还剩21页未读，
继续阅读
2022-2023八上期中 北京101中学石油分校数学试卷（解析版）
展开
这是一份2022-2023八上期中 北京101中学石油分校数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期初二年级数学学科期中试卷
一、选择题
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 3，4，8
【答案】C
【解析】
【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故A错误；
B、2+2=4，不能构成三角形，故B错误；
C、3+4＞5，能构成三角形，故C正确；
D、3+4＜8，不能构成三角形，故D错误．
故选C．
2. 不一定在三角形内部的线段是（ ）
A. 三角形的角平分线 B. 三角形的中线
C. 三角形的高 D. 以上皆不对
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.
故选C.
3. 张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（ ）
A. 带Ⅰ去 B. 带Ⅱ去 C. 带Ⅲ去 D. 三块全带去
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带Ⅱ去．
【详解】解：由图形可知，Ⅱ有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带Ⅱ去．
故选B．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用．
4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A. 72° B. 60° C. 50° D. 58°
【答案】D
【解析】
【分析】先找到对应角，再利用全等三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵图中两个三角形全等，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等.
5. 如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误是（ ）
A. EC=BD B. EF∥AB C. DF=BD D. AC∥FD
【答案】C
【解析】
【详解】∵△ABC≌△FED，
∴DE=CB，DF=AC，∠E=∠B，∠ACB=∠FDE，
∴DE-CD=CB-CD，EF∥AB，AC∥FD，
∴EC=BD，
∴选项A、B、D都正确，而DF和BD不能确定是否相等，
故选C．
6. 在△ABC中，∠A=55°，∠B 比∠C大25° ，则∠B 等于（ ）
A. 50° B. 100° C. 75° D. 125°
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠B比∠C大25°，
∴设∠B=x，则∠C=x-25°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=55°，
∴55°+x+x-25°=180°，
解得x=75°，
故选C.
7. 下列条件，可以确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A. ∠A+∠B+∠C＝180° B. ∠A+∠B＝∠C
C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A＝∠B＝2∠C
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的定义“有一个角为的三角形，叫做直角三角形”逐项分析即可.
【详解】A.，三个角的度数不确定，此项不符合题意
B.，根据三角形内角和定理可得，此项符合题意
C.，则是等边三角形，此项不符合题意
D.，根据三角形内角和定理可得则是等腰三角形，此项不符合题意
故选：B.
【点睛】本题考查了直角三角形的定义，熟记定义是解题关键.
8. 如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：
①；②；③．其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用AAS证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等，
∴现有条件不能够证明，故③错误；
综上，正确的是①②．
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
9. 如图，在五边形ABCDE中，，DP、CP分别平分、，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【详解】∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，
∴∠BCD+∠CDE=540°-α，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=270°-α，
∴∠P=180°-（270°-α）=α-90°．
故选：A．
【点睛】此题考查多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
10. 如图，正方形的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与交于点F，与延长线交于点E，四边形的面积是（ ）．
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△AEB和△AFD中
∴△AEB≌△AFD(ASA)，
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16.
故答案为A
考点：1、正方形的性质.2、三角形全等的判定.
二、填空题
11. 已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是__________三角形．
【答案】钝角
【解析】
【详解】解：因为△ABC的一个外角为50°，所以和它相邻的内角=130°，所以△ABC一定是钝角三角形．
故答案为：钝角．
12. 1.如图，在中，是角平分线，是中线，若cm，则_______cm，若，则=_____．
【答案】 ①. 12 ②. 36
【解析】
【详解】∵是角平分线，cm，
∴（cm），
是中线，，
∴．
故答案为：12，36．
13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是____________
【答案】11或13
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；
②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．
故答案为11或13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14. 已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和是___________．
【答案】1440°##1440度
【解析】
【分析】根据多边形外角和定理可求出此正多边形的边数，然后根据多边形的内角和定理求出多边形的内角和．
【详解】解：∵这个正多边形的边数为360°÷36°＝10．
∴这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故答案为：1440°．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，多边形的内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
15. 如图，直线，，，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平行线的性质可得，利用三角形外角的定义和性质可得，代入数值即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是熟练掌握“两直线平行，内错角相等”“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．
16. 如图所示: 要测量河岸相对的两点A、B之间的距离, 先从B处出发与AB成90°角方向, 向前走50米到C处立一根标杆, 然后方向不变继续朝前走50米到D处, 在D处转90°沿DE方向再走17米, 到达E处, 使A、C与E在同一直线上, 那么测得A、B的距离为__________米.
