广东省深圳市南山区深圳大学附属中学2023-2024学年上学期九年级期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳市南山区深圳大学附属中学2023-2024学年上学期九年级期中考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了下列命题中，假命题是，定义等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（每题3分，共30分）
1．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
2．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，CE的长为（ ）
A．2B．7C．4D．5
3．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝9B．9（1+x）2＝16
C．16（1﹣x）2＝16D．9（1﹣x）2＝16
4．一个不透明的盒子里有若干个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数为（ ）
A．20B．24C．28D．30
5．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，那么她应穿（ ）cm高的鞋子才能好看．（精确到1cm，参考数据：黄金分割比为≈2.236）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
6．如图，公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0
7．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ）
（1）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
A．∠DAM＝30°B．∠MBC＝30°
C．BC＝2CMD．S△ABM＝2S△ADM
8．下列命题中，假命题是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
9．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中：①OH∥BF；②GH＝BC；③BF＝2OD；④∠CHF＝45°．正确结论的个数为（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
10．定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”．如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（每题3分，共15分）
11．已知＝，那么＝ ．
12．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为50°，90°，220°，让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是 ．
13．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为 ．
14．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝ 度．
15．数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在AC与GM交点处，则AB的长是 ．
三．解答题（共55分）
16．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
17．（7分）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班固支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有 名学生；D所对应扇形圆心角的大小为 ；
（2）补全折线统计图；
（3）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
18．（8分）如图，在4×7的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段AC和EF，点A，C，E，F均在方格的格点上．
（1）在方格纸中画出一个以AC为对角线的菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在方格的格点上；
（2）在方格纸中画出以EF为边的正方形EFGH，且点G，H在方格的格点上；
（3）连接BD交AC于点O，连出△OCE和△CHD，并证明△CHD∽△OCE．
19．（8分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
20．（8分）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．
（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是 吨；
（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？
21．（8分）阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连结EF，设DE＝a，EF＝b，FB＝c，则把关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0叫做正方形ABCD的关联方程，正方形ABCD叫做方程ax2﹣bx+c＝0的关联四边形．
探究方程ax2﹣bx+c＝0是否存在常数根t．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：t＝ ．
参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若AD＝10，DE＝4，则正方形ABCD的关联方程为 ；
（2）正方形ABCD的关联方程是2x2﹣bx+3＝0，则正方形ABCD的面积＝ ．
22．（8分）教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF﹣PD＝3，请直接写出△ABC的面积．
​
深大附中九年级期中参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故选：C．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，CE的长为（ ）
A．2B．7C．4D．5
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵AD：DF＝3：2，BC＝6，
∴＝，
解得：CE＝4，
故选：C．
3．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝9B．9（1+x）2＝16
C．16（1﹣x）2＝16D．9（1﹣x）2＝16
【解答】解：根据题意得：16（1﹣x）2＝9，
故选：C．
4．一个不透明的盒子里有若干个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数为（ ）
A．20B．24C．28D．30
【解答】解：设有n个小球，根据题意得＝30%，解得n＝30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
