2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（14）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（14），共30页。
2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（14）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：第1章-第8章
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2019秋•福田区校级期末）已知，则下列式子一定正确的是（　　）
A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C． D．
2．（3分）（2022•南岗区模拟）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中9个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2020•云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）

A． B．1 C． D．
4．（3分）（2022秋•朝阳区期中）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C'D′．若，且四边形ABCD的面积是1，则四边形A′B′C'D′的面积是（　　）

A． B．3 C．4 D．9
5．（3分）（2020•河北模拟）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时⊙P运动的时间是（　　）

A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
6．（3分）（2021秋•霍邱县期中）若二次函数y＝（a﹣2）x2﹣3x+2的图象开口方向向上，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a＞2 C．a＜2 D．a≠2
7．（3分）（2021秋•定远县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝50°，则∠BOC的大小为（　　）

A．105° B．115° C．125° D．100°
8．（3分）（2022•石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC边在x轴上，A（﹣1，4），B（7，0）．点P是AB边上一点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PD⊥BC于点D，当四边形CDPE的面积最大时，点P的坐标为（　　）

A．（4，） B．（2，） C．（2，3） D．（3，2）
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2021秋•海州区期末）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　 　cm．
10．（3分）（2021秋•东城区校级期末）为庆祝中国共产党建党100周年，某高校组织党史知识竞赛．根据小明、小刚5次预赛成绩绘制成统计图．
下面有三个推断：
①与小刚相比，小明5次成绩的极差大；
②与小刚相比，小明5次成绩的方差小；
③与小刚相比，小明的成绩比较稳定．
其中，所有合理推断的序号是 　 　．

11．（3分）（2019秋•丹东期末）小亮同学想测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米．在同时测量旗杆的影长时由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长为6米，留在墙上的影高为3米，通过计算他得出旗杆的高度是　 　米．

12．（3分）（2020•长春模拟）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为　 　m．

13．（3分）（2022春•杭州期中）如图，已知△ABC中，BC＝18，E，F为BC的三等分点，AE＝10，AF＝8，G，H分别为AC，AB的中点，则四边形EFGH的周长为　 　．

14．（3分）（2022•巩义市模拟）将抛物线y＝3x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 　 　．
15．（3分）（2022春•江北区校级月考）如图，在圆心角为90°的扇形BAC中，半径AC＝6，以AB为直径作半圆O．过点O作AC的平行线交于两弧D，E，则图中阴影部分的面积是 　 　．

16．（3分）（2021秋•西城区校级月考）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y2＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当x满足 　 　条件时，y1＞y2．

三．解答题（共10小题，满分102分）
17．（8分）（2022春•萧山区月考）解方程：
（1）2x2＝8x； （2）3x2﹣4x﹣2＝0．






18．（10分）（2021春•浦江县期末）已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边）．
（1）求A，B两点间的距离及抛物线的顶点坐标．
（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点B．求平移后新的抛物线表达式．








19．（8分）（2021•广州模拟）某奶粉厂为了更好、更均匀地将奶粉进行封装，准备购进一种包装机器．现有甲、乙两种包装机分装标准质量为400g的奶粉，工厂的采购员对甲、乙两种包装机封装的若干奶粉进行了抽样调查，对数据进行分类整理分析（奶粉质量用x表示，共分成四组，A：390≤x＜395，B：395≤x＜400，C：400≤x＜405，D：405≤x＜410）下面给出了下列信息：
从甲，乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10桶，测得实际质量x（单位：g）如下：
甲包装机分装奶粉中落在B组的数据是：396，398，398，398．
乙包装机抽取的10桶奶粉的质量分别为：400，404，396，403，400，405，397，399，400，398．
甲、乙包装机封装奶粉质量数据分析表
包装机器
甲
乙
平均数
399.3
400.2
中位数
b
400
众数
398
c
方差
20.4
7.96
请回答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）根据以上数据判断奶粉包装机分装情况比较好的是　 　（填甲或乙），请写出一条你的理由　 　．
（3）从甲包装机分装的奶粉中取出2桶，记为：甲1、甲2，从乙包装机分装的奶粉中取出2桶，分别记为：乙1、乙2，现在从这4桶奶粉中随机抽取2桶出来，请用树形图或列表的方法求恰好抽到一桶为甲包装机分装的奶粉，一桶为乙包装机分装的奶粉的概率为多少？





20．（8分）（2021•金台区一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，大树的顶端恰好与路灯的灯泡在同一水平线上，小华激动地说：“妈妈，我可以通过测量您的影长，计算出这棵大树的高度．”小华让妈妈先站在D处，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），点B、D、F、G在同一水平线上，AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．求这棵大树的高度．





