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广东省深圳市南山区中科先进实验学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
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这是一份广东省深圳市南山区中科先进实验学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案),共23页。试卷主要包含了下列说法中,错误的是等内容,欢迎下载使用。
南山区中科先进实验学校2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一.选择题(每题3分,共30分)
1.如图,某几何体由6个大小相同的小立方体搭成,其左视图是( )
A. B. C. D.
2. 下列说法中,错误的是( )
A.矩形的对角线相等 B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.菱形的四条边相等 D.四个内角都相等的四边形是矩形
3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发现,摸出红球的频率稳定在0.3左右,则袋子中红球的个数最有可能是( )
A.14 B.12 C.6 D.4
4. 方程2x2-5x+3=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根
5. 如图,△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,若C1为OC的中点,且=3,则△ABC的面积为( )
A.15 B.12 C.9 D.6
6. 关于反比例函数y=-,下列说法不正确的是( )
A.函数图象分别位于第二、四象限 B.函数图象关于原点成中心对称
C.函数图象经过点(-6,-2) D.当x<0时,y随x的增大而增大
7. 如图,AB∥CD∥EF,AF、BE交于点G,下列比例式错误的是( )
A. B. C. D.
8. 反比例函数y= 与y=在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为( )
A. B.2 C.3 D.1
9. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,且AC=6,BD=8,过A点作AE垂直BC,交BC于点E,则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,下面五个结论:①CF=2AF;②AD=CD;③DF=DC;④△AEF∽△CAB;⑤S四边形CDEF=S△ABF.其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二.填空题(每题3分,共15分)
11.已知,则的值为 .
12.如图,小明想测量院子里一棵树的高度,在某一时刻,他站在该树的影子上,前后移动,直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠.此时,他与该树的水平距离2m,小明身高1.5m,他的影长是1.2m,那么该树的高度为 .
13.设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2021=0的两个实数根,则m2+3m+n= .
14.如图,在平行四边形ABCD中,点E在DA的延长线上,且AE=AD,连接CE交BD于点F,交AB于点G,则S△BGC:S四边形ADCG的值是 .
15.如图,矩形ABCD的两个顶点A、B分别落在x、y轴上,顶点C、D位于第一象限,且OA=3,OB=2,对角线AC、BD交于点G,若曲线y=(x>0)经过点C、G,则k= .
三.解答题(共55分)
16.(6分)解方程:
(1)2x2+3x-1=0; (2)(2x+1)2=3(2x+1).
17.(7分)为庆祝中国共产党建党100周年,某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩,跟党走”作文大赛.该校对参赛作文分年级进行了统计,并绘制了图1和图2不完整的统计图.
请根据图中信息回答下面的问题:
(1)参赛作文的篇数共 篇;
(2)图中:m= ,扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 °;
(3)把条形统计图补充完整;
(4)经过评审,全校共有4篇作文获得特等奖,其中有一篇来自七年级,学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上,请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率.
18.(8分)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=2,BD=4,求OE的长.
19.(8分)如图,操场上有一根旗杆AH,为测量它的高度,在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE,两杆相距30米,测得视线AC与地面的交点为F,视线AE与地面的交点为G,并且H、B、F、D、G都在同一直线上,测得BF为3米,DG为5米,求旗杆AH的高度?
20.(8分)某服装厂生产一批服装,2019年该类服装的出厂价是200元/件,2020年,2021年连续两年改进技术,降低成本,2021年该类服装的出厂价调整为162元/件.
(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同,求平均下降率.
(2)2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装,以200元/件销售时,平均每天可销售20件.为了减少库存,商场决定降价销售.经调查发现,单价每降低5元,每天可多售出10件,如果每天盈利1150元,单价应降低多少元?
21.(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=3x+b经过点A(-1,0),与y轴正半轴交于B点,与反比例函数y=(x>0)交于点C,且BC=2AB,BD∥x轴交反比例函数y=(x>0)于点D,连接AD.
(1)求b、k的值;
(2)求△ABD的面积;
(3)若E为射线BC上一点,设E的横坐标为m,过点E作EF∥BD,交反比例函数y=(x>0)的图象于点F,且EF=BD,求m的值.
22.(9分)问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边DC,DA的中点,四边形DFGE为矩形,连接BG.
操作发现:
(1)①图1中= .
②创新小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转至如图2所示的位置,点G恰好落在边DA上,则= .
