2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（12）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（12），共22页。试卷主要包含了下列图形中不一定相似的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（12）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x+y＝1 B．x2+x＝1 C．x+＝1 D．x3+x2＝1
2．若⊙O的半径为5cm，平面上有一点A，OA＝6cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定
3．下列图形中不一定相似的是（　　）
A．两个矩形 B．两个圆 C．两个正方形 D．两个等边三角形
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
5．一元二次方程x2+2x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．如图，⊙O上A、B、C三点，若∠B＝50°，∠A＝20°，则∠AOB等于（　　）
A．30° B．50° C．70° D．60°

第4题 第6题 第7题
7．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝4m，CA＝1m，则树的高度为（　　）
A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m
8．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”，依题意，CD长为（　　）
A．13 B．8 C．26 D．4
9．下列说法正确的是（　　）
A．已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝﹣1
B．相似三角形的面积之比等于它们的相似比
C．三角形的内心是三角形三边中垂线的交点
D．方程x2+3x+4＝0有两个实数解
10．如图，在⊙O中，BC为直径，AC＝6，AB＝8，I为Rt△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D．连接OI，则OI的值为（　　）
A． B． C． D．

第8题 第10题 第15题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算：2cos60°+tan45°＝　 　．
12．已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C′＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为　 　．
13．已知圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为　 　．
14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于 　 　．
15．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是　 　．
16．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n＝6时，π≈＝＝3，那么当n＝12时，π≈＝　 　．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259）
17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于　 　．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则线段CF的最小值为　 　．

第16题 第17题 第18题
三、解答题（本大题共有7小题，共76分）
19．（8分）解下列方程：
（1）3x2+6x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2．


20．（6分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）若＝，且S△DBE＝2，求△ABC的面积．


21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为（4，3）．
（1）请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标　 　．
（2）⊙D的半径为　 　．
（3）连接AC，求线段AC和弧AC围成的图形的面积．


22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知CD⊥AB，BC＝1
（1）如果∠BCD＝30°，求AC；
（2）如果tan∠BCD＝，求CD．

23．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
（1）求证：BC2＝2CD•OE；
（2）若cosC＝，DE＝4，求AD的长．

24．（8分）苏州第27届天平山枫叶节于10月1日至12月13日举办，为了进行宣传，某商店欲购进A、B两种“枫叶”主题商品，若购进A种商品5件，B种商品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元．
（1）购进A、B两种商品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的A、B两种商品，在销售中发现，A种商品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件；B种商品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种商品每天总获利为10000元，A种商品每件降价多少元？




25．（10分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．
（1）如图2，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10．D是AC上一点（非中点），且D是△ABC的一个准外心，求CD的长．
（2）如图3，在（1）的条件下，∠ABC的平分线交AC于点D．求证：＝．
（3）在（2）的条件下，点P是△ABC的一个准外心，且点P在直线BD上，在图4中作出点P并求出BP的长．


26．（10分）如图①，周长为12的矩形ABCD内接于⊙O，设AB的长为x．
（1）当x＝2时，⊙O的半径为　 　；
（2）如图②，D是弧AC的中点，设阴影部分的面积为S，求S的值；
（3）如图③，连接AC并延长，试问在AC的延长线上是否存在一点E，连接DE，使得DE与⊙O相切，且CE＝AC，若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．



27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为（﹣3，6），①求MC的长；②若动点P从点A出发向点D匀速运动，速度是每秒1个单位长；同时点Q从点D出发向点C匀速运动，速度是每秒2个单位长；其中一个点到达终点时运动即结束．连接PQ交OD于点H，当△PDH为直角三角形时，求点P的坐标．

tanB＝，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
5．一元二次方程x2+2x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，然后根据判别式Δ＝b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．如图，⊙O上A、B、C三点，若∠B＝50°，∠A＝20°，则∠AOB等于（　　）

A．30° B．50° C．70° D．60°
【分析】先根据圆周角定理得出∠ACB＝∠AOB，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠B＝50，∠A＝20°，
∴∠ACB＝∠AOB．
∴180°﹣∠AOB﹣∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B，即180°﹣∠AOB﹣20°＝180°﹣∠AOB﹣50°，
解得∠AOB＝60°．
故选：D．
7．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝4m，CA＝1m，则树的高度为（　　）

A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m
【分析】根据题意得出△ACD∽△ABE，再利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：由题意可得，CD∥BE，
则△ACD∽△ABE，

【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L＝24r•sin15°，d＝2r，进而得到π≈≈3.11．
【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB＝30°，
作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝15°，
∵AO＝BO＝r，
∵Rt△AOH中，sin∠AOH＝，即sin15°＝，
∴AH＝r×sin15°，AB＝2AH＝2r×sin15°，
∴L＝12×2r×sin15°＝24r×sin15°，
又∵d＝2r，
∴π≈＝≈3.11，
故答案为：3.11

17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于　　．

【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．
【解答】解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴S△ABC＝9S△BDE＝9×2＝18．
21．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为（4，3）．
（1）请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标　（2，﹣1）　．
（2）⊙D的半径为　2　．