21．（10分）（2019秋•西城区校级期中）函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．
（1）二次函数的对称轴　 　；
（2）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝　 　．
（3）在给定的坐标系中画出（2）中二次函数的图象．
x
…





…
y
…





…



22．（10分）（2022秋•临清市期中）△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM．
求证：（1）△ABC∽△MEC；
（2）AM2＝MD•ME．





23．（10分）（2021•樊城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若圆的半径为10，DE：AE＝2，求AF的长．









24．（12分）（2020春•沙坪坝区校级月考）某公司购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货单价为8元/件，该公司对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每月的销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足如表．
销售单价x（元/件）
…
10
12
14
15
…
每月销售量y（万件）
…
40
36
32
30
…
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并求出y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润为240万元？
（3）如果该产品每月的进货成本不超过160万元，那么当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？



25．（12分）（2021秋•绿园区期末）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．可知△DAP∽△PBC．
（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．
（1）求证：△DAP∽△PBC；
（2）若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长；
（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．






26．（14分）（2021•益阳模拟）如图：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点P（m，n）是线段AB上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标．


答案与解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2019秋•福田区校级期末）已知，则下列式子一定正确的是（　　）
A．x＝2，y＝3 B．2x＝3y C． D．
解：A．由，可得3x＝2y，故x＝2，y＝3不一定成立，本选项不合题意；
B．由，可得3x＝2y，故2x＝3y不成立，本选项不合题意；
C．由，可得﹣1＝﹣1，即＝﹣，故＝不成立，本选项不合题意；
D．由，可得+1＝+1，故，本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）（2022•南岗区模拟）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中9个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：从袋子中随机摸出一个小球，共有12种等可能结果，其中摸出的小球是红球的的有9种结果，
所以摸出的小球是红球的概率为＝，
故选：C．
3．（3分）（2020•云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）

A． B．1 C． D．
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
4．（3分）（2022秋•朝阳区期中）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C'D′．若，且四边形ABCD的面积是1，则四边形A′B′C'D′的面积是（　　）

A． B．3 C．4 D．9
解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，，
∴＝
∴＝（）2．
又∵四边形ABCD的面积是1，
∴四边形A′B′C′D′面积为9．
故选：D．
5．（3分）（2020•河北模拟）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时⊙P运动的时间是（　　）

A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
解：作PH⊥CD于H，
在Rt△OPH中，∠AOC＝30°，
∴OP＝2PH，
当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6﹣4＝2，
∴⊙P运动的时间是2秒，
当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6+4＝10，
∴⊙P运动的时间是10秒，
故选：D．

6．（3分）（2021秋•霍邱县期中）若二次函数y＝（a﹣2）x2﹣3x+2的图象开口方向向上，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a＞2 C．a＜2 D．a≠2
解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣3x+2的图象开口方向向上，
∴a﹣2＞0，
即a＞2，
故选：B．
7．（3分）（2021秋•定远县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝50°，则∠BOC的大小为（　　）

A．105° B．115° C．125° D．100°
解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠ACB，∠CBO＝∠ABC，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×130°＝115°，
故选：B．
8．（3分）（2022•石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC边在x轴上，A（﹣1，4），B（7，0）．点P是AB边上一点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PD⊥BC于点D，当四边形CDPE的面积最大时，点P的坐标为（　　）

A．（4，） B．（2，） C．（2，3） D．（3，2）
解：∵A（﹣1，4），B（7，0），∠ACB＝90°，
∴AC＝4，OC＝1，OB＝7，
∴CB＝OC+OB＝1+7＝8，
设CE＝a，EP＝b，
则AE＝AC﹣CE＝4﹣a，
∵PE⊥AC，PD⊥BC，
∴∠CEP＝∠CDP＝∠ACB＝90°，
∴四边形CEPD是矩形，
∴EP∥BC，
∴△AEP∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴b＝8﹣2a，
∴矩形CDPE的面积＝CE•EP＝a（8﹣2a）＝﹣2a2+8a＝﹣2（a﹣2）2+8，
∴当a＝2时，即CE＝2时，矩形CDPE的面积最大，
此时点P的纵坐标为2，
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（﹣1，4），B（7，0），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
将y＝2代入，得x＝3，
即P点的横坐标为3，
∴当四边形CDPE的面积最大时，点P的坐标为（3，2）．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2021秋•海州区期末）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　4　cm．
解：线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是a、b的比例中项，
∴＝，
∴c2＝ab＝2×8＝16，
∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），
∴线段c＝4cm．
故答案为：4．
10．（3分）（2021秋•东城区校级期末）为庆祝中国共产党建党100周年，某高校组织党史知识竞赛．根据小明、小刚5次预赛成绩绘制成统计图．
下面有三个推断：
①与小刚相比，小明5次成绩的极差大；
②与小刚相比，小明5次成绩的方差小；
③与小刚相比，小明的成绩比较稳定．
其中，所有合理推断的序号是 　②③　．

