2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（18）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（18），共27页。试卷主要包含了下列命题中等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（18）
考试时间：120分钟 试卷满分：130分 考试范围：第1章-第8章
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•厦门期末）方程（x﹣1）2＝0的根是（　　）
A．x＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1
2．（3分）若一组数据的中位数是m，众数是n，则将这组数据中每个数都减去1后，新数据的中位数和众数分别是（　　）
A．m，n B．m，n﹣l C．m﹣l，n D．m﹣1，n﹣1
3．（3分）（2021秋•开福区校级期末）半径为5的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（3，﹣4）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
4．（3分）△ABC的边长为a、b、c，其外接圆面积为S，△A′B′C′的边长为a′、b′、c′，其外接圆面积为S′，若a＜a′、b＜b′、c＜c′，则S与S′的大小关系是（　　）
A．S＜S′ B．S＝S′ C．S＞S′ D．不能确定
5．（3分）（2019秋•潢川县期中）抛物线y＝x2+1与坐标轴交点的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（3分）（2021•香坊区校级开学）下列命题中：
①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②中心对称的两个图形是全等图形；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④能够互相重合的两条弧是等弧；⑤圆是轴对称图形，直径是圆的对称轴．其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）（2021秋•钦北区期末）抛物线y＝（x﹣1）2+2可由y＝x2如何平移得到（　　）
A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
8．（3分）（2018•烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．78°
9．（3分）（2014秋•秭归县校级期中）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，AB＝AC，∠AOC＝60°，则∠ACB的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°
10．（3分）（2021•河北模拟）二次函数y1＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1+y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是（　　）

A．函数y2的图象开口向上
B．函数y2的图象与x轴没有公共点
C．当x＝1时，函数y2的值小于0
D．当x＞2时，y2随x的增大而减小
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•龙口市期中）已知α是锐角，若2sinα﹣＝0，则α＝　 　°．
12．（3分）（2022秋•北仑区期中）已知抛物线y＝﹣2（x+m）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是　 　．
13．（3分）（2018春•当涂县期末）数据5，7，6，8，4的方差是　 　．
14．（3分）（2021秋•松滋市期末）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°，半径为2m的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 　 　m．

15．（3分）（2021秋•淳安县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是 　 　（用“＜”号连接）．
16．（3分）（2021•大庆）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 　 　．

17．（3分）（2020秋•江阴市期末）如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是　 　．

18．（3分）（2019秋•金牛区期末）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知AB＝25，AC＝24，其中阴影部分面积是 　 　．

三．解答题（共10小题，满分76分）
19．（8分）计算：
（1）2sin45°﹣tan30°﹣． （2）（tan60°）﹣1××0.125．





20．（4分）（2022秋•平潭县期中）解方程：．





21．（8分）（2019秋•西湖区期末）在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B为锐角且．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ABC的面积；
（3）求tanC．




22．（6分）（2019秋•温州期末）甲乙两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，乙再摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功．
（1）用列表法或树状图法，表示所有可能出现的结果．
（2）求两人挑战成功的概率．





23． （6分）（2020•颍州区一模）某汽车公司今年8月份销售6000辆汽车，10月份销售汽车数量比8月份多615辆．求该公司9月份、10月份销售汽车数量的月平均增长率．






24．（8分）已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|＝4，点A，C在直线y2＝﹣3x+t上．
（1）求点C的坐标；
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围．







25．（8分）（2017•茶陵县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，连接DF，当CE为何值时，直角梯形BCDF的面积最大，并求出最大值．











26．（8分）（2020•安徽模拟）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点的连线距离的最小值为d，B与直线CM上的连线距离的最小值为f，
（1）求证：PC是⊙O切线．
（2）设OP＝AC，求∠CPO的正切值．
（3）设AC＝9，AB＝15，求d+f的取值范围．




27．（10分）（2017秋•武进区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（8，0）．点P从点B开始，沿射线BA以每秒1个单位长度的速度运动，以点P为圆心、PB为半径的圆交射线BA于点C．设点P的运动时间为t．
（1）线段AB的长为　 　．
（2）当⊙P与y轴相切时，求t的值．
（3）如图2，⊙P与y轴相交于正、负半轴，交点分别为M、N，连接CN、BN．当△CNB为等腰三角形时，求点N的坐标．