拓展探究:
(2)勤奋小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周,发现的大小不变,请仅就图3的情形给出证明.
实践探究:
(3)当矩形DFGE旋转至B、G、E三点共线时,直接写出线段CE的长.
参考答案与试题解析
一.选择题
1.如图,某几何体由6个大小相同的小立方体搭成,其左视图是( )
A. B. C. D.
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
【解答】解:从左边看有两列,左边一列是三个小正方形,右边一列是两个小正方形.
故选:D.
2.下列说法中,错误的是( )
A.矩形的对角线相等
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.菱形的四条边相等
D.四个内角都相等的四边形是矩形
【分析】由矩形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可.
【解答】解:A、∵矩形的对角线相等,
∴选项A不符合题意;
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形,
∴选项B符合题意;
C、∵菱形的四条边相等,
∴选项C不符合题意;
D、∵四个内角都相等的四边形是矩形,
∴选项D不符合题意;
故选:B.
3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发现,摸出红球的频率稳定在0.3左右,则袋子中红球的个数最有可能是( )
A.14 B.12 C.6 D.4
【分析】根据红球出现的频率和球的总数,可以计算出红球的个数.
【解答】解:由题意可得,
20×0.3=6(个),
即袋子中红球的个数最有可能是6个,
故选:C.
4.方程2x2-5x+3=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根
【分析】计算出判别式的值即可作出判断.
【解答】解:∵a=2,b=-5,c=3,
∴Δ=(-5)2-4×2×3=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
故选:C.
5.如图,△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,若C1为OC的中点,且=3,则△ABC的面积为( )
A.15 B.12 C.9 D.6
【分析】根据位似图形的性质得到AC∥A1C1,求出,△ABC与△A1B1C1的相似比,根据相似三角形的性质计算,得到答案.
【解答】解:∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,
∴AC∥A1C1,
∵C1为OC的中点,
∴==,
∴=()2=,
∵=3,
∴△ABC的面积=12,
故选:B.
6.关于反比例函数y=-,下列说法不正确的是( )
A.函数图象分别位于第二、四象限
B.函数图象关于原点成中心对称
C.函数图象经过点(-6,-2)
D.当x<0时,y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断;根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断.
【解答】解:反比例函数y=-,k=-12<0,
A、函数图象分别位于第二、四象限,故本选项说法正确;
B、函数图象关于原点成中心对称,故本选项说法正确;
C、x=-6时,y=2≠-2,故本选项说法不正确;
D、当k<0,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每一象限内y随x的增大而增大,故本选项说法正确;
故选:C.
7.如图.AB∥CD∥EF,AF、BE交于点G,下列比例式错误的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可.
【解答】解:A、由AB∥CD∥EF,则,所以A选项的结论正确;
B、由AB∥CD∥EF,则,所以B选项的结论正确;
C、由AB∥CD∥EF,则,所以C选项的结论正确;
D、由AB∥CD∥EF,则,所以D选项的结论错误;
故选:D.
8.反比例函数y= 与y=在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为( )
A. B.2 C.3 D.1
【分析】分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积,进而可得出结论.
【解答】解:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,
∵由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形OEAC=6,S△AOE=3,S△BOC=,
∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-=.
故选:A.
9.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,且AC=6,BD=8,过A点作AE垂直BC,交BC于点E,则的值为( )
A. B. C. D.
【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长,再根据面积法即可得到AE的长,最后根据勾股定理进行计算,即可得到BE的长,进而得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴CO=AC=3,BO=BD=4,AO⊥BO,
∴BC===5,
∵S菱形ABCD=AC•BD=BC×AE,
∴AE==.
在Rt△ABE中,BE===,
∴CE=BC-BE=5-=,
∴的值为,
故选:C.
10.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,下面五个结论:
①CF=2AF;②AD=CD;③DF=DC;④△AEF∽△CAB;⑤S四边形CDEF=S△ABF.其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【分析】依据△AEF∽△CBF,即可得出CF=2AF;依据△BAE∽△ADC,即可得到AD=CD;过D作DM∥BE交AC于N,依据DM垂直平分CF,即可得出DF=DC;依据∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,即可得到△AEF∽△CAB;设△AEF的面积为s,则△ABF的面积为2s,△CEF的面积为2s,△CDE的面积为3s,四边形CDEF的面积为5s,进而得出S四边形CDEF=S△ABF.
