2022-2023学年天津五十五中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津五十五中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    用配方法解方程，配方后的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    二次函数图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为(    )
    

A.  B.  C.  D.

5.    二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是(    )

A.
B.
C.
D.

6.    上海世博会的某纪念商品原价元，连续两次降价后售价元，下列所列的方程中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.    如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形劣弧，共跨度为米，拱的半径为米，则拱高为米．(    )

A.  B.  C.  D.

8.    若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图是二次函数是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线对于下列说法：；；；为实数；当时，，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 已知方程一个根是，则______．
14. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则的值为______．
15. 如图，以的边为直径的分别交、于点、，连结、，若，则______．

16. 若二次函数的图象如图所示，则关于的方程的实数根是______．

17. 如图，在中，，，，点是的中点，将绕着点逆时针旋转，在旋转的过程中点的对应点为点，连接、，则面积的最小值是______．

18. 如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．保留连线痕迹，并简要说明作图方法不用证明
    
    在图中作线段的垂直平分线；
    在图中的上面一点，使；
    在图中上找一点，使平分优弧．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程：
     
20. 本小题分
    在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度．按要求作图：
    画出关于原点的中心对称图形：
    画出绕点逆时针旋转得到：
    的面积为______．

21. 本小题分
    如图，已知抛物线经过，两点．
    求抛物线的解析式和顶点坐标；
    当时，直接写出的取值范围；
    点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．

22. 本小题分
    如图，为的直径，为的中点，弦于点，连接并延长交于点，连接．
    求证：是等边三角形；
    若的半径为，求的长．

23. 本小题分
    如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
    若苗圃园的面积为平方米，求的长．
    当为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？

24. 本小题分
    如图，在正方形中，，点是的中点，以为边作正方形，连接、将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．
    如图，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；
    如图，延长交直线于点．
    求证：；
    在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由．
     
25. 本小题分
    如图，已知抛物线过点和点，与轴的正半轴交于点．
    求，的值和点的坐标；
    若点是轴上的点，连接，，当时，求点的坐标；
    在抛物线上是否存在点，使，两点到直线的距离相等？若存在，求出满足条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
移项得，
方程两边同加上得，
配方得，
故选：．
先把常数项移项，再方程两边同加上一次项系数一半的平方，再配方即可．
本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、时的函数值都是，
函数图象的对称轴为直线，
顶点坐标为．
故选：．
根据二次函数的对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，，，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
根据旋转的性质得出，，求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出的长度和求出的度数是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：当商品第一次降价时，其售价为；
当商品第二次降价后，其售价为：．
故．
故选：．
先用表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于的方程．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于即可．
 

7.【答案】 

【解析】解：设为圆心，连接，作于，交圆弧于点，
由题意可知：，米，
由垂径定理可知：米，
在中，，
进而得拱高米．
故选：．
设点为圆弧的圆心，利用垂径定理和勾股定理即可求出答案．
本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、、三点都在函数的图象上，
，，．
．
故选：．
此题可直接把各点的横坐标代入求得纵坐标再比较大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．图象上点的坐标适合解析式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向下，而点到对称轴的距离最远，点最近，
．
故选：．
由可知抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，

，
，
点，
，，
由旋转得：
，，
，
，
≌，
，，
点的坐标为，
故选：．
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得，再利用旋转的性质可得，，然后利用平角定义可得，从而根据同角的余角相等可得，进而可证≌，最后利用全等三角形的性质可得，，即可解答．
本题考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：、，
，
由旋转的性质可知，，
，故本选项结论错误，不符合题意；
B、当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
C、由旋转的性质可知，，，
，，
，
，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：．
根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
本题考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：对称轴在轴右侧，
、异号，
，故正确；
对称轴，
，故正确；
，
，
当时，，
，故错误；
根据图示知，当时，有最大值；
当时，有，
所以为实数，故正确；
如图，当时，不只是大于，故错误；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程：可得，解得故本题答案为．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当抛物线的顶点在坐标轴上时，
，即，
解得或，
故答案为：或．
根据当抛物线的顶点在坐标轴上时，计算即可．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是把抛物线的顶点问题转化为抛物线与轴的交点的个数问题，可以利用一元二次方程的根的判别式来解决．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
为的直径，
，
，
，
，圆周角定理
故答案为：．
如图，连接由圆周角定理和三角形内角和定理求得，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．
本题考查了圆周角定理及三角形的内角和定理等知识，难度不大．
 

