人教B版 (2019)必修 第二册6.2.2 直线上向量的坐标及其运算学案设计

第2课时　两点间的距离、中点坐标公式及向量平行

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　平面直角坐标系内两点之间的距离公

式与中点坐标公式

设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，AB＝||＝.这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式．

x＝，y＝.这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式．

知识点二　向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.

状元随笔　已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，

(1)当≠时，＝λ．

这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．

(2)x1y2－x2y1＝0.

这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．

(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．

基 础 自 测

1．已知A(1，2)，B(－3，4)，的中点坐标为(　　)

A.(－4，2)　  B．(4，2)　　

C．(－1，3)　 D．(1，－3)

2．下列各组向量相互平行的是(　　)

A．a＝(－1，2)，b＝(3，5)

B．a＝(1，2)，b＝(2，1)

C．a＝(2，－1)，b＝(3，4)

D．a＝(－2，1)，b＝(4，－2)

3．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　)

A．－9      B．9

C．3      D．－3

4．已知点A(2，－4)，B(2，3)，则||＝(　　)

A．1      B．7

C．      D．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式

例1　(1)求线段AB的中点坐标：

①A(2，1)，B(4，3)；②A(－1，2)，B(3，6);

(2)已知点A(2，－1)，B(－3，11)．

①求||的值；

②若点C满足＋3＝0，求点C坐标．

跟踪训练1　(1)在平面直角坐标系内，已知三点A(2，0)，B(1，1)，C(3，5)，求：

①的坐标；

②||的值；

(2)已知点A(－1，1)，B(2，－1)．

①若C是线段AB的中点，求C点坐标；

②若直线AB上的点D满足＝－2，求D点坐标．

题型2　向量共线的判定[经典例题]

例2　(1)下列各对向量中，共线的是(　　)

A．a＝(2，3)，b＝(3，－2)

B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)

C．a＝(，－1)，b＝(1，)

D．a＝(1，)，b＝(，2)

(2)已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与直线CD平行吗？

状元随笔　(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或＝λ验证．

(2)判断∥，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．

方法归纳

向量共线的判定方法

跟踪训练2　下列各组向量中，共线的是(　　)

A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)

B．a＝(2，3)，b＝(3，2)

C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)

D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)

状元随笔　＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则共线．

题型3　三点共线问题[经典例题]

例3　(1)在平面直角坐标系中，已知A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C三点共线．

(2)若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝(　　)

A．13　　  B．－13

C．9　     D．－9

方法归纳

判断向量(或三点)共线的三个步骤

跟踪训练3　设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．

方法一　由已知求，利用＝λ，求k.

方法二　与共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.

题型4　向量共线的应用[经典例题]

例4　如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用与共线，求M.

方法归纳

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

跟踪训练4　若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1，5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．

设D(x，y)，由已知得 ＝，求D.

第2课时　两点间的距离、中点坐标公式及向量平行

新知初探·自主学习

[基础自测]

1．解析：由A(1，2)，B(－3，4)，则中点坐标为()＝(－1，3)．

答案：C

2．解析：D中，b＝－2a.

答案：D

3．解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.

答案：B

4．解析：因为点A(2，－4)，B(2，3)，所以＝(0，7)，所以||＝＝7.

答案：B

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)①∵A(2，1)，B(4，3)，

∴x＝＝3，y＝＝2，

∴AB的中点坐标为(3，2)；

②∵A(－1，2)，B(3，6)，

∴x＝＝1，y＝＝4，

∴AB的中点坐标为(1，4)；

(2)①因为＝(－5，12)，

所以||＝＝13；

②设点C的坐标为(x，y)，

则＝(x＋3，y－11)．

由＋3＝(3x＋4，3y－21)＝0，

得解得

所以点C的坐标为(－，7)．

跟踪训练1　解析：(1)①＝(1，1)－(2，0)＝(－1，1)，

＝(3，5)－(2，0)＝(1，5)．

②因为＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，

所以||＝＝2.

(2)①设C(x，y)，又A(－1，1)，B(2，－1)，

则＝(x＋1，y－1)，＝(2－x，－1－y)，

∵C是线段AB的中点，

∴＝，即，解得，

∴C(，0)

②设D(a，b)，又A(－1，1)，B(2，－1)

＝(a＋1，b－1)，＝(a－2，b＋1)，

∵＝－2，

∴，解得，

∴D(1，－)．

例2　【解析】　(1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，)，b＝(，2)，所以b＝a.

(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，

＝(2－1，7－5)＝(1，2)，

因为2×2－1×4＝0，所以∥.

又＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，

＝(2，4)，2×4－2×6≠0，

所以与不平行．

所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．

所以直线AB与CD平行．

【答案】　(1)D　(2)见解析

跟踪训练2　解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．

答案：D

例3　【解析】　(1)由已知得

＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，

＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)．

因为2×8＝4×4，所以

∥，又与有公共点A，

因此A，B，C三点共线．

(2)因为A，B，C三点共线，所以(－5－3)(y＋6)－(6－3)(2＋6)＝0，

所以y＝－9.

【答案】　(1)见解析　(2)D

跟踪训练3　解析：方法一　∵A，B，C三点共线，

∴存在实数λ，使得＝λ.

∵＝＝(4－k，－7)，

＝＝(10－k，k－12)，

∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，

即

解得k＝－2或k＝11.

方法二　由题意知共线．

∵＝＝(4－k，－7)，＝＝(10－k，k－12)，

∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，

∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.

例4　【解析】　∵＝＝(0，5)＝(0，)，∴C(0，)．

∵＝＝(4，3)＝(2，)，∴D(2，)．

设M(x，y)，则＝(x，y－5)，

＝(2－0，－5)＝(2，－)．

∵∥，

∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①

又＝(x，y－)，＝(4，)，

∵∥，∴x－4(y－)＝0，即7x－16y＝－20.②

联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．

跟踪训练4　解析：设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(4，1)，由题意知＝，即(x－1，y－5)＝(4，1)，得解得因此，D点的坐标为(5，6)．