2021-2022学年上海市浦东新区罗山中学九年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年上海市浦东新区罗山中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的平方根为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面的歌诀是我国明代数学家程大位所著的直指算法统宗中的一个问题，大意是：斤油要和斤的面，现在斤两钱的面中加了斤两的油，问还要再加多少面？如果设再加面两，那么可列的方程是注：旧制斤两，两钱(    )
   西江月
   白面秤来四斤，使油一斤相和．今来有面九斤多．六两五钱不错．
   已用香油和合，二斤十二无讹．再添多少面来和？不会应须问我．

A.  B.
C.  D.

3. 下列二次三项式中，可以在实数范围内因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，上海某有机草莓农场为了解今年草莓的收成情况，随机选择了一个大棚摘取草莓并逐一称重精确到，绘制出频率分布直方图每组数据含最低值，不含最高值如果质量不小于的草莓为“大果”，则可估计草莓中“大果”的总质量是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知一个正多边形的中心角为，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数全等的三角形为同一类是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如果的取值范围是，我们就将与的差叫做的变化区间长度．如图，在菱形中，对角线交于点，且，如果以为圆心，为半径的与菱形的各边有个公共点，那么的变化区间长度是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48分）

7. 写出一个倒数大于的有理数：______．
8. 不等式的解集为______ ．
9. 正方形有____________条对称轴．
10. 方程的解是______．
11. 直线在轴上的截距为，则的值是______．
12. 抛物线的顶点坐标是______．
13. 如图，已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为______结果保留
14. 名额分配综合评价是年上海市高中阶段学校的招生录取方式之一．市实验性示范性高中将对入围学生开展现场综合评价并赋分，为更好保证打分的公平，将以所有打分的截尾平均数作为考生的分数，即去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数．如果位高中老师的打分如表所示，那么这位学生的现场综合评价得分是______分．

15. 在不透明的袋子中装有北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”的纪念卡片张，每张卡片除吉祥物外其他完全相同，从中任意拿出一张，拿到“冰墩墩”纪念卡片的概率为，拿到“雪容融”纪念卡片的概率为，且，那么袋子中“冰墩墩”纪念卡片的张数是______．
16. 已知，，均是的半径，，如果，那么的值是______．
17. 如图，在正方形网格中，四边形的顶点均在格点上，对角线交于点，则的值是______．

18. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将沿翻折得到，点与点对应，再将绕点逆时针旋转得到，点，，分别与点，，对应．当边在第一象限内，且与轴垂直时，点的横坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数的图象与正比例函数的图象在第一象限内的交点，已知点的纵坐标为经过点且与正比例函数的图象垂直的直线交反比例函数的图象于点点与点不是同一点．
    求的值；
    求点的坐标．

22. 图是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形的上底表示主跨桥，两腰，表示桥两侧的斜梯，，两点在地面上，已知，设计桥高为，设计斜梯的坡度为：点左侧点处有一棵古树，有关部门划定了以为圆心，半径为的圆形保护区．
    求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；
    为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到：，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡作为轮椅坡道，坡道终点在左侧的新斜梯上，并在点处安装无障碍电梯，坡道起点在上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点距离地面的高度为，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．
    
    表：轮椅坡道的最大高度和水平长度

23. 已知：如图，在平行四边形中，、交于点，点在的延长线上，联结、，且．
    求证：；
    如果，求证：平行四边形是矩形．

24. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线，经过点和轴正半轴上的点，，．
    求这条抛物线的表达式；
    连接，求的大小；
    如果点在轴上，且与相似，求点的坐标．

25. 如图，半径为的与过点的相交，点是与的一个公共点，点是直线与的不同于点的另一交点，联结，，．
    当点在线段上时，
    求证：；
    如果点是线段的中点，求的面积；
    设点是与的不同于点的另一公共点，联结，如果，，请用含的代数式表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．
【解答】
解：因为或，
所以的平方根为．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：设再加面两，
根据题意得，
故选：．
设再加面两，根据“斤油要和斤的面”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
方程无实数根，
不可以在实数范围内因式分解，
故A不符合题意；
B、，
，
方程有实数根，
可以在实数范围内因式分解，
故B符合题意；
C、，
，
方程无实数根，
不可以在实数范围内因式分解，
故C不符合题意；
D、，
，
方程无实数根，
不可以在实数范围内因式分解，
故D不符合题意；
故选：．
令二次三项式等于，然后计算的值，即可判断．
本题考查了实数范围内分解因式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：估计草莓中“大果”的总质量是，
故选：．
用总质量乘以质量不小于的频率和即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于一个正多边形的中心角为，
所以这个正多边形的边数为，
如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形全等的三角形为同一类有，，共个，
故选：．
根据中心角的度数可求出圆内接正多边形的边数，再根据等腰三角形的定义和正八边形的性质进行判断即可．
本题考查正多边形与圆，等腰三角形的判定，掌握正多边形与圆的相关计算以及等腰三角形的判定是正确解答的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
．
过点作于点，如图，

，
，
．
菱形的中心到各边的距离都相等，
以点为圆心，为半径画圆，则该圆与各边都相切，
此时，以为圆心，为半径的与菱形的各边有个公共点；
当以点为圆心，为半径画圆，该圆与菱形的各边有个公共点，
综上如果以为圆心，为半径的与菱形的各边有个公共点，
则，
的变化区间长度是，
故选：．
利用题意求出变化的临界值，根据变化区间长度的定义即可求解．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，点和圆的位置关系，勾股定理，菱形的性质，求得变化的临界值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：写出一个倒数大于的有理数：．
故答案为：答案不唯一
根据倒数的含义和求法，可得：倒数大于的有理数的值一定比大而且比小，据此写出一个倒数大于的有理数即可．
此题主要考查了倒数的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：倒数大于的有理数的值一定比大而且比小．
 