解：小明5次预赛成绩的平均数为：＝94（分），
极差为：100﹣91＝9（分），
方差为：[（92﹣94）2+（94﹣94）2+（100﹣94）2+（91﹣94）2+（93﹣94）2]＝10，
小刚5次预赛成绩的平均数为：＝94（分），
极差为：100﹣88＝12（分），
方差为：[（88﹣94）2+（100﹣94）2+（93﹣94）2+（98﹣94）2+（91﹣94）2]＝19.6，

因此①不正确；②正确；③小明的方差较小，其成绩比较稳定，因此③正确；
所以正确的有：②③，
故答案为：②③．
11．（3分）（2019秋•丹东期末）小亮同学想测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米．在同时测量旗杆的影长时由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长为6米，留在墙上的影高为3米，通过计算他得出旗杆的高度是　10.5　米．

解：如图，CD＝BE＝3m，BC＝DE＝6m，
∵＝，
∴AE＝＝7.5，
∴AB＝AE+BE＝7.5+3＝10.5（m）．
答：旗杆的高度为10.5m．
故答案为10.5．

12．（3分）（2020•长春模拟）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为　10　m．

解：如右图所示，
点C为抛物线顶点，坐标为（0，6），则点A的坐标为（﹣10，0），点B的坐标为（10，0），
设抛物线ACB的函数解析式为y＝ax2+6，
∵点A在此抛物线上，
∴0＝a×102+6，
解得，a＝﹣，
即抛物线ACB的函数解析式为y＝﹣x2+6，
当y＝3时，3＝﹣x2+6，
解得，x＝，
∴当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：5﹣（﹣5）＝10（m），
故答案为：10．

13．（3分）（2022春•杭州期中）如图，已知△ABC中，BC＝18，E，F为BC的三等分点，AE＝10，AF＝8，G，H分别为AC，AB的中点，则四边形EFGH的周长为　24　．

解：∵E，F是BC的三等分点，∴EF＝BC＝6，且BE＝EF＝FC．
∵G，H分别是AC，AB的中点，∴GH是△ABC的中位线，GH＝BC＝9．
HE是△ABF的中位线，HE＝AF＝4．
GF是△ACE的中位线，GF＝AE＝5．
∴四边形EFGH的周长＝6+9+4+5＝24．
故答案是：24．
14．（3分）（2022•巩义市模拟）将抛物线y＝3x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 　y＝3（x﹣1）2﹣1　．
解：将抛物线y＝3x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2+1﹣2，即y＝3（x﹣1）2﹣1．
故答案为：y＝3（x﹣1）2﹣1．
15．（3分）（2022春•江北区校级月考）如图，在圆心角为90°的扇形BAC中，半径AC＝6，以AB为直径作半圆O．过点O作AC的平行线交于两弧D，E，则图中阴影部分的面积是 　6π﹣　．

解：如图，连接AE．

∵在圆心角为90°的扇形BAC中，半径AC＝6，以AB为直径作半圆，圆心为点O，
∴∠CAB＝90°，OA＝OB＝OD＝3，AB＝AE＝6．
又∵OE∥AC，
∴∠AOE＝∠CAB＝90°．
∴S扇形AOD＝S扇形BOD，
在直角△OEA中，OA＝AE，
∴∠OEA＝30°，OE＝3，
∴∠EAC＝∠OEA＝30°，
∴S阴影＝S扇形ACB﹣S扇形ACE﹣S△AOE＝﹣﹣×3×3＝6π﹣．
故答案为：6π﹣．
16．（3分）（2021秋•西城区校级月考）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y2＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当x满足 　﹣5＜x＜0　条件时，y1＞y2．

解：由图象可知，当﹣5＜x＜0时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴使y1＞y2成立的x的取值范围是﹣5＜x＜0．
故答案为：﹣5＜x＜0．
三．解答题（共10小题，满分102分）
17．（8分）（2022春•萧山区月考）解方程：
（1）2x2＝8x；
（2）3x2﹣4x﹣2＝0．
解：（1）2x2＝8x，
则2x（x﹣4）＝0，
故2x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4；

