2022-2023学年河南省驻马店市泌阳县光亚学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省驻马店市泌阳县光亚学校九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    将方程改写成的形式，则，，的值分别为(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.    若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

4.    用配方法解方程时，方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    如图，和的顶点均在边长为的小正方形网格格点上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D. 无法计算

7.    一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

8.    在中，，，，动点从点沿线段向点移动从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为当到达点时两点同时停止运动．若此过程中有则当时运动的时间是(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.    如图，点为边上的一个三等分点，，以、、、为顶点构造平行四边形，与交于点，若四边形的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 欧几里得的几何原本中记载了形如的方程根的图形解法：构造，为斜边中线，且，作，与的延长线交于点设，，则较小的根是(    )

A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 如果，那么的值为______．
12. 若一元二次方程的两个根是与则的值是______．
13. 为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降至元，则平均每次降价的百分率为______．
14. 如图，将沿方向平移，使点移到点处，得到点的对应点是点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接取的中点为点，连接分别交和于若的面积为，则阴影部分的面积为______．
15. 如图，边长为的正方形中，点为边中点，点为射线上一动点，过点作，当与相似时，的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：；
    解方程：．
17. 本小题分
    延时课上，老师布置任务如下：让王林站在点处去观测外的位于点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具、、在一直线上已知王林身高，大树高，请问如何放置平面镜才能观测到大树的顶端？

18. 本小题分
    如果，是一元二次方程的两根，那么根与系数的关系可以总结为：，，这就是著名的韦达定理．已知，是方程的两根，不解方程计算：
    ；
    ．
19. 本小题分
    在中学阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化，比如：
    ；．
    试试看，将下列各式进行化简：
    ；
    ；
    ．
20. 本小题分
    酷暑时期，核酸检测仍然是一字长龙，检测者苦不堪言．针对于此，某医院决定新辟若干条核酸检测通道．经调查发现：条检测通道最大检测量是人天，每增加条检测通道，每条检测通道的最大检测量将减少人天．在不超过条通道的医疗硬件前提下，该医院拟共设置条核酸检测通道．
    每条核酸检测通道的最大检测量是______人天用含的代数式表示，不写取值范围；
    若该医院设置的全部核酸检测通道每天恰好能检测人，问该医院需设置多少条检测通道？

21. 本小题分
    如图，中，，点、分别为、延长线上一点．
    尺规作图：作的角平分线，与相交于点；保留作图痕迹，不写作法
    在所作的图中，试分析、、有何数量关系．

22. 本小题分
    阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，，得：把作为整体代入：得即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
    请你用上述方法解决下面问题：
    已知，求代数式的值；
    已知，求代数式的值．
23. 本小题分

请用倍长中线法解答下面问题：在中，，是边上的中线，点为射线上一动点．
问题发现
如图，点在上，：：，与相交于点，延长至点，使得，连接，求的值．
王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程．

类比探究
如图，点在的延长线上，与的延长线交于点，：：，求的值．
拓展延伸
在的探究结论下，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是最简二次根式，故此选项符合题意；
B.不是最简二次根式，故此选项不合题意；
C.不是最简二次根式，故此选项不合题意；
D.不是最简二次根式，故此选项不合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而判断得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
故将方程改写成的形式，则，，的值分别为、、，
故选：．
根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图：延长到，连接，

由题意得：
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
故选：．
延长到，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程整理得：，
，
此方程有两个相等的实数根．
故选：．
方程整理为一般形式，求出根的判别式的值，判断即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设运动时间为．
，
，
，，，，
，
．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：点为边上的一个三等分点，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
∽，
，
四边形的面积为，
，
，
∽，
，
的面积为，
故选：．
根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，，

的解为：，
的最小值是的长度，
为斜边中线，且，
，
的最小值是的长度，
故选：．
利用勾股定理求得，解一元二次方程求得，即可得出的最小值是的长度，由直角三角形斜边中线的性质得出，从而求得较小的根是的长度．
此题考查的是公式法解一元二次方程，运用勾股定理和直角三角形斜边中线的性质找到线段的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
设，，
．
故答案为：．
利用已知条件可设，，然后把它们代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
方程的两根互为相反数，
一元二次方程的两个根是与，
，
解得：，
故答案为：．
先根据直接开平方法求出方程的解，得出方程的两根互为相反数，从而得出，再求出即可．
本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设平均每次降价的百分率为，由经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由平移的性质知，，，，
四边形是平行四边形，
，
是的中位线，
，
点是的中点，
，，
，
∽，
，
：：：，
的面积为，
，
，
，
，，
，
，
，
阴影部分的面积为：，
故答案为：．
先证明四边形是平行四边形，得，得是的中位线，再证明∽，得、、的数量关系，进而求得、的面积便可．
本题考查了平移的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，等高的三角形的面积比等于底边比，关键在于证明三角形相似．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图中，当点是的中点时，∽，此时．

如图中，当点是的中点时，∽．

，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
分两种情形：如图中，当点是的中点，时，∽，此时如图中，当点是的中点时，∽分别求解即可．
本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：

；
，
，
，
或，
，． 

【解析】根据二次根式的混合运算法则即可得出答案；
利用因式分解法求解即可．
本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算法则和一元二次方程的解法．
 

17.【答案】解：根据题意知，，，，．
，，
．
∽，
，即．
．
答：将平面镜置于离王林身前处才能观测到大树的顶端． 

【解析】根据反射角等于入射角可以判定，结合“两角法”可以判定∽，然后由相似三角形对应边成比例求得线段的长度即可．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

18.【答案】解：由已知得，；
原式；
 ，
． 

【解析】先把原式通分，然后利用整体代入的方法计算；
先计算，然后利用整体代入的方法计算，再开方即可．
本题考查了根与系数的关系：如果、是一元二次方程的两根，那么，，．
 

19.【答案】解：

；


；




． 

【解析】利用分母有理化的方式进行化简即可；
利用分母有理化的方式进行化简即可；
利用分母有理化的方式进行化简即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】 

【解析】解：依题意得：每条核酸检测通道的最大检测量是人天．
故答案为：．
，
整理得：，
解得：，不符合题意舍去．
，
答：该医院需设置条检测通道．
由每条核酸检测通道的最大检测量，即可得出结论；
由题意：该医院设置的全部核酸检测通道每天恰好能检测人，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．

，，
，
平分，
，
，
，
，
∽，
，
即． 

【解析】根据角平分线的作图方法作图即可．
由题意可证∽，则，即可得出答案．
本题考查尺规作图、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
；
，
，
，
变形整理得：，




． 

【解析】仿照阅读材料解答即可；
把已知变形可得，代入即可求出答案．
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．
 

23.【答案】         

【解析】解：如图延长至点，使得，连接，
设，则；
是边上的中线，
；
在和中，
，
≌，
，
；
；
又，
∽；
，
故答案为：，，，，；

如图，延长至点，使得，连接，
设，
：：，
，
；
是边上的中线，
；
在和中，
，
≌，
，
；
；
又，
∽；
；

如图，延长至点，使得，连接，
由知，，
，
，
过点作交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，，
：：，，
，
，
由知，，
，
在中，根据勾股定理得，，
由知，∽，
，
，
，
．
延长至点，使得，连接，先判断出，进而得出≌，进而得出，最后判断出∽，即可得出结论；
延长至点，使得，连接，先判断出，进而判断出≌，得出，最后判断出∽，即可得出结论；
延长至点，使得，连接，先求出，再求出，进而求出，由知，∽，即可求出答案．
此题是相似三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，判断出是解本题的关键．