【解答】解:∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴,
∵AE=AD=BC,
∴=,
∴CF=2AF,故①正确;
设AE=a,AB=b,则AD=2a,
∵BE⊥AC,∠BAD=90°,
∴∠ABE=∠DAC,而∠BAE=∠ADC=90°,
∴△BAE∽△ADC,∴,即b=a,
∴AD=CD,故②正确;
如图,过D作DM∥BE交AC于N,
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE=BC,
∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,
∴DM垂直平分CF,
∴DF=DC,故③正确;
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∵BE⊥AC于点F,
∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故④正确;
如图,连接CE,
由△AEF∽△CBF,可得,
设△AEF的面积为s,则△ABF的面积为2s,△CEF的面积为2s,
∴△ACE的面积为3s,
∵E是AD的中点,∴△CDE的面积为3s,
∴四边形CDEF的面积为5s,
∴S四边形CDEF=S△ABF,故⑤正确.故选:D.
二.填空题
11.已知,则的值为 - .
【分析】设===k(k≠0)得出a=2k,b=3k,c=4k,然后将其代入,即可求得答案.
【解答】解:设===k(k≠0),
∴a=2k,b=3k,c=4k,
∴==-;故答案为:-.
12.如图,小明想测量院子里一棵树的高度,在某一时刻,他站在该树的影子上,前后移动,直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠.此时,他与该树的水平距离2m,小明身高1.5m,他的影长是1.2m,那么该树的高度为 4m .
【分析】根据题意,易证得△ACE∽△ABD,根据相似三角形的性质得到=,然后利用比例性质求出BD即可.
【解答】解:如图,CE=1.5m,
∵CE∥BD,∴△ACE∽△ABD,
∴=,即=,
∴BD=4(m),即树的高度为4m.
故答案为:4m.
13.设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2021=0的两个实数根,则m2+3m+n= 2019 .
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n=-2,m2+2m=2021,将其代入原式=m2+2m+m+n=m2+2m+(m+n)计算可得.
【解答】解:∵m,n分别为一元二次方程x2+2x-2021=0的两个实数根,
∴m+n=-2,m2+2m=2021,
则原式=m2+2m+m+n=m2+2m+(m+n)=2021-2=2019.
故答案为:2019.
14.如图,在平行四边形ABCD中,点E在DA的延长线上,且AE=AD,连接CE交BD于点F,交AB于点G,则S△BGC:S四边形ADCG的值是 3:5 .
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC,AD=BC,AB∥CD,再证明△AEG∽△BCG,利用相似的性质得到=,证明△EAG∽△EDC,利用相似比得到=,所以S四边形ADCG=15S△EAG,然后计算S△BGC:S四边形ADCG的值.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,AB∥CD,
∵AE∥BC,∴△AEG∽△BCG,
∴=()2=()2=()2=,即S△BCG=9S△AEG,
∵AG∥CD,∴△EAG∽△EDC,
∴=()2=()2=()2=,即S△EDC=16S△EAG,
∴S四边形ADCG=15S△EAG,
∴S△BGC:S四边形ADCG=9S△AEG:15S△EAG=3:5.故答案为:3:5.
15.如图,矩形ABCD的两个顶点A、B分别落在x、y轴上,顶点C、D位于第一象限,且OA=3,OB=2,对角线AC、BD交于点G,若曲线y=(x>0)经过点C、G,则k= .
【分析】分别过C、G两点作x轴的垂线,交x轴于点E、F,则CE∥GF,设C(m.n),利用矩形的性质可得AG=CG,根据平行线得性质则可求得G点横坐标,且可求得G(,n),根据反比例函数系数k=xy,得到mn=×n,求得m=1,作CH⊥y轴于H,通过证得△AOB∽△BHC,求得CE,得出C得坐标(1,),可求得k.
【解答】解:如图,分别过C、G两点作x轴的垂线,交x轴于点E、F,∴CE∥GF,
设C(m.n),
∵四边形ABCD是矩形,∴AG=CG,
∴GF=CE,EF=(3-m),
∴OF=(3-m)+m=+m,∴G(,n),
∵曲线y=(x>0)经过点C、G,
∴mn=×n,解得m=1,
作CH⊥y轴于H,∴CH=1,
∵∠ABC=90°,∴∠CBH+∠ABO=90°,
∵∠OAB+∠ABO=90°,∴∠OAB=∠CBH,
∵∠AOB=∠BHC=90°,∴△AOB∽△BHC,
∴=,即=,∴BH=,
∴OH=+2=,∴C(1,),
∴k=1×=;故答案为.