【分析】（1）利用垂径定理的知识可得：作线段AB与BC的垂直平分线，交点即为点D，继而可求得圆心D的坐标；
（2）利用勾股定理即可求得⊙D的半径；
【解答】解：（1）如图，作线段AB与BC的垂直平分线，交点即为点D，
∴圆心D的坐标为：（2，﹣1）；
故答案为（2，﹣1）；
（2）连接AD，
则AD＝＝＝2；
故答案为：2；
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知CD⊥AB，BC＝1
（1）如果∠BCD＝30°，求AC；
（2）如果tan∠BCD＝，求CD．

【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余，由∠BCD的度数求出∠B的度数，利用锐角三角函数定义表示出tanB，将tanB及BC的长代入，即可求出AC的长；
（2）在直角三角形BDC中，由已知tan∠BCD的值，利用锐角三角函数定义得出BD与CD的比值为1：3，根据比值设出BD＝k，CD＝3k，再由BC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，
∵∠DCB＝30°，∴∠B＝60°，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
∴tan60°＝＝，又BC＝1，
则AC＝；
化简得：
∴m＝10，
A种商品每件降价10元．
25．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．
（1）如图2，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10．D是AC上一点（非中点），且D是△ABC的一个准外心，求CD的长．
（2）如图3，在（1）的条件下，∠ABC的平分线交AC于点D．求证：＝．
（3）在（2）的条件下，点P是△ABC的一个准外心，且点P在直线BD上，在图4中作出点P并求出BP的长．

【分析】（1）根据D是△ABC的一个准外心，于是分2种情况：①若DB＝DA，设DA＝DB＝x，则x2＝62+（8﹣x）2，即可求得CD＝8﹣＝，②若DC＝DB，由图知，P在AB上，不可能在AC上；
（2）如图3，过C作CE∥AB交BD的延长线于E，则∠E＝∠ABD，由于BD平分∠ABC，得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠E＝∠CBD，推出CE＝BC，由△ABD∽△CED，即可得到结论；
（3）如图4，分两种情况：①作线段AB的垂直平分线交AB于E，交BD于P，则点P即为所求，推出△PEB∽△BCD，得到比例式，代入有关数据即可求得PB＝，②作线段BC的垂直平分线交BC于F，交BD于P′，则点P′即为所求，根据三角形的中位线的性质可得结果．
【解答】解：（1）∵BC＝6，AB＝10，AC＝8，D是△ABC的一个准外心，
①若DB＝DA，设DA＝DB＝x，则x2＝62+（8﹣x）2，
∴x＝，即DA＝，
∴CD＝8﹣＝，

26．如图①，周长为12的矩形ABCD内接于⊙O，设AB的长为x．
（1）当x＝2时，⊙O的半径为　　；
（2）如图②，D是弧AC的中点，设阴影部分的面积为S，求S的值；
（3）如图③，连接AC并延长，试问在AC的延长线上是否存在一点E，连接DE，使得DE与⊙O相切，且CE＝AC，若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）如图①，连接BD，根据四边形ABCD是矩形，可得BD是⊙O的直径，利用勾股定理即可求得答案；
（2）如图②，连接AC，由D是弧AC的中点，可得AD＝CD，可证得四边形ABCD是正方形，根据S阴影＝S⊙O﹣S△ACD，求出答案即可；
（3）如图③，连接OD，由DE与⊙O相切，CE＝AC，可得出△OCD是等边三角形，利用三角函数定义建立方程求解即可．
【解答】解：（1）如图①，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
当x＝2时，AB＝2，AD＝4，
∴BD＝＝＝2，
∴⊙O半径OB＝BD＝，
故答案为：；
（2）如图②，连接AC，
∵D是弧AC的中点，
∴＝，
∴AD＝CD，

【分析】（1）连OM，根据全等三角形的判定方法得到△DAO≌△DMO，根据全等三角形的性质可得到OM⊥DC，根据切线的判定定理就可以判定DC切⊙O于M；
（2）①根据已知条件容易证明△OMC∽△DAC，根据相似比即可求得MC的长；
②分两种情况：当∠PHD＝90°时；当∠DPH＝90°时；
【解答】证明：（1）如图，连OM．
∵DO∥MB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵OB＝OM，
∴∠1＝∠3．
∴∠2＝∠4．
在△DAO与△DMO中，
，
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD＝∠OAD．
∵FA⊥x轴于点A，
∴∠OAD＝90°．
∴∠OMD＝90°．
即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．（4分）
解：（2）
①∵D（﹣2，4），
∴OA＝2（即⊙O的半径），AD＝4．
由（1）知DM＝AD＝4，
∵△OMC∽△DAC，
∴＝＝＝．
∴AC＝2MC．
在Rt△ACD中，CD＝MC+4，
∵（2MC）2+42＝（MC+4）2
∴MC＝或MC＝0（不合，舍去），
∴MC的长为．（8分）