【答案】17
【解析】
【详解】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向，
∴∠ABC=90°，
∵BC=50m，CD=50m，∠EDC=90°
又∵∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE，
∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17
∴AB=17．
17. 中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，底角的度数为_______________．
【答案】或
【解析】
【分析】当为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，先求得，再由三角形内角和定理可求得；同理，当为钝角三角形时，可求得的度数，再利用等腰三角形和三角形外角的性质可知，由此可解．
【详解】解：分两种情况：
当为锐角三角形时，
如图1，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴；
当为钝角三角形时，
如图2，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上可知的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，注意分类讨论是解题的关键，否则就会漏解．
18. 在中，是中线，已知，，则中线的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】通过倍长中线，构造，从而得到，利用三角形三边关系可得，再通过即可求解．
【详解】解：如图，延长至E，令，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据三角形的三边关系可得，
即，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用等，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题：
19. 已知：如图，
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】结合已知条件再加上公共边AD根据“AAS”即可证得△CAB≌△DAB，根据全等三角形的对应边相等即得结果．
【详解】证明:
20. 如图，校园有两条路和，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P（保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别作线段的垂直平分线和的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可知它们的交点即为点P．
【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，和的角平分线，两线交于P，点P为所求灯柱的位置．
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BD=DF．
（1）求证：CF=EB．
（2）求证：AB=AF+2EB．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，即可得出结论；
（2）通过HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，得AC=AE，再进行等量代换即可．
【小问1详解】
证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△CDF与Rt△EBD中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB；
【小问2详解】
证明：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵CF=BE，
∴AB=AC+EB=AF+2EB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质是解题的关键．
22. 如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D．
（1）试确定、、之间的数量关系；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）
（2）的周长为a
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，通过等量代换可得，，进而得到，，即可推出．
（2）利用（1）中结论，通过等量代换可得．
【小问1详解】
解：由题意知，平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
即．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
由（1）知，
∴，
即的周长为a．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形“等角对等边”等知识点，掌握上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形称为“基本图形”，且各点的坐标分别为，，，．
（1）画出四边形，使它与“基本图形”关于x轴成轴对称，并求出，的坐标．（ ， ），（ ， ）；
（2）画出四边形，使它与“基本图形”关于y轴成轴对称；并求出，的坐标（ ， ），（ ， ）；
（3）画出四边形，使之与前面三个图形组成的图形是轴对称图形．
【答案】（1）4，，1，；图形见解析
（2），3，，1；图形见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；
（2）根据关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；
（3）根据轴对称图形的特点可知，四边形关于y轴的轴对称图形即为四边形．
【小问1详解】
解：根据四边形与四边形关于x轴对称，可知对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，
因此，，，，描点连线可得四边形；
【小问2详解】
解：根据四边形与四边形关于y轴对称，可知对应点的纵坐标相等、横坐标互为相反数，
因此，，，，描点连线可得四边形；
【小问3详解】
解：如图所示，作四边形关于y轴的轴对称图形，该图形即为四边形．
【点睛】本题考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴，y轴成轴对称图形的对应点坐标的特点．
24. 如图，平分，垂直平分交的延长线于F，交于E，连接，试判断、的大小关系，并说明理由．
【答案】．理由见解析
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，利用外角的 性质得，再利用角平分线的定义和角的和差关系，即可推出．
【详解】解：．理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
又∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形外角的定义和性质等，难度不大，解题的关键是通过等量代换得出与的联系．
25. 【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
【答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A．
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“”证明；
（2）过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等；