5．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，那么她应穿（ ）cm高的鞋子才能好看．（精确到1cm，参考数据：黄金分割比为≈2.236）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
【解答】解：设她应穿xcm高的鞋子，
由题意得：＝，
解得：x≈10，
则她应穿10cm高的鞋子才能好看，
故选：D．
6．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图所示），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0
【解答】解：根据题意可得：（x﹣1）（x﹣2）＝18．
故选C．
7．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ）
（1）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
A．∠DAM＝30°B．∠MBC＝30°
C．BC＝2CMD．S△ABM＝2S△ADM
【解答】解：由作图可知，AM垂直平分线段CD，
∴∠AMD＝90°，CM＝DM，
∵四边形ABCD是菱形，AB∥CD，
∴AD＝CD＝BC＝AB，
∴AD＝BC＝AB＝2DM，
∴∠DAM＝30°，
∵AB＝2DM，AB∥CD，
∴S△ABM＝2S△ADM，
∵∠D＝60°，AD∥CB，
∴∠BCM＝180°﹣60°＝120°，
∵BC＞CM，
∴∠CMB＞∠CBM，
∵∠CBM+∠CMB＝60°，
∴∠CBM＜30°，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
8．下列命题中，假命题是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【解答】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题；
B、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
C、对角线互相相等且垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题；
故选：C．
9．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中：①OH∥BF；②GH＝BC；③BF＝2OD；④∠CHF＝45°．正确结论的个数为（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，BC＝DC，
∴∠ECB＝∠DCF＝90°，
∵EC＝CF，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF＝90°，
∴∠BHD＝∠BHF＝90°，
∵BH＝BH，∠HBD＝∠HBF，
∴△BHD≌△BHF（ASA），
∴DH＝HF，
∵OD＝OB，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH∥BF；
故①正确；
②∴OH＝BF，∠DOH＝∠CBD＝45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG＝CG＝BC，GH＝CF，
∵CE＝CF，
∴GH＝CF＝CE，
∵CE＜CG＝BC，
∴GH＜BC，故②错误；
③由①知：△DHB≌△FHB，
∴BD＝BF，
∵OD＝BD＝BF，
∴BF＝2OD，故③正确；
④∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF，∠EBC＝22.5°，
∵CE＝CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，
∴∠F＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
Rt△DCF中，DH＝FH，
∴CH＝DF＝FH，
∴∠HCF＝∠F＝67.5°，
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠BFH＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故④正确；
故选：B．
10．定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”．如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：如图，
由，得△ABC∽△D1AC，故D1为所求点；
如图，
由，得△ABC∽△D2AB，故D2为所求点；
如图，
由，得△BCD3∽△ABD3，故D3为所求点；
如图，
由，得△ABC∽△D4CA，故D4为所求点；
如图，
由，得△ABC∽△BCD5，故D5为所求点；
∴符合条件的格点D的个数有5个．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．已知＝，那么＝ 5 ．
【解答】解：∵＝，
∴设x＝5a，则y＝2a，
那么＝＝5．
故答案为：5．
12．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为50°，90°，220°，让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是 ．
【解答】解：∵黄色扇形区域的圆心角为90°，
所以黄色区域所占的面积比例为＝，
故指针停止后落在黄色区域的概率是．
故答案为：．
13．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为 0 ．
【解答】解：∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，
∴x1+x2＝﹣（a2﹣2a）＝0，解得a＝0或a＝2，
当a＝2时，方程为x2+1＝0，该方程无实数根，舍去，
∴a＝0，
故答案为：0．
14．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝ 25 度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO＝＝25°，
故答案为：25．
15．数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在AC与GM交点处，则AB的长是 ．
【解答】解：由图1及等腰三角形的性质可知，
MG＝BC＝6，AB＝DF，∠HMG＝∠ACB，
如图2，∠DMC＝∠DCM，
∵∠DMC+∠G＝∠DCM+∠DCG＝90°，
∴∠G＝∠DCG，
∴DG＝CD，
∴DC＝DM＝DG＝MG＝3，
设AB＝DF＝x，则AC＝AD+CD＝x+3，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+62＝（x+3）2，
∴x＝，
∴AB＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
【解答】解：（1）（x﹣4）（x+2）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（3）x（x﹣3）＝x﹣3，
x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
17．为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班固支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有 50 名学生；D所对应扇形圆心角的大小为 108° ；