16.【答案】、 

【解析】解：二次函数的图象与轴交于，则一元二次方程的一个解，
，即，
解得．
故答案为：、．
根据一元二次方程的根与系数的关系来求方程的另一根即可．
本题考查了抛物线与轴的交点坐标，解决本题的关键是根与系数的关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，作于，

，，，
，
，
，
点是的中点，
，
将绕着点逆时针旋转，在旋转过程中点的对应点为点，
，即点在以为圆心，为半径的圆上，
点在的上，点到的距离最小，
最小值为：，
故答案为：．
作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，再根据旋转的性质得，然后利用点点在上，点到的距离最小，即可求面积的最小值．
本题考查了旋转的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是确定点的运动轨迹．
 

18.【答案】解：如图，所在的直线即为的垂直平分线，

找到格点，使得，连接并延长，交于点，如下图：

则点即为所求；
如图，连接，找到格点、，使得、，连接，交圆于点点即为所求．
 

【解析】在网格中找到格点、，使得、连接，即可求解；
根据垂径定理，即可求得点；
作线段的垂直平分线，交圆于点即可．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质、点与圆的位置关系、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，三角形外接圆与外心，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，
，． 

【解析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元一次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
先求出的值，再代入公式求出即可．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．

的面积为．
故答案为：．
根据中心对称的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可．
利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：将和代入

解得：
抛物线的解析式为：
顶点坐标为：
由于抛物线的对称轴为：，
时，

设
的高为，
、

，

，
当时，

此时方程无解，
当时，
，
解得：或，
或 

【解析】将与的坐标代入抛物线的解析式即可求出与的值．
根据图象即可求出的取值范围．
设，的高为，，由列出方程即可求出的值，从而可求出的坐标．
本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型．
 

22.【答案】证明：为的中点，
，

，
又，
是等边三角形；
解：在中，，，
，
是的直径，弦于点，
，
． 

【解析】根据等边三角形的判定定理证明即可；
根据勾股定理和垂径定理解答即可．
本题主要考查了等边三角形的判定定理，勾股定理和垂径定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可得，
，
即，
解得，，，
当时，，故舍去；
当时，，
由上可得，的值是，
故AB的长为米；
设这个苗圃园的面积为平方米，
由题意可得，
，
平行于墙的一边长不小于米，且不大于米，
，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：当时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米． 

【解析】根据题意和图形，可以列出相应的一元二次方程，从而可以求得的值，注意墙长是米；
根据题意和图形，可以得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求得当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：≌；理由：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌；

证明：如图，
与的交点记作点，
由知，≌，
，
，
，
，
，
，
；

如图，连接，
四边形是正方形，
，，
在中，，
，
当最小时，的值最大，
当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合如图中，
由题意知，，
，
，
，
的最大值为． 

【解析】先判断出，，，进而判断出，即可得出结论；
由知，≌，得出，即可得出结论；
判断出当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合，最后用勾股定理求解即可求出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：将代入，
，
解得，
，
将代入，
，
令，则，
解得或，
；
设，
，
，
解得，
；
存在点，使，两点到直线的距离相等，理由如下：
当时，两点到直线的距离相等，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得或，
；
当直线经的中点时，过点作交于点，过点作交于点，
≌，
，
，，
的中点为，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
；
综上所述：点坐标为或 

【解析】将、代入，即可求解；
设，由题意列出方程，求出的值即可求点的坐标；
当时，两点到直线的距离相等，求出直线的解析式为，联立方程组，即可求；当直线经的中点时，过点作交于点，过点作交于点，由≌，可得，直线经过的中点，则可求直线的解析式，联立方程组，可求
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．