三.解答题
16.解方程
(1)2x2+3x-1=0; (2)(2x+1)2=3(2x+1).
【分析】(1)利用公式法求解可得;
(2)利用因式分解法求解可得.
【解答】解:(1)2x2+3x-1=0,
∵a=2,b=3,c=-1,
∴Δ=32-4×2×(-1)=17>0,
∴x==
∴x1=,x2=;
(2)(2x+1)2=3(2x+1),
(2x+1)2-3(2x+1)=0,
则(2x+1)(2x-2)=0,
∴2x+1=0或2x-2=0,
∴x1=-0.5,x2=1.
17.为庆祝中国共产党建党100周年,某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩,跟党走”作文大赛.该校对参赛作文分年级进行了统计,并绘制了图1和图2不完整的统计图.
请根据图中信息回答下面的问题:
(1)参赛作文的篇数共 100 篇;
(2)图中:m= 45 ,扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为 126 °;
(3)把条形统计图补充完整;
(4)经过评审,全校共有4篇作文获得特等奖,其中有一篇来自七年级,学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上,请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率.
【分析】(1)根据七年级的作文篇数和所占的百分比,可以计算出参赛作文的总篇数;
(2)根据统计图中的数据,可以计算出m的值和扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数;
(3)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据,可以计算出八年级参赛作文的篇数,从而可以将条形统计图补充完整;
(4)根据题意,可以画出相应的树状图,从而可以求得七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率.
【解答】解:(1)参赛作文的篇数共20÷20%=100(篇),
故答案为:100;
(2)m%=×100%=45%,∴m=45,
扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为:360°×=126°,
故答案为:45,126;
(3)八年级参加的作文篇数为:100-20-35=45,
补全的条形统计图如右图所示;
(4)设七年级的那一篇记为A,八年级和九年级的三篇记为B,
树状图如下图所示:
由上可得,一共有12种可能性,其中七年级特等奖作文被刊登在校报上的可能性有6种,
故七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率为.
18.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=2,BD=4,求OE的长.
【分析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA,进而判断出∠DAC=∠DCA,得出CD=AD=AB,即可得出结论;
(2)先判断出OE=OA=OC,再求出OB=2,利用勾股定理求出OA,即可得出结论.
【解答】解:(1)∵AB∥CD,
∴∠OAB=∠DCA,
∵AC为∠DAB的平分线,
∴∠OAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴CD=AD=AB,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AD=AB,∴▱ABCD是菱形;
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,BD⊥AC,
∵CE⊥AB,∴OE=OA=OC,
∵BD=4,∴OB=BD=2,
在Rt△AOB中,AB=2,OB=2,
∴OA==4,
∴OE=OA=4.
19.如图,操场上有一根旗杆AH,为测量它的高度,在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE,两杆相距30米,测得视线AC与地面的交点为F,视线AE与地面的交点为G,并且H、B、F、D、G都在同一直线上,测得BF为3米,DG为5米,求旗杆AH的高度?
【分析】根据AH∥CB∥DE,可得△AHF∽△CBF,△AHG∽△EDG,可得=,=,即可求得AH的值,即可解题.
【解答】解:由题意知,设AH=x米,BH=y米,
△AHF∽△CBF,△AHG∽△EDG,
∴=,=,
∴3x=1.5×(y+3),5x=1.5×(y+30+5),解得x=24.
答:旗杆AH的高度为24m.
20.某服装厂生产一批服装,2019年该类服装的出厂价是200元/件,2020年,2021年连续两年改进技术,降低成本,2021年该类服装的出厂价调整为162元/件.
(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同,求平均下降率.
(2)2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装,以200元/件销售时,平均每天可销售20件.为了减少库存,商场决定降价销售.经调查发现,单价每降低5元,每天可多售出10件,如果每天盈利1150元,单价应降低多少元?
【分析】(1)设平均下降率为x,利用2021年该类服装的出厂价=2019年该类服装的出厂价×(1-下降率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论;
(2)设单价应降低m元,则每件的销售利润为(38-m)元,每天可售出(20+2m)件,利用每天销售该服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,结合要减少库存即可得出结论.
【解答】解:(1)设平均下降率为x,
依题意得:200(1-x)2=162,
解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去).
答:平均下降率为10%.