（3）以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等；
（4）根据三种情况结论，不小于即可．
【详解】解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道，
故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL．
（2）如图，
过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，
，且、都是钝角，
，
即，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）如图，和不全等；
以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等．
（4）若，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：
①点B到x轴距离为 ，到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系： ．
【答案】（1）（3，-1）
（2）①n，m；②（-n，0），（0，-m-n），（0，）；③
【解析】
【分析】（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，由题意可证得，故CD=OA=2,BD=OC=1，OD=OC+CD=3，即可知B点坐标为（3，-1）．
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE
①因为B点在第一象限，故B点横坐标为B点到y轴距离，B点纵坐标为B点到x轴的距离．
②由题意可证得，故可求为等腰三角形，则可证得，便可知OC=n，OA=OF+OC=m+n，DO=OF-OE=m-n即点C的坐标为（-n，0），点A的坐标为（0，-m-n），点D的坐标为（0，）．
③由②问知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n，故有．
【小问1详解】
过B点作x轴垂线，垂足为D
由题意知AO=2，OC=1，AC=BC，
∵∠OCA+∠OAC=90°，∠OCA+∠DCB=90°
∴∠OAC=∠BCD，
和中有
∴
∴CD=OA=2,BD=OC=1，OD=OC+CD=3
故B点坐标为（3，-1）
【小问2详解】
过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE
①∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴m＞0，n＞0
故点B到x轴的距离为n，到y轴的距离为m．
②由题意知BC=AC，
∵∠BCF+∠OAC=90°，∠OCA+∠OAC=90°
∴
在和中有
∴
∴BF=CO，OA=CF
由①知BF=n，OF=m
故OC=n，OA=OF+OC=m+n
∵AD平分∠BAC
∴∠OAC=∠OAE
∴∠OCA+∠OAC=∠OEA+∠OAE
∴AC=AE
∴为等腰三角形，AD为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴CO=OE=BF，∠DCO+∠OCA=∠DEO+∠OEA=90°
∵∠ODE+∠OED=90°，∠OED+∠BEF=90°
∴∠ODE=∠BEF
在和中有
∴
∴EF=DO
∴DO=OF-OE=m-n
则点C的坐标为（-n，0），点A的坐标为（0，-m-n），点D的坐标为（0，）．
③由②可知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n
故有
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离点P的坐标为，那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即．点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即．AAS表示角角边,即已知两个三角形的两个角都相同,且两角夹边以外的任意一条边长度相等,即可证明两个三角形全等．
2022-2023学年第一学期初二年级数学学科期中试卷
一、选择题
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 3，4，8
【答案】C
【解析】
【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故A错误；
B、2+2=4，不能构成三角形，故B错误；
C、3+4＞5，能构成三角形，故C正确；
D、3+4＜8，不能构成三角形，故D错误．
故选C．
2. 不一定在三角形内部的线段是（ ）
A. 三角形的角平分线 B. 三角形的中线
C. 三角形的高 D. 以上皆不对
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.
故选C.
3. 张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（ ）
A. 带Ⅰ去 B. 带Ⅱ去 C. 带Ⅲ去 D. 三块全带去
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带Ⅱ去．
【详解】解：由图形可知，Ⅱ有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带Ⅱ去．
故选B．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用．
4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A. 72° B. 60° C. 50° D. 58°
【答案】D
【解析】
【分析】先找到对应角，再利用全等三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵图中两个三角形全等，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等.
5. 如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误是（ ）
A. EC=BD B. EF∥AB C. DF=BD D. AC∥FD
【答案】C
【解析】
【详解】∵△ABC≌△FED，
∴DE=CB，DF=AC，∠E=∠B，∠ACB=∠FDE，
∴DE-CD=CB-CD，EF∥AB，AC∥FD，
∴EC=BD，
∴选项A、B、D都正确，而DF和BD不能确定是否相等，
故选C．
6. 在△ABC中，∠A=55°，∠B 比∠C大25° ，则∠B 等于（ ）
A. 50° B. 100° C. 75° D. 125°
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠B比∠C大25°，
∴设∠B=x，则∠C=x-25°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=55°，
∴55°+x+x-25°=180°，
解得x=75°，
故选C.
7. 下列条件，可以确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A. ∠A+∠B+∠C＝180° B. ∠A+∠B＝∠C
C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A＝∠B＝2∠C
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的定义“有一个角为的三角形，叫做直角三角形”逐项分析即可.
【详解】A.，三个角的度数不确定，此项不符合题意
B.，根据三角形内角和定理可得，此项符合题意
C.，则是等边三角形，此项不符合题意
D.，根据三角形内角和定理可得则是等腰三角形，此项不符合题意
故选：B.
