2022淮安淮安区高二上学期期中数学试题Word含解析

2021-2022学年度第一学期期中调研测试试题

高二数学

时间120分钟   总分120分

（请在答题卡上规定的区域内答题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知直线过点，两点，则直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由直线斜率的坐标公式，即得解

【详解】设直线的斜率为，则.

故选：A

2. 抛物线的准线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.

【详解】抛物线的方程可变为

故

其准线方程为

故选：C

3. 已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程．

【详解】解：由题意可知，，的中点为，

又圆的半径为，

故圆的方程为．

故选：B．

4. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ）

A. 1 B. 3 C. 9 D. 81

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.

【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，

于是得，解得，

所以的值为1.

故选：A

5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件求出，的大小，求出顶点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可．

【详解】由双曲线的方程得，

双曲线虚轴长是实轴长的倍，，可得，

则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，

不妨取渐近线，即，

则顶点到渐近线的距离.

故选：B.

6. 过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（    ）

A.  B.

C 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得圆的圆心和半径，根据直线与圆相切，分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，由求解.

【详解】圆即为，

圆心是，

当直线斜率不存在时，直线方程为，

而，直线与圆相切，

当直线斜率存在时，设直线方程为，

圆心到直线的距离为；，

解得，

所以直线l的方程为，

综上：直线l的方程为或，

故选：C

7. 已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】把点分别代入两直线方程，得到且，根据两个式子，即可求得所求的直线方程.

【详解】因为直线和直线都过点，

可得且，

即点和点适合直线，

所以过点和点的直线方程是.

故选：A.

8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A.  B. 5 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.

【详解】由关于的对称点为，

所以，可得，即对称点为，又

所以“将军饮马”的最短总路程为.

故选：D

二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列说法错误的是（    ）

A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率

B. 点关于直线的对称点为

C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等直线方程为

【答案】AD

【解析】

【分析】A注意垂直于x轴的直线；B由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D注意直线也符合要求即可判断.

【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误；

B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确；

C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确；

D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误.

故选：AD

10. 已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ）

A. 双曲线C的渐近线方程为

B. 双曲线C的实轴长为8

C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3

D. 双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】由双曲线方程求出，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离，即可求解

【详解】由双曲线C的方程为，得：，

，

对于A：双曲线C的渐近线方程为，故A正确；

对于B：双曲线C的实轴长为，故B正确；

对于C：取焦点，则焦点到渐近线的距离，故C正确；

对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故D错误；

故选：ABC.

11. 已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（    ）

A. 线段PQ的长度的最小值为

B. 当PQ最短时，直线PQ的方程是

C. 当PQ最短时P的坐标为

D. 线段PQ的长度可能是

【答案】AC

【解析】

【分析】当PQ垂直直线时，PQ最短，即可判断A、D，设出P坐标，根据最短使PQ与直线垂直求解P坐标，即可判断C，由两点式求出直线方程，即可判断B．

【详解】解：当PQ垂直直线时，PQ最短，

Q到直线的距离为，故A正确；

故PQ的长度范围为，，故D错误；

设，则，解得，

故P为，故C正确；

此时直线PQ的方程是，即，故B错误，

故选：AC．

12. 已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（    ）

A. 当时，点的轨迹是双曲线.

B. 当时，点在圆上运动.

C. 当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.

D. 无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形.

【答案】BD

【解析】

【分析】设，进而根据题意得，，进而依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：设，则 ，

所以，，

整理得，

所以对于A选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，故A选项错误；

对于B选项，当时，点的轨迹为圆，故在圆上运动，故B选项正确；

对于C选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，故C选项错误；

对于D选项，由于，点的运动轨迹，对任意的点与均在，故曲线关于轴对称，点的运动轨迹为，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.

故选：BD

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13. 两条平行直线和之间的距离是_________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用两平行直线之间的距离公式即可计算.

【详解】，

，

所以它们之间的距离为：.

故答案为：.

14. 已知圆的圆心为为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为____________.

【答案】

【解析】

【分析】求出圆心的坐标和半径，即可得出圆的方程.

【详解】圆心C的坐标为，则的中点坐标为，半径，

所以以为直径的圆的方程为.

故答案为：

【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了运算求解能力，属于基础题目.

15. 若圆：与圆：（）相交，则正数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】由圆心距离小于半径之和，大于半径之差的绝对值可得．

【详解】∵两圆和（）相交，

圆：的半径和圆心分别是1，，

圆：（）的半径和圆心分别是，，

∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差，小于两个圆的半径之和，

即.

∴，

∴，

∴正数的取值范围是.

故答案为：.

16. 在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线左、右两支分别交于点，若，则的值是_________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据双曲线的定义可得，在△中应用余弦定理可得，注意其符号判断c的范围，再根据直线与圆相切可得，构造方程求参数c，进而求b.

【详解】由题设，，又，则，

在△中，则，即，

又直线与相切，则，

综上，，解得，而，则，

所以，可得.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：注意应用余弦定理求关于椭圆参数的表达式，再由直线与圆的相切关系得到