28．（10分）（2021秋•镇平县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．


答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•厦门期末）方程（x﹣1）2＝0的根是（　　）
A．x＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1
解：∵（x﹣1）2＝0，
∴x﹣1＝0，
则x1＝x2＝1，
故选：B．
2．（3分）若一组数据的中位数是m，众数是n，则将这组数据中每个数都减去1后，新数据的中位数和众数分别是（　　）
A．m，n B．m，n﹣l C．m﹣l，n D．m﹣1，n﹣1
解：∵这组数据的中位数是m，众数是n，
∴将这组数据中的每个数都减去1后，新数据的中位数为m﹣1，众数为n﹣1．
故选：D．
3．（3分）（2021秋•开福区校级期末）半径为5的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（3，﹣4）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
解：∵点P（3，﹣4），
∴OP＝＝5，
∵r＝5，
则OP＝r，
∴点P在⊙O上，
故选：A．
4．（3分）△ABC的边长为a、b、c，其外接圆面积为S，△A′B′C′的边长为a′、b′、c′，其外接圆面积为S′，若a＜a′、b＜b′、c＜c′，则S与S′的大小关系是（　　）
A．S＜S′ B．S＝S′ C．S＞S′ D．不能确定
解：根据正弦定理，得
＝2R（R是三角形外接圆的半径）．
当a变小时，∠A的大小不确定．
故选：D．
5．（3分）（2019秋•潢川县期中）抛物线y＝x2+1与坐标轴交点的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：Δ＝b2﹣4ac＝0﹣4×1×1＝﹣4＜0，
故抛物线与x轴无交点，
抛物线与y轴交点为：（0，1），
故抛物线y＝x2+1与坐标轴的交点的个数为1个，
故选：B．
6．（3分）（2021•香坊区校级开学）下列命题中：
①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②中心对称的两个图形是全等图形；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④能够互相重合的两条弧是等弧；⑤圆是轴对称图形，直径是圆的对称轴．其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题错误，不符合题意；
②中心对称的两个图形是全等图形，正确，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原命题错误，不符合题意；
④能够互相重合的两条弧是等弧，正确，符合题意；
⑤圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，故原命题错误，不符合题意；
正确是有2个，
故选：B．
7．（3分）（2021秋•钦北区期末）抛物线y＝（x﹣1）2+2可由y＝x2如何平移得到（　　）
A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），因为点（0，0）先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点（1，2），所以把抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得抛物线y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
8．（3分）（2018•烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．78°
解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）
＝68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝68°，
故选：C．
9．（3分）（2014秋•秭归县校级期中）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，AB＝AC，∠AOC＝60°，则∠ACB的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°
解：∵∠AOC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°．
故选：A．
10．（3分）（2021•河北模拟）二次函数y1＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1+y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是（　　）

A．函数y2的图象开口向上
B．函数y2的图象与x轴没有公共点
C．当x＝1时，函数y2的值小于0
D．当x＞2时，y2随x的增大而减小
解：∵y1＝ax2+bx+c，y1+y2＝2，
∴y2＝2﹣y1，
∴函数y2的图象是函数y1的图象关于x轴对称，然后再向上平移2个单位长度得到的，
∴函数y2的图象开口向下，故选项A错误；
函数y2的图象与x轴有两个交点，故选项B错误；
当x＝1时，函数y2的值大于0，故选项C错误；
当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项D正确；
故选：D．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•龙口市期中）已知α是锐角，若2sinα﹣＝0，则α＝　45　°．
解：∵2sinα﹣＝0，即sinα＝，
∴α＝45°，
故答案为：45．
12．（3分）（2022秋•北仑区期中）已知抛物线y＝﹣2（x+m）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是　m≥﹣1　．
解：∵y＝﹣2（x+m）2﹣3，
∴对称轴为x＝﹣m，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴﹣m≤1，解得m≥﹣1，
故答案为：m≥﹣1．
13．（3分）（2018春•当涂县期末）数据5，7，6，8，4的方差是　2　．
解：这组数据的平均数是：×（5+7+6+8+4）＝6，
则这组数据的方差是×[（5﹣6）2+（7﹣6）2+（6﹣6）2+（8﹣6）2+（4﹣6）2]＝2．
故答案为：2．
14．（3分）（2021秋•松滋市期末）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°，半径为2m的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 　　m．

解：设圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得：2πr＝，
解得：r＝，
故答案为：．
15．（3分）（2021秋•淳安县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是 　m＜p＜q＜n　（用“＜”号连接）．
解：根据题意画出y＝ax2+bx+c的大致图象，如下图所示：
再作出直线y＝x的图象，
设两个函数图象的交点为C、D，
则C、D的横坐标为m，n，
故答案为：m＜p＜q＜n．