【点睛】本题考查了直角三角形的定义，熟记定义是解题关键.
8. 如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：
①；②；③．其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用AAS证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等，
∴现有条件不能够证明，故③错误；
综上，正确的是①②．
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
9. 如图，在五边形ABCDE中，，DP、CP分别平分、，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【详解】∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，
∴∠BCD+∠CDE=540°-α，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=270°-α，
∴∠P=180°-（270°-α）=α-90°．
故选：A．
【点睛】此题考查多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
10. 如图，正方形的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与交于点F，与延长线交于点E，四边形的面积是（ ）．
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△AEB和△AFD中
∴△AEB≌△AFD(ASA)，
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16.
故答案为A
考点：1、正方形的性质.2、三角形全等的判定.
二、填空题
11. 已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是__________三角形．
【答案】钝角
【解析】
【详解】解：因为△ABC的一个外角为50°，所以和它相邻的内角=130°，所以△ABC一定是钝角三角形．
故答案为：钝角．
12. 1.如图，在中，是角平分线，是中线，若cm，则_______cm，若，则=_____．
【答案】 ①. 12 ②. 36
【解析】
【详解】∵是角平分线，cm，
∴（cm），
是中线，，
∴．
故答案为：12，36．
13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是____________
【答案】11或13
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；
②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．
故答案为11或13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14. 已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和是___________．
【答案】1440°##1440度
【解析】
【分析】根据多边形外角和定理可求出此正多边形的边数，然后根据多边形的内角和定理求出多边形的内角和．
【详解】解：∵这个正多边形的边数为360°÷36°＝10．
∴这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故答案为：1440°．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，多边形的内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
15. 如图，直线，，，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平行线的性质可得，利用三角形外角的定义和性质可得，代入数值即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是熟练掌握“两直线平行，内错角相等”“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．
16. 如图所示: 要测量河岸相对的两点A、B之间的距离, 先从B处出发与AB成90°角方向, 向前走50米到C处立一根标杆, 然后方向不变继续朝前走50米到D处, 在D处转90°沿DE方向再走17米, 到达E处, 使A、C与E在同一直线上, 那么测得A、B的距离为__________米.
【答案】17
【解析】
【详解】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向，
∴∠ABC=90°，
∵BC=50m，CD=50m，∠EDC=90°
又∵∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE，
∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17
∴AB=17．
17. 中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，底角的度数为_______________．
【答案】或
【解析】
【分析】当为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，先求得，再由三角形内角和定理可求得；同理，当为钝角三角形时，可求得的度数，再利用等腰三角形和三角形外角的性质可知，由此可解．
【详解】解：分两种情况：
当为锐角三角形时，
如图1，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴；
当为钝角三角形时，
如图2，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上可知的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，注意分类讨论是解题的关键，否则就会漏解．
18. 在中，是中线，已知，，则中线的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】通过倍长中线，构造，从而得到，利用三角形三边关系可得，再通过即可求解．
【详解】解：如图，延长至E，令，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据三角形的三边关系可得，
即，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用等，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题：
19. 已知：如图，
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】结合已知条件再加上公共边AD根据“AAS”即可证得△CAB≌△DAB，根据全等三角形的对应边相等即得结果．
【详解】证明:
20. 如图，校园有两条路和，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P（保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别作线段的垂直平分线和的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可知它们的交点即为点P．
【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，和的角平分线，两线交于P，点P为所求灯柱的位置．
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BD=DF．
（1）求证：CF=EB．
（2）求证：AB=AF+2EB．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，即可得出结论；
（2）通过HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，得AC=AE，再进行等量代换即可．
【小问1详解】
证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△CDF与Rt△EBD中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB；
【小问2详解】
证明：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵CF=BE，
∴AB=AC+EB=AF+2EB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质是解题的关键．