（2）3x2﹣4x﹣2＝0，
则△＝b2﹣4ac＝16﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
故x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
18．（10分）（2021春•浦江县期末）已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边）．
（1）求A，B两点间的距离及抛物线的顶点坐标．
（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点B．求平移后新的抛物线表达式．
解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0，得：x＝﹣1或＝3，
∴AB＝|﹣1﹣3|＝4，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为 （1，﹣4）；
（2）设新抛物线表达式：y＝（x﹣m）2﹣3，把（3，0）代入得：m＝3±，
∴新抛物线表达式：y＝（x﹣3+）2﹣3或y＝（x﹣3﹣）2﹣3．
19．（8分）（2021•广州模拟）某奶粉厂为了更好、更均匀地将奶粉进行封装，准备购进一种包装机器．现有甲、乙两种包装机分装标准质量为400g的奶粉，工厂的采购员对甲、乙两种包装机封装的若干奶粉进行了抽样调查，对数据进行分类整理分析（奶粉质量用x表示，共分成四组，A：390≤x＜395，B：395≤x＜400，C：400≤x＜405，D：405≤x＜410）下面给出了下列信息：
从甲，乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10桶，测得实际质量x（单位：g）如下：
甲包装机分装奶粉中落在B组的数据是：396，398，398，398．
乙包装机抽取的10桶奶粉的质量分别为：400，404，396，403，400，405，397，399，400，398．
甲、乙包装机封装奶粉质量数据分析表
包装机器
甲
乙
平均数
399.3
400.2
中位数
b
400
众数
398
c
方差
20.4
7.96
请回答下列问题：
（1）a＝　40　，b＝　398　，c＝　400　．
（2）根据以上数据判断奶粉包装机分装情况比较好的是　乙　（填甲或乙），请写出一条你的理由　从平均数上看，乙包装机最接近标准质量400g，乙的方差也小，数据的离散程度较小　．
（3）从甲包装机分装的奶粉中取出2桶，记为：甲1、甲2，从乙包装机分装的奶粉中取出2桶，分别记为：乙1、乙2，现在从这4桶奶粉中随机抽取2桶出来，请用树形图或列表的方法求恰好抽到一桶为甲包装机分装的奶粉，一桶为乙包装机分装的奶粉的概率为多少？

解：（1）4÷10＝40%，a＝40，
甲包装机分装奶粉质量处在第5、6位的两个数都是398，因此中位数是398，即b＝398，
乙包装机分装奶粉质量出现次数最多的是400，共出现3次，因此众数是400，即c＝400，
故答案为：40，398，400；
（2）乙，从平均数上看，乙包装机最接近标准质量400g，乙的方差也小，数据的离散程度较小；
故答案为：乙，从平均数上看，乙包装机最接近标准质量400g，乙的方差也小，数据的离散程度较小；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有12种等可能出现的结果情况，其中“一甲一乙”的有8种，
所有P（一甲一乙）＝＝．
20．（8分）（2021•金台区一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，大树的顶端恰好与路灯的灯泡在同一水平线上，小华激动地说：“妈妈，我可以通过测量您的影长，计算出这棵大树的高度．”小华让妈妈先站在D处，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），点B、D、F、G在同一水平线上，AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．求这棵大树的高度．

解：∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝1.6m，FG＝2m，
∴BF＝BD+DF＝BD+1.6，BG＝BD+DF+FG＝BD+3.6，
∴＝，
∴BD＝6.4m，BF＝6.4+1.6＝8（m），
∴＝，
解得，AB＝8．
答：这棵大树的高度是8m．
21．（10分）（2019秋•西城区校级期中）函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．
（1）二次函数的对称轴　x＝1　；
（2）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝　﹣1　．
（3）在给定的坐标系中画出（2）中二次函数的图象．
x
…





…
y
…





…

解：（1）二次函数的对称轴为x＝﹣＝1
故答案为：x＝1；
（2）将（0，3）代入y＝mx2﹣2mx﹣3m得：﹣3m＝3
∴m＝﹣1
故答案为：﹣1；
（3）列表如下：

画图如下：

22．（10分）（2022秋•临清市期中）△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM．
求证：（1）△ABC∽△MEC；
（2）AM2＝MD•ME．

证明：（1）∵∠BAC是直角，ME⊥BC，
∴∠BAC＝∠EMC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△MEC；
（2）∵∠BAC是直角，ME⊥BC，
∴∠C+∠E＝∠C+∠B，
∴∠E＝∠B，
∵点M为直角△ABC斜边的中点，
∴MA＝MB，∠MAD＝∠B；
而∠AMD＝∠EMA，
∴△MAD∽△MEA．
∴，
∴AM2＝MD•ME．
23．（10分）（2021•樊城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若圆的半径为10，DE：AE＝2，求AF的长．

