

16.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
四边形是等腰梯形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
证明，解直角三角形求出，可得结论．
本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，
把矩形折叠，点与中点重合，点落在处，
垂直平分，
，
，
，
，，
∽，
．
在矩形中，，，为点，
，，，
，
，
在中，
．
先画出图形，构造相似三角形求出，再利用勾股定理求解．
本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】或或或
 

【解析】解：设最小内角度数为，倍角为，倍角为，
，
；
设最小内角度数为，倍角为，倍角为，
，
．
设最小内角度数为，倍角为，倍角为，
，
．
设最小内角度数为，其余两个角为和，
，
，
．
故答案为：或或或．
根据倍角三角形、倍角三角形的定义，这道题分两种情况去讨论解决．
本题考查了倍角三角形的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
 

19.【答案】解：




，
当时，原式．
 

【解析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】解：点在双曲线上，
，
解得：，
，
此双曲线的表达式为，
点的坐标为；
点在此双曲线上，
，
解得：或，
点的坐标为或，
由知，
设一次函数的解析式为，
当时，
一次函数的图象经过点、，
，
解得：，
一次函数的解析式为，
，
一次函数的函数值随的增大而减小，
故不合题意，舍去，
当时，
则，
解得：，
一次函数的解析式为，
，
一次函数的函数值随的增大而增大，
符合合题意，
此一次函数的解析式为．
 

【解析】把点代入求得，即可求出结果；
把点代入求得得到点的坐标，由待定系数法求出一次函数解析式，根据题意舍去不合题意的解析式即可得到此一次函数的解析式．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
点是的中点，
，
，
，
，，
，，
点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
由可知：，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
 

【解析】根据等腰三角形的性质可得点是的中点，证明，可得是的中位线，再根据条件证明是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结果；
由可得，，，所以，根据勾股定理可得，所以，再证明≌，可得，进而可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

22.【答案】解：过作于点，过作于点，

直角三角形中，，
同理，且，，
与间的距离为．
平均数为人，设：：人数为，
，
，
：：时段的入园游客人数为；
：：和：：需要限流，
：：限流原因：入园人数是，超过；
：：限流原因如下：
：：入园总人数为人超过人；
：：入园人数为：人，超过人；
：：时段入园游客超过人或在园内游客总数超过人．
 

【解析】过作于点，过作于点，根据三角函数即可得到答案；
平均数为人，设：：人数为，然后根据平均数概念列出方程求解即可．
此题考查的是条形统计图，掌握三角函数和平均数的概念是解决此题关键．
 

23.【答案】证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
证明：，
，
，
，
，
∽，
，
，
四边形是菱形．
 

【解析】根据证明≌得出，进而可得四边形是平行四边形；
根据，可得，所以，再证明∽，可得，进而可得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法，全等三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，菱形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
 

24.【答案】解：将代入得：
，解得，
抛物线表达式为，
，
顶点的坐标为；
设与轴交于，过作于，如图：

抛物线与轴交于，
设解析式为，
将，代入得：
，解得，
解析式为，
令得，
，
，
，，
，，，
，
，
，
；
抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为，设，则平移后的新抛物线的表达式为，
且，，，，，
若与相似，只需三边对应成比例，但对应边不能是，
故分三种情况：
若∽，如图：

，即，
解得：，
，
平移后的新抛物线的表达式，
若∽，
则，即，无解，
若∽，如图：

，即，
解得，
，
平移后的新抛物线的表达式；
综上所述，与相似，平移后的新抛物线的表达式为或．
 

【解析】将代入可得表达式，配方即得顶点坐标；
设与轴交于，过作于，求出、即可得出答案；
设坐标，用三边对应成比例列方程，求出的坐标即可得出答案．
本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，难度较大，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．
 

25.【答案】解：连接，如图：

，，
，
∽，
，
，
；
半圆的直径，
，
半圆的半径为，
，
，
，
，
中，，
，
，
，
又线段的长为，
，
变形得：，
范围是；
设半圆与交于，连接，过作于，如图：

设半圆的半径为，由知，
，
，
，
，
而，，
，
，
点在半圆上，
，
且，
∽，
，
，
，
，
，
而，
，
解得或大于，舍去，
半圆的半径为．
 

【解析】连接，证明∽相似即可得到答案；
用的代数式表示，再利用平行线分线段成比例即可得到答案；
半圆与交于，连接，过作于，利用的代数式表示和再列方程可得答案．
本题考查圆、相似三角形及勾股定理等综合知识，难度较大，解题的关键是利用相似三角形性质表达相关线段的长度再列方程．