2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（10）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（10），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（10）
一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分。每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）
1．（3分）一元二次方程x2+3x＝0的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x＝3
2．（3分）一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
3．（3分）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC＝25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+nx+m＝0的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（　　）
A．m＝0，n＝0 B．m≠0，n≠0 C．m≠0，n＝0 D．m＝0，n≠0
第3题第6题第7题
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　）
A．54° B．62° C．72° D．82°
8．（3分）用扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（　　）
A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。请把答案直接填在题中的横线上）
9．（3分）把方程x2﹣6x+3＝0，化为（x+m）2＝n（其中m、n为常数）的形式后为 　 　．
10．（3分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　 　．
11．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交，∠ACD＝60°，则∠BAD＝　 　°．
12．（3分）某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是　 　．
13．（3分）圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为　 　（结果用带π的数的形式表示）．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形ADE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形ADE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是　 　．
15．（3分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的面积是　 　cm2．
16．（3分）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为　 　．
第11题第14题第16题
三、解答题（本题共11小题，共82分。解答应写出必要的过程、推演步骤或文字说明）
17．（8分）解方程：（1）3x2﹣4x＝0； （2）x2﹣4x+2＝0．




18．（6分）已知关于x的方程x2﹣6x+3m﹣4＝0的一个根是﹣1，求m的值和另一个根．




19．（6分）化简并求值，其中m满足m2﹣m﹣2＝0．




20．（6分）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．
（1）求证：△AOE≌△POC；
（2）写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．



21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值．



22．（8分）已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、O（0，0）四点，一次函数y＝﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D．
（1）在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为 　 　；
（2）若⊙O1上存在点P使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有 　 　个．

23．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：BC∥AD；
（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．

25．（8分）某水果店购进一批优质水果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该水果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
售价x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
（1）某天这种水果售价为28元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果水果店该天获利400元，那么这天水果的售价为多少元？

26．（8分）如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴x轴上的两个定点，点M是线段AB的垂直平分线上的一个动点，以点M为圆心，MA长为半径的圆与x轴正半轴、y轴的负半轴分别交于D、C两点，过点O作AB的垂线OE，垂足为E，与CD交于点F．
（1）若∠BOE＝28°，求∠CDB的度数；
（2）求证：F是CD的中点；
（3）若A（0，4），B（﹣3，0），连接MF，当点M运动时，MF的值是否发生变化，若不变，求出MF的值；若变化，请说明理由．





第3题第6题答图
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，由圆周角定理可得∠D与∠ABD的度数，再由勾股定理即可解答．
【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，
∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠D＝45°，
∵AB＝2，∴BD＝2，∴AD＝＝＝2，
∴⊙O的半径AO＝＝．故选：D．
【点评】此题比较简单，考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　）
A．54° B．62° C．72° D．82°
【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．
【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握
圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
8．（3分）用扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（　　）A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm
【分析】首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，然后根据勾股定理求得圆锥的母线长就是扇形的半径．
【解答】解：∵底面周长是6πcm，∴底面的半径为3cm，
∵圆锥的高为4cm，∴圆锥的母线长为：＝5（cm），
∴扇形的半径为5cm，故选：D．
【点评】考查圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的母线、高及底面半径围成一个直角三角形．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。请把答案直接填在题中的横线上）
9．（3分）把方程x2﹣6x+3＝0，化为（x+m）2＝n（其中m、n为常数）的形式后为 　（x﹣3）2＝6　．
【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．
【解答】解：x2﹣6x+3＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣3，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6．故答案为：（x﹣3）2＝6．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．
10．（3分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　1　．
【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
11．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交，∠ACD＝60°，则∠BAD＝　30　°．

【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACD＝60°，然后利用互余计算∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°．故答案为30．
【点评】考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
12．（3分）某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是　25（1+x）2＝36　．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元”，即可得出方程．
【解答】解：设这个增长率为x，根据题意可得：25（1+x）2＝36，故答案为：25（1+x）2＝36．
【点评】本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
13．（3分）圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为　12π　（结果用带π的数的形式表示）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×6÷2＝12π，故答案为：12π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算方法．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形ADE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形ADE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是　　．