16．（3分）（2021•大庆）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为 　　．

解：连接EB，AD，
设⊙O的半径为r，
⊙O的面积S＝πr2，
弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，
弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝S△EDO+S△ABO，
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，
∴△EDO、△AOB是正三角形，
∴阴影部分的面积＝×r×r×2＝r2，
∴⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为，
故答案为：．

17．（3分）（2020秋•江阴市期末）如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是　（，6）　．

解：过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥CD于E，如图所示：
则∠ADE＝∠ODC＝∠DEB＝∠CEB＝90°＝∠OAB，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE，DE＝AB＝3，
∴BE＝＝＝4，
∵∠BCE+∠OCD＝∠AOC+∠OCD＝90°，
∴∠BCE＝∠AOC，
∴cos∠BCE＝＝cos∠AOC＝，
∴CE＝BC＝×5＝3，
∴CD＝CE+DE＝3+3＝6，
∵∠AOC＝∠BCE，∠ODC＝∠BEC＝90°，
∴△OCD∽△CBE，
∴＝，
即＝，
解得：OD＝，
∴点C的坐标为（，6），
故答案为：（，6）．

18．（3分）（2019秋•金牛区期末）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知AB＝25，AC＝24，其中阴影部分面积是 　49　．

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC2＝AB2﹣AC2＝49，
因为图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
所以阴影部分的面积为49．
故答案为49．
三．解答题（共10小题，满分76分）
19．（8分）计算：
（1）2sin45°﹣tan30°﹣．
（2）（tan60°）﹣1××0.125．
解：（1）原式＝2×﹣×﹣|1﹣|
＝﹣1﹣（﹣1）
＝﹣1﹣+1
＝0；
（2）原式＝（）﹣1×﹣+8×0.125
＝×﹣+1
＝﹣+1
＝1．
20．（4分）（2022秋•平潭县期中）解方程：．
解：，
这里a＝2，b＝﹣2，c＝1，
∴b2﹣4ac＝﹣4×2×1＝4，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∴原方程的解是x1＝，x2＝．
21．（8分）（2019秋•西湖区期末）在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B为锐角且．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ABC的面积；
（3）求tanC．

解：（1）∵∠B为锐角且，
∴∠B＝60°；
（2）作AD⊥BC于D，如图所示：
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝BD＝3，
∴△ABC的面积＝BC×AD＝×4×3＝6；
（3）∵BC＝4，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴tanC＝＝＝3．

22．（6分）（2019秋•温州期末）甲乙两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，乙再摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功．
（1）用列表法或树状图法，表示所有可能出现的结果．
（2）求两人挑战成功的概率．
解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

（2）共有9种等可能出现的结果，其中颜色相同的有5种，
∴P（颜色相同）＝，
答：获胜的概率为．
23．（6分）（2020•颍州区一模）某汽车公司今年8月份销售6000辆汽车，10月份销售汽车数量比8月份多615辆．求该公司9月份、10月份销售汽车数量的月平均增长率．
解：设该公司9月份、10月份销售汽车数量的月平均增长率为x，
依题意，得：6000（1+x）2＝6000+615，
解得：x1＝＝5%，x2＝﹣（不合题意，舍去）．
答：该公司9月份、10月份销售汽车数量的月平均增长率为5%．
24．（8分）已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|＝4，点A，C在直线y2＝﹣3x+t上．
（1）求点C的坐标；
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围．
解：（1）令x＝0，则y＝c，故点C（0，c），
∵且O，C两点间的距离为3，则|c|＝3，解得：c＝±3，
故点C（0，3）或（0，﹣3）；
（2）∵x1•x2＜0，
①如点C（0，3），把点C代入y2＝﹣3x+t，即t＝3，
∴y2＝﹣3x+3，
把点A（x1，0）代入y2＝﹣3x+3解得：x1＝1，
故点A（1，0），
∵|x1|+|x2|＝4，x1、x2异号，则1﹣x2＝4，则x2＝﹣3，
则点B（﹣3，0），
把点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故y1＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
当x≤﹣1，y1随x增大而增大；
②若点C（0，﹣3）
同理可得：y1＝（x﹣1）2﹣4，
当x≥1，y1随x增大而增大；
综上，若c＝3，当x≤﹣1，y1随x增大而增大；若c＝﹣3，当x≥1，y1随x增大而增大；
25．（8分）（2017•茶陵县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，连接DF，当CE为何值时，直角梯形BCDF的面积最大，并求出最大值．