8.【答案】 

【解析】解：不等式，
．
本题主要考查解一元一次不等式，先移项，再合并，最后系数化为，即可解得的解集．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查正方形的性质．根据正方形是轴对称图形的性质分析．
【解答】
解：根据正方形的性质得到，如图：

正方形的对称轴是两组对边中线所在直线和两组对角线所在直线，共有条．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】解：，
两边平方，得，
即，
解得：，，
经检验是原方程的解，不是原方程的解，
即方程的解是，
故答案为：．
方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把解无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线在轴上的截距为，
直线与轴的交点为，
，
解得，
故答案为：．
把点代入解析式即可求得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标是
故答案为：
直接利用配方法求出二次函数顶点式，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由知
．
知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．
本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数为：分，
即这位学生的现场综合评价得分是分，
故答案为：．
先去掉一个最高分和一个最低分，再根据平均数的计算公式进行计算即可．
本题考查了游戏公平性以及平均数的计算，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键．
 

15.【答案】张． 

【解析】解：根据题意得，，
解得，
则袋子中“冰墩墩”纪念卡片的张数是张．
故答案为：张．
根据题意由，可求，再根据概率公式即可求解．
本题考查了概率公式，本题关键是求出．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当点在劣弧上时，
过点作且，连接，如图．

，，均是的半径，
，
，，
点，，三点在同一条直线上，
，
设圆的半径为，
，，
，
．
当点在优弧上时，
过点作且，连接，如图．

同理可得，点，，三点在同一条直线上，
设圆的半径为，
则，，
，
，
．
故答案为：或．
分别讨论点在劣弧上或点在优弧上两种情况，再利用平面向量的定义即可得出答案．
本题考查圆的定义、平面向量的定义，熟练掌握圆的定义和平面向量的定义是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，则，，
，
，
由勾股定理得：，，，
则，，
过作于，

的面积，
的面积为，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
设小正方形的边长为，则，，根据平行线分线段成比例定理得出，由勾股定理求出、、，求出和，过作于，
根据三角形的面积得出，求出，根据勾股定理求出，再解直角三角形求出答案即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识点，能求出的长是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，延长交轴于点，连接交于点，连接，
轴，
，
，，
，，
由翻折得，，，
由旋转得，，，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，且，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
轴，
，
故答案为：．
延长交轴于点，连接交于点，连接，则，由翻折和旋转得，，，由勾股定理求得的长，由点与点关于直线对称，得垂直平分，由列方程求出的长，得到的长，再由，，求得的长和的长，得到点的坐标，再证明轴，进而求得点的横坐标即可．
此题重点考查轴对称的性质、旋转的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：




． 

【解析】先算零次幂、特殊角的三角函数值、分数指数幂，再进行分母有理化、去绝对值，再去括号计算进行加减即可．
本题主要考查实数的混合运算，能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确的计算是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
解得：或，
检验：当时，，
当时，，
是原方程的增根，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

21.【答案】解：点是反比例函数的图象与正比例函数的图象在第一象限内的交点，点的纵坐标为，
，
，
解得，
，
；
，
反比例函数为，正比例函数为，
把代入得，，
，
，
设直线的解析式为，
把的坐标代入得，解得，
解得或，
点的坐标为 

【解析】根据题意得到，解方程求得；
先求得的坐标，根据正比例函数的解析式设直线的解析式为，把的坐标代入解得，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线的解析式，本题属于中等题型．
 

22.【答案】解：如图，作直线，则过点，点，过点、分别作，，垂足为、，延长，延长，则射线过点，射线过点，由题意得，，，，
斜坡的坡度为：，即：，
，
又四边形是等腰梯形，
，
，
，
主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为，
答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为；
斜坡的坡度为：，即：，
，
，
，
，
点到点的最多距离，
，
轮椅坡道的设计不可行． 

【解析】根据斜坡的坡度以及天桥的高度可求出，由勾股定理求出，进而求出的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；
根据坡度的定义求出新方案斜坡的水平距离，进而求出点到点的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离．
 

23.【答案】解：证明：平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
，
，
∽，
；
∽，
，
在平行四边形中，，
，
，
又，
，
是等腰三角形，
，
，
即，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】由已知条件和平行四边形的性质易证∽，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：；
由可得，又因为，所以可证明，再由等腰三角形的性质可得，所以，进而可证明平行四边形是矩形．
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中小题证明是等腰三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：过点作轴于点，
，，
，
，，
点坐标为：，点坐标为：，
将两点代入得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
过点作于点，

，
点坐标为：，
，
，
；
当点在点左侧时，则，而，此时，故此种情况不存在；
当点在点右侧时，
，，
，
，
当∽，
，
，
，
解得：，
，
的坐标为：；
当∽，
，
，
解得：，
，
的坐标为：．
综上所述，与相似时，点的坐标为：或． 

【解析】根据，，求出点坐标，以及点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
根据中解析式求出点坐标，再利用锐角三角函数关系求出，进而得出答案；
分别根据当∽以及当∽时，利用相似三角形的性质求出点坐标即可．
此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：，，
∽，
，
，
点是线段的中点，
，
作于点，
设，则，

由勾股定理得，，
解得，
，
由勾股定理得，，
的面积为；
解：连接，，

，
，
，，
，
，，，
≌，
，
在中，，
． 

【解析】利用圆的半径相等可得，则；
首先利用∽，得，可得的长，作于点，设，则，利用勾股定理列方程求出的长，从而得出，即可求得面积；
连接，，利用圆心角与圆周角的关系得，，再利用说明≌，得，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．