(2)设单价应降低m元,则每件的销售利润为(200-m-162)=(38-m)元,每天可售出20+×10=(20+2m)件,
依题意得:(38-m)(20+2m)=1150,
整理得:m2-28m+195=0,解得m1=15,m2=13.
∵要减少库存,
∴m=15.
答:单价应降低15元.
21.如图,在平面直角坐标系中,直线y=3x+b经过点A(-1,0),与y轴正半轴交于B点,与反比例函数y=(x>0)交于点C,且BC=2AB,BD∥x轴交反比例函数y=(x>0)于点D,连接AD.
(1)求b、k的值;
(2)求△ABD的面积;
(3)若E为射线BC上一点,设E的横坐标为m,过点E作EF∥BD,交反比例函数y=(x>0)的图象于点F,且EF=BD,求m的值.
【分析】(1)作CH⊥y轴于点H,把点A坐标代入直线解析式中求出b,求出点B坐标,再用相似三角形的性质求出CH、BH,求出点C坐标,即可求出k;
(2)先求出点D坐标,求出BD,根据三角形的面积公式计算,得到答案;
(3)先求出EF=2,设出点E坐标,分0<m<2、m>2两种情况,表示出点F坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解,即可得出结论.
【解答】解:(1)作CH⊥y轴于点H,
∵直线y=3x+b经过点A(-1,0),
∴-1×3+b=0,解得b=3,
对于直线y=3x+3,当x=0时,y=3,
∴点B的坐标为(0,3),即OB=3,
∵CH∥OA,∴△AOB∽△CHB,
∴==,即==,解得,CH=2,BH=6,
∴OH=OB+BH=9,
∴点C的坐标为(2,9),
∴k=2×9=18;
(2)∵BD∥x轴,∴点D的纵坐标为3,
∴点D的横坐标为=6,即BD=6,
∴△ABD的面积=×6×3=9;
(3)EF=BD=×6=2,
设E(m,3m+3),
当0<m<2时,点F的坐标为(m+2,3m+3),
∵点F在反比例函数y=上,
∴(m+2)(3m+3)=18,
解得,m1=-4(舍去),m2=1,
当m>2时,点F的坐标为(m-2,3m+3),
∵点F在反比例函数y=上,
∴(m-2)(3m+3)=18,
解得,m3=(舍去),m4=,
综上所述,m的值为1或.
22.问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边DC,DA的中点,四边形DFGE为矩形,连接BG.
操作发现:
(1)①图1中= .
②创新小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转至如图2所示的位置,点G恰好落在边DA上,则= .
拓展探究:
(2)勤奋小组将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周,发现的大小不变,请仅就图3的情形给出证明.
实践探究:
(3)当矩形DFGE旋转至B、G、E三点共线时,直接写出线段CE的长.
【分析】(1)①如图1,延长FG交BC于H.在解直角三角形求出EC,BG即可解决问题;②连接BD,通过证明△CDE∽△BDG,即可求解;
(2)如图3,连接BD,DG.通过证明△CDE∽△BDG,即可求解;
(3)分两种情形:①如图3-1中,当点G落在BG上时,利用勾股定理以及(2)中结论即可解决问题.②如图3-2中,当点G落在BE上时,同法可得EC的长.
【解答】解:(1)①如图1,延长FG交BC于H.
∵四边形ABCD,四边形DEGF都是矩形,
∴DE=FG=AB=4,DF=EG=AD=3,∠C=∠CEG=∠EGH=90°,
∴四边形ECHG是矩形,
∴EC=GH=4,EG=CH=3,BH=BC-CH=6-3=3,
∴BG===5,∴=,
故答案为;
②如图,连接BD,
在Rt△ABD中,BD===10,
在Rt△DEG中,DG===5,
∵==,=,
∴,
由旋转的性质可得∠CDE=∠BDG,
∴△CDE∽△BDG,∴;
(2)结论:不变.=,
理由:如图3,连接BD,DG.
在Rt△ABD中,BD===10,
∵==,=,
∴,
由旋转的性质可得∠CDE=∠BDG,
∴△CDE∽△BDG,
∴;
(3)①如图3-1,当点G落在BG的延长线上时,
在Rt△DEB中,∵DE=4,BD=10,
∴BE===2,
∴BG=EG+BE=3+2,
由(2)可知,
∴CE=BG=;
②如图3-2,当点G落在BE上时,CE=,
综上所述,满足条件的EC的值为或.
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