解：（1）∵EF⊥DE，
∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴＝，即 ＝，解得y＝；

（2）由题意y最大时，梯形的面积最大，
由（1）得y＝，
将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，
所以当x＝4时，y取得最大值为2，此时梯形的面积最大，
梯形的最大面积＝（2+8）×8＝40．
26．（8分）（2020•安徽模拟）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点的连线距离的最小值为d，B与直线CM上的连线距离的最小值为f，
（1）求证：PC是⊙O切线．
（2）设OP＝AC，求∠CPO的正切值．
（3）设AC＝9，AB＝15，求d+f的取值范围．

（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵BP是圆的切线，
∴BP⊥OB，
∴∠OBP＝90°，
∵AC∥OP，
∴∠OAC＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝∠BOP，
在△OCP和△OBP中，，
∴△OCP≌△OBP（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是圆的切线；
（2）解：连接BC，交OP于H，如图2所示：
由（1）得：∠COH＝∠BOH，
∵OB＝OC，
∴OH⊥BC，BH＝CH，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH＝AC，
∵OP＝AC，
∴设AC＝2a，则OP＝3a，
∴OH＝a，HP＝2a，
∠OCP＝90°，
∴∠OCH+∠PCH＝90°，
∵∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠OCH＝∠CPH，
∵∠OHC＝∠CHP＝90°，
∴△OHC∽△CHP，
∴＝，
∴HC2＝OH•HP＝a×2a＝2a2，
∴HC＝a，
∴tan∠CPO＝＝＝；
（3）解：连接BC，过点A作AN⊥CM于N，过点B作BS⊥CM于S，如图3所示：
则d＝AN＝AM•sin∠AMC，f＝BS＝BM•sin∠SMB，
∴d+f＝AM•sin∠AMC+BM•sin∠SMB，
∵∠AMC＝∠SMB，
∴d+f＝sin∠AMC（AM+BM）＝AB•sin∠AMC，
当∠AMC最大，d+f最大，即CM⊥AB最大，
此时，d+f＝AB＝15，
当∠AMC最小，d+f最小，
即M在B点∠AMC＝∠ABC，与M在A点∠AMC＝∠CAB时最小，
∵AB是⊙O的直经，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝12，
∴BC＞AC，
∴∠ABC＜∠CAB，
∴M在B点时，∠AMC最小，
此时，d+f＝AC＝9，
∴9≤d+f≤15．



27．（10分）（2017秋•武进区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（8，0）．点P从点B开始，沿射线BA以每秒1个单位长度的速度运动，以点P为圆心、PB为半径的圆交射线BA于点C．设点P的运动时间为t．
（1）线段AB的长为　10　．
（2）当⊙P与y轴相切时，求t的值．
（3）如图2，⊙P与y轴相交于正、负半轴，交点分别为M、N，连接CN、BN．当△CNB为等腰三角形时，求点N的坐标．

解：（1）∵点A（0，6），点B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
故答案为：10；
（2）设⊙P与y轴相切于点G，连接PG，如图1所示：
则∠PGA＝90°，PG＝PB，
∵∠AOB＝90°，
∴PG∥OB，
∴△AGP∽△AOB，
∴＝，
∵PB＝t×1＝t，
∴PG＝PB＝t，AP＝AB﹣PB＝10﹣t，
∴＝，
解得：t＝（s）；
（3）过点C作CE⊥y轴于点E，如图2所示：
则∠CEN＝90°，
∴∠CNE+∠ECN＝90°，
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CNB＝90°，
∴∠CNE+∠BNO＝90°，
∴∠ECN＝∠BNO，
∵△CNB是等腰三角形，
∴CN＝BN，
在△CEN和△NOB中，，
∴△CEN≌△NOB（AAS），
∴CE＝ON，NE＝OB＝8，
设CE＝ON＝a，
则AE＝NE﹣OA﹣ON＝8﹣6﹣a＝2﹣a，
∵∠CAE＝∠BAO，∠CEA＝∠BOA＝90°，
∴△CEA∽△BOA，
∴＝，
∴＝，
解得：，
∴点N的坐标为（0，﹣）．


28．（10分）（2021秋•镇平县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．

解：（1）将B（1，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，则x＝1或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
设直线AD的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
∴y＝x+2；
（2）连接PD，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交AD于点G，
∵平行四边形APED，
∴S△PAD＝S△PED，
∴S△PAD的面积最大，则平行四边形APED的面积就最大，
设P（t，﹣t2﹣3t+4），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣2＝﹣t2﹣t+2＝﹣（t+）2+，
∴S＝2××（﹣t2﹣t+2）×4＝﹣4（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S的最大值．