22. 如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D．
（1）试确定、、之间的数量关系；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）
（2）的周长为a
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，通过等量代换可得，，进而得到，，即可推出．
（2）利用（1）中结论，通过等量代换可得．
【小问1详解】
解：由题意知，平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
即．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
由（1）知，
∴，
即的周长为a．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形“等角对等边”等知识点，掌握上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形称为“基本图形”，且各点的坐标分别为，，，．
（1）画出四边形，使它与“基本图形”关于x轴成轴对称，并求出，的坐标．（ ， ），（ ， ）；
（2）画出四边形，使它与“基本图形”关于y轴成轴对称；并求出，的坐标（ ， ），（ ， ）；
（3）画出四边形，使之与前面三个图形组成的图形是轴对称图形．
【答案】（1）4，，1，；图形见解析
（2），3，，1；图形见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；
（2）根据关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；
（3）根据轴对称图形的特点可知，四边形关于y轴的轴对称图形即为四边形．
【小问1详解】
解：根据四边形与四边形关于x轴对称，可知对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，
因此，，，，描点连线可得四边形；
【小问2详解】
解：根据四边形与四边形关于y轴对称，可知对应点的纵坐标相等、横坐标互为相反数，
因此，，，，描点连线可得四边形；
【小问3详解】
解：如图所示，作四边形关于y轴的轴对称图形，该图形即为四边形．
【点睛】本题考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴，y轴成轴对称图形的对应点坐标的特点．
24. 如图，平分，垂直平分交的延长线于F，交于E，连接，试判断、的大小关系，并说明理由．
【答案】．理由见解析
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，利用外角的 性质得，再利用角平分线的定义和角的和差关系，即可推出．
【详解】解：．理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
又∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形外角的定义和性质等，难度不大，解题的关键是通过等量代换得出与的联系．
25. 【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
【答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A．
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“”证明；
（2）过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等；
（3）以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等；
（4）根据三种情况结论，不小于即可．
【详解】解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道，
故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL．
（2）如图，
过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，
，且、都是钝角，
，
即，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）如图，和不全等；
以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等．
（4）若，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：
①点B到x轴距离为 ，到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系： ．
【答案】（1）（3，-1）
（2）①n，m；②（-n，0），（0，-m-n），（0，）；③
【解析】
【分析】（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，由题意可证得，故CD=OA=2,BD=OC=1，OD=OC+CD=3，即可知B点坐标为（3，-1）．
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE
①因为B点在第一象限，故B点横坐标为B点到y轴距离，B点纵坐标为B点到x轴的距离．
②由题意可证得，故可求为等腰三角形，则可证得，便可知OC=n，OA=OF+OC=m+n，DO=OF-OE=m-n即点C的坐标为（-n，0），点A的坐标为（0，-m-n），点D的坐标为（0，）．
③由②问知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n，故有．
【小问1详解】
过B点作x轴垂线，垂足为D
由题意知AO=2，OC=1，AC=BC，
∵∠OCA+∠OAC=90°，∠OCA+∠DCB=90°
∴∠OAC=∠BCD，
和中有
∴
∴CD=OA=2,BD=OC=1，OD=OC+CD=3
故B点坐标为（3，-1）
【小问2详解】
过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE
①∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴m＞0，n＞0
故点B到x轴的距离为n，到y轴的距离为m．
②由题意知BC=AC，
∵∠BCF+∠OAC=90°，∠OCA+∠OAC=90°
∴
在和中有
∴
∴BF=CO，OA=CF
由①知BF=n，OF=m
故OC=n，OA=OF+OC=m+n
∵AD平分∠BAC
∴∠OAC=∠OAE
∴∠OCA+∠OAC=∠OEA+∠OAE
∴AC=AE
∴为等腰三角形，AD为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴CO=OE=BF，∠DCO+∠OCA=∠DEO+∠OEA=90°
∵∠ODE+∠OED=90°，∠OED+∠BEF=90°
∴∠ODE=∠BEF
在和中有
∴
∴EF=DO
∴DO=OF-OE=m-n
则点C的坐标为（-n，0），点A的坐标为（0，-m-n），点D的坐标为（0，）．
③由②可知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n
故有
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离点P的坐标为，那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即．点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即．AAS表示角角边,即已知两个三角形的两个角都相同,且两角夹边以外的任意一条边长度相等,即可证明两个三角形全等．
相关试卷
2022-2023学年北京市陈经纶中学分校望京实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年北京市陈经纶中学分校望京实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020北京陈经纶中学分校初一（上）期中数学（教师版）： 这是一份2020北京陈经纶中学分校初一（上）期中数学（教师版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，按要求解答，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学分校九年级（上）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学分校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