（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH＝10，OH＝DE，
设AH＝x，
则AE＝EH﹣AH＝10﹣x，
∵DE：AE＝2，
∴OH＝DE＝2AE＝2（10﹣x）＝20﹣2x，
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即x2+（20﹣2x）2＝102，
解得x1＝6，x2＝10（不合题意，舍去），
∴AH＝6，
∵OH⊥AF，
∴AH＝FH＝AF，
∴AF＝2AH＝2×6＝12．

24．（12分）（2020春•沙坪坝区校级月考）某公司购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货单价为8元/件，该公司对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每月的销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足如表．
销售单价x（元/件）
…
10
12
14
15
…
每月销售量y（万件）
…
40
36
32
30
…
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并求出y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润为240万元？
（3）如果该产品每月的进货成本不超过160万元，那么当销售单价为多少元时，该产品每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设y＝kx+b（k≠0），
，得
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+60；
（2）设总利润为w元，由题意得，
w＝y（x﹣8）＝（﹣2x+60）（x﹣8）＝﹣2x2+76x﹣480，
当w＝240时，﹣2x2+76x﹣480＝240，
解得，x1＝18，x2＝20，
答：当销售单价为18元或20元时，每月获得的利润为240万元；
（3）∵进货成本不超过160万元，每件的成本为8元，
∴每月的进货量不超过万件，
∴y＝﹣2x+60≤20，
解得，x≥20，
∵w＝﹣2x2+76x﹣480＝﹣2（x﹣19）2+242，
∵﹣2＜0开口向下，对称轴为x＝19，且x≥20，
∴x＝20时，w取得最大值，此时w为240万元，
答：当销售单价为20元时，每月获得的利润最大，最大利润为240万元．
25．（12分）（2021秋•绿园区期末）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．可知△DAP∽△PBC．
（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．
（1）求证：△DAP∽△PBC；
（2）若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长；
（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．
（1）证明：∵∠DPB是△APD的外角，
∴∠DPB＝∠A+∠PDA，即∠DPC+∠CPB＝∠A+∠PDA，
∵∠A＝∠DPC，
∴∠PDA＝∠CPB，
∵∠A＝∠B，
∴△DAP∽△PBC；
（2）解：∵△DAP∽△PBC，
∴＝，
∵PD＝4，PC＝8，BC＝6，
∴＝，
解得：AP＝3；
（应用）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB＝∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB＝∠A+∠PCA，
∵∠A＝∠CPE，
∴∠ACP＝∠BPE，
∵∠A＝∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP＝CE时，∠CPE＝∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE＝∠A＝∠B，
∴CP＝CE不成立；
当PC＝PE时，△ACP≌△BPE，
则PB＝AC＝8，
∴AP＝AB﹣PB＝12﹣8＝4；
当EC＝EP时，∠CPE＝∠ECP，
∵∠B＝∠CPE，
∴∠ECP＝∠B，
∴PC＝PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴＝＝，即＝＝，
解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
26．（14分）（2021•益阳模拟）如图：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点P（m，n）是线段AB上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标．

解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B，
∴当y＝0时，﹣x﹣1＝0，
解得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点B的横坐标为2，
∴﹣x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴B（2，﹣3），
将A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点P在直线AB上，点Q在抛物线上，P（m，n），
∴n＝﹣m﹣1，Q（m，m2﹣2m﹣3）
∴PQ的长l＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，
∴当m＝＝时，PQ的长l最大＝﹣++2＝．
答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2+m+2，当m＝时，PQ最长，最大值为．
（3）由（2）可知，0＜PQ≤．
①当PQ为边时，BR∥PQ且BR＝PQ．
∵R是整点，B（2，﹣3），
∴PQ是正整数，
∴PQ＝1，或PQ＝2．
当PQ＝1时，此时P，Q不是整点，不合题意舍去，
当PQ＝2时，BR＝2，
此时点R的横坐标为2，纵坐标为﹣3+2＝﹣1或﹣3﹣2＝﹣5，
即R（2，﹣1）或R（2，﹣5）．
②当PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与BR互相平分，
当PQ＝1时，即：﹣x﹣1﹣（x2﹣2x﹣3）＝1，此时x不是整数，
当PQ＝2时，即﹣x﹣1﹣（x2﹣2x﹣3）＝2，此时x1＝1，x2＝0；
∴x1＝1，R与点C重合，即R（0，﹣3），
x2＝0；此时R（﹣2，﹣1）．
综上所述，符合条件的点R有，它的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣5）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣1）