（2）补全折线统计图；
（3）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【解答】解：（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名），
则D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
∴D所对应扇形圆心角的大小为：360°×＝108°，
故答案为：50，108°；
（2）补全折线统计图如下：
（3）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，
∴小明和小丽选择相同主题的概率为＝．
18．如图，在4×7的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段AC和EF，点A，C，E，F均在方格的格点上．
（1）在方格纸中画出一个以AC为对角线的菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在方格的格点上；
（2）在方格纸中画出以EF为边的正方形EFGH，且点G，H在方格的格点上；
（3）连接BD交AC于点O，连出△OCE和△CHD，并证明△CHD∽△OCE．
【解答】（1）解：如图，菱形ABCD即为所求；
（2）解：如图，正方形EFGH即为所求；
（3）证明：∵OC＝2，CH＝，CE＝，DH＝1，
∴＝＝，
∵∠OCE＝∠DHC＝135°，
∴△CHD∽△OCE．
19．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
又∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
20．某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．
（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是 60 吨；
（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？
【解答】解：（1）45+×7.5＝60；（2分）
（2）设当售价定为每吨x元时，
由题意，可列方程（x﹣100）（45+×7.5）＝9000．（2分）
化简得x2﹣420x+44000＝0．
解得x1＝200，x2＝220．（6分）
当售价定为每吨200元时，销量更大，
所以售价应定为每吨200元．
21．阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连结EF，设DE＝a，EF＝b，FB＝c，则把关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0叫做正方形ABCD的关联方程，正方形ABCD叫做方程ax2﹣bx+c＝0的关联四边形．
探究方程ax2﹣bx+c＝0是否存在常数根t．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
请回答：t＝ 1 ．
参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若AD＝10，DE＝4，则正方形ABCD的关联方程为 14x2﹣29x+15＝0 ；
（2）正方形ABCD的关联方程是2x2﹣bx+3＝0，则正方形ABCD的面积＝ 36 ．
【解答】解：阅读下面材料：
如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴AE＝AG，∠ABG＝∠D＝90°，∠GAB＝∠EAD，DE＝BG＝a，
∴∠AGB+∠ABC＝180°，∠EAD+∠BAE＝90°＝∠GAB+∠BAE，
∴G，B，F共线，∠GAE＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF＝45°，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF＝EF，即BG+BF＝EF，
∵BG＝a，EF＝b，FB＝c，
∴a+c＝b，即a﹣b+c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0有一个根是x＝1，
∴t＝1，
故答案为：1；
（1）如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝10，
∵DE＝4＝a，
∴CE＝CD﹣DE＝6，
由阅读材料知DE+BF＝EF＝b，FB＝c，
∴EF＝4+c，CF＝BC﹣BF＝10﹣c，
在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
∴（10﹣c）2+62＝（c+4）2，
解得c＝，
∴b＝EF＝4+c＝，
而a＝4，
∴正方形ABCD的关联方程为4x2﹣x+＝0，
化简整理得14x2﹣29x+15＝0，
故答案为：14x2﹣29x+15＝0；
（2）如图：
由阅读材料知，正方形ABCD的关联方程2x2﹣bx+3＝0存在常数根x＝1，
∴2×12﹣b+3＝0，
解得b＝5，
∴正方形ABCD的关联方程是2x2﹣5x+3＝0，
∴DE＝2，BF＝3，EF＝5，
设正方形ABCD的边长为m，
在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
∴（m﹣2）2+（m﹣3）2＝52，
解得m＝6，
∴正方形ABCD的边长为6，
∴正方形ABCD的面积为36，
故答案为：36．
22．教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF﹣PD＝3，请直接写出△ABC的面积．
​
【解答】解：（1）如图1，设AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝3×4＝12，OA＝OC＝OB＝OD，S△ABD＝S△BCD，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
∴AC＝＝5，S△AOD＝S△ABO＝S△BOC＝S△COD，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝×12＝3，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF＝，
故答案为：；
（2）▱PEQF的周长是定值，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠DMN＝∠BNM，
连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB，
由折叠的性质得：DM＝BM，∠DMN＝∠BMN，
∴∠BNM＝∠BMN，
∴DM＝BM＝BN＝13，
∴AD＝BC＝BN+CN＝13+5＝18，
∴AM＝AD﹣DM＝18﹣13＝5，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝＝12，
∴MH＝12，
∵S△BMN＝S△PBM+S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN，
∴BN•MH＝BM•PE+BN•PF，
∵BM＝BN，
∴PE+PF＝MH＝12，
∴▱PEGF的周长＝2（PE+PF）＝2×12＝24；
（3）如图3，连接AP，BP，CP，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP﹣S△ACP，
∴AB2＝AB•PE+BC•PF﹣AC•PD
∴AB＝PE+PF﹣PD，
∵PE+PF﹣PD＝3，
∴AB＝2，
∴S△ABC＝AB2＝3．