【分析】设该圆锥的底面圆的半径为r，根据正方形的性质得到∠DAC＝45°，AD＝4，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥的底面圆的半径为r，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC＝45°，AD＝4，
根据题意得2πr＝，解得r＝．故答案为．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了正方形的性质．
15．（3分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的面积是　240π　cm2．
【分析】首先根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：设扇形的半径是R，由题意得：l＝＝20π，解得：R＝24cm，
则扇形的面积S＝lR＝×20π×24＝24×10π＝240πcm2．故答案是：240π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是关键．
16．（3分）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为　2　．
题图答图
【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，∴AB＝OA＝6，∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝＝2．故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
三、解答题（本题共11小题，共102分。解答应写出必要的过程、推演步骤或文字说明）
17．（8分）解方程：（1）3x2﹣4x＝0； （2）x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）3x2﹣4x＝0，x（3x﹣4）＝0，解得x1＝0，x2＝；
（2）x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x+4＝﹣2+4，（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的不同结构特点使用不同的方法是解题的关键．
18．（6分）已知关于x的方程x2﹣6x+3m﹣4＝0的一个根是﹣1，求m的值和另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于4，∴x＝±2是原方程的根，
当x＝2时，4﹣2（m+3）+m+2＝0．解得m＝0；
当x＝﹣2时，4+2（m+3）+m+2＝0，解得m＝﹣4．综上所述，m的值为0或﹣4．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点．
22．（8分）已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、O（0，0）四点，一次函数y＝﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D．
（1）在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为 　（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）　；
（2）若⊙O1上存在点P使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有 　3　个．
题图答图
【分析】（1）要先在坐标系上找到这些点，再画过这些点的图象；
（2）根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等．作AD的垂直平分线，与圆的交点且是整点的点的坐标就是所求的坐标．当AD＝PD时，该点也满足条件．
【解答】解：（1）先在坐标系中找到A（﹣4，2），B（﹣3，3），
C（﹣1，﹣1），O（0，0）的坐标，然后画圆，过此四点，
一次函数y＝﹣x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝﹣2，从坐标系中先找出这两点，画过这两点的直线，即是一次函数y＝﹣x﹣2的图象．
该直线与圆的交点是点A、C，它们的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）；
故答案是：（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）；
（2）作AD的垂直平分线，与圆的交点P1，P2是所求的点（根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等），以点D为圆心，以DA为半径画弧，弧与⊙O1的交点是A点和P3点，
故答案是：3．
【点评】本题考查了圆的综合题．以网格作为载体，将圆的直观性见于图形的直观性基础之上．
23．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：BC∥AD；
（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，
（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴AB＝DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD．

（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴A，C两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．
【点评】本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
题图答图
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【解答】解：（1）连接OD，如图，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，
∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴＝，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝2．
解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键．
又OC＝3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ＝OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP＝90°，由∠BCO＝45°，得到∠OCP＝45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP＝OC，由OC＝3，得到OP＝3，用OQ﹣OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO＝90°，得到此时A为切点，由PC＝PA，且PA＝9﹣t，PO＝t﹣4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
【解答】解：（1）∵∠BCO＝∠CBO＝45°，∴OC＝OB＝3，
又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP＝15°，得∠PCO＝30°，故PO＝CO•tan30°＝，此时t＝4+；
②当点P在点B左侧时，如图3，由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60°，
故OP＝COtan60°＝3，此时，t＝4+3，∴t的值为4+或4+3；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，

从而∠OCP＝45°，得到OP＝3，此时t＝1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t＝4；

③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO＝90°，
∴点A为切点，如图4，PC2＝PA2＝（9﹣t）2，PO2＝（t﹣4）2，
于是（9﹣t）2＝（t﹣4）2+32，即81﹣18t+t2＝t2﹣8t+16+9，
解得：t＝5.6，∴t的值为1或4或5.6．