2023-2024学年河南省驻马店市西平县九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年河南省驻马店市西平县九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.用配方法解方程，下列变形结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.若是方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.下列关于的函数中，不是二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.对于抛物线，下列说法错误的是(    )

A. 抛物线开口向下 B. 当时，
C. 抛物线与轴有两个交点 D. 当时，有最小值为

6.定义运算：，例如：，则方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根

7.若，，为二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.若，是方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是(    )

A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向下平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向上平移个单位

10.在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.关于的方程是一元二次方程，则的值是______ ．

12.抛物线的对称轴是直线，则的值为______ ．

13.如图，抛物线与直线的交点为，当时，的取值范围是______ ．

14.把方程化为一元二次方程的一般形式为______ ．

15.二次函数的图象如图所示下列结论：；；；若且，则其中结论正确的是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解方程：
；
．

17.本小题分
已知关于的一元二次方程，其中，，为的三边．
若是方程的根，判断的形状，并说明理由；
若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由．

18.本小题分
定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由．
已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？

19.本小题分
抛物线的图象开口向上，且经过点．
当取何值时，有最小值？并求出这个最小值．
利用计算判断点是否在这个函数的图象上．

20.本小题分
提出问题：
为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程，得，不符合要求，舍去．
当时，，．
原方程的解为，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
运用上述换元法解方程：．

21.本小题分
年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售，经统计，年月份的销售量为件，年月份的销售量为件．
求该款吉祥物年月份到月份销售量的月平均增长率．
从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达元？

22.本小题分
根据多项式乘法可知从而我们可得干字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题：
将二次三项式分解因式．
解一元二次方程．
某数学兴趣小组发现二次项系数不是的一元二次方程也可以借助此方法解如：，方程分解为，从而可以快速求出方程的解请你利用此方法尝试解方程．

23.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的对称轴和顶点坐标；
线段上有一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线，交抛物线于点，求线段的长用表示；
在直线上方的抛物线上存在点，使得四边形面积最大，直接写出点的坐标和四边形面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，当时，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B.等号左边不是整式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C.化简后不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D.，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
配方，得，
．
故选：．
先移项，再方程两边除以，最后配方后找出选项即可．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，
，


，
故选：．
先根据已知条件求出的值，从而求出的值，最后把所求的值整体代入所求代数式进行解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．

4.【答案】 

【解析】解：、，是二次函数，故A不符合题意；
B、，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，二次函数，故C不符合题意；
D、，是二次函数，故D不符合题意；
故选：．
根据二次函数的一般形式：形如为常数且，逐一判断即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，顶点坐标为，抛物线与轴有个交点，时随增大而减小，当时有最大值为，
选项A，，C正确，D错误，
故选：．
根据二次函数解析式可得抛物线开口方向，抛物线与轴交点个数及二次函数的最值，从而确定正确的选项．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

6.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
先根据已知条件中的定义，把方程化成一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可．
本题主要考查了新定义和一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程根的情况．

7.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线的开口向下，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
与点关于直线对称，且，
．
故选：．
求得抛物线对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故选：．
把式子变形，再利用根与系数的关系，代入数据求值即可．
本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位可得到抛物线，
抛物线，再向下平移个单位即可得到抛物线．
故平移过程为：先向左平移个单位，再向下平移个单位．
故选：．
分析：根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

10.【答案】 

【解析】解：一次函数与轴的交点，二次函数与轴的交点为，
与选项不正确；
当时，一次函数经过一、三象限，二次函数的开口向上，
选项不正确；
故选：．
由两个函数与轴的交点是相同，由此确定与不正确；当时，一次函数经过一、三象限，二次函数的开口向上，可求确定不正确．
本题考查一次函数与二次函数的图象；熟练掌握函数图象的特点，能够通过函数的交点情况、二次函数开口方向、一次函数图象经过的象限情况综合分析解题是关键．

11.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，最高次数为，得出，，即可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：
，
对称轴为，
抛物线的对称轴为，
，解得
故答案为：．
利用对称轴公式可得到关于的方程，可求得的值．
本题主要考查抛物线的性质，掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：从图象看，当时，直线在抛物线的上方，
即，
故答案为：．
观察函数图象即可求解．
本题考查二次函数与不等式、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

14.【答案】 

【解析】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
故答案为：．
先去括号，移项，合并同类项得出即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式，其中、、为常数，是解此题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为，即，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以错误；
，
，所以正确；
抛物线与轴的交点到对称轴的距离大于，
抛物线与轴的一个交点在点与之间，
抛物线与轴的另一个交点在点与之间，
时，，
，所以错误；
当，则，
和所对应的函数值相等，
，
，所以正确；
故答案为：．
根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据抛物线对称轴方程得到，则可对进行判断；由抛物线开口方向得到，由得到，由抛物线与轴的交点在轴上方得到，则可对进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点与之间，则时，，于是可对进行判断；由得到，则可判断和所对应的函数值相等，则，于是可对进行判断．
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．

16.【答案】解：，
，，，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】先计算出根的判别式的值，然后利用根的判别式的值得到方程的解；
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．

17.【答案】解：把代入方程得，
，
化简得，
则该三角形的形状为等腰三角形．
由题意可得方程有两个相等的实数根，
则方程的判别式，
，
，
化简可得，
则该三角形的形状为直角三角形． 

【解析】根据方程的解把代入方程得到，即，于是由等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；
根据根的判别式得出，，的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断的形状．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

18.【答案】解：方程是“黄金方程”，理由如下：
，，，


，
一元二次方程是“黄金方程”；
是关于的“黄金方程”，
，，，
，
，
，
原方程可化为，
是此方程的一个根，
，即，
解得或． 

【解析】根据已知条件中的新定义，找出，，的值，代入判断是否为即可；
根据已知条件中的新定义，找出，，的值，求出，的关系式，然后把化成，代入方程，得到关于的方程，进行解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的根，解题关键是理解已知条件中的新定义．

19.【答案】解：由抛物线过，代入，得
，，即．
抛物线开口向上，
，
抛物线的解析式为；
当时，，此时值最小；
点，把代入到中，得，
，
点不在这个函数的图象上． 

【解析】由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
点，把代入到中，得，即可求解．
本题考查的是二次函数的性质，涉及到待定系数法求函数表达式、解绝对值、确定点的位置等，难度不大．

20.【答案】解：，
设，则原方程可化为，
，
或，
解得，：，，
当时，；
当时，，
所以原方程的解为，，，． 

【解析】设，则原方程可化为，求出的值，再代入求出即可．
本题考查了用换元法解方程和解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．

21.【答案】解：设该款吉祥物年月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：该款吉祥物年月份到月份销售量的月平均增长率为；
设该款吉祥物降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：当该款吉祥物降价元时，月销售利润达元． 

【解析】设该款吉祥物年月份到月份销售量的月平均增长率为，根据年月份的销售量为件，年月份的销售量为件．列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
设该款吉祥物降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22.【答案】解：；
．
利用十字相乘法，得
．
或．
，．
．
利用十字相乘法，得
．
或．
，． 

【解析】利用十字相乘法进行分解；
把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可；
把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

23.【答案】解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
在中，令，得，
解得，，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，分别代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
；
；
过作轴交于，如图：

，，
，
设，则，
，
，
，
，
当时，取最大值，
此时的坐标为
点的坐标为，四边形面积的最大值为． 

【解析】由，可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
求出点的坐标为，点的坐标为，可得直线的解析式为，故点的坐标为，点的坐标为，即知；
过作轴交于，由，，可得，设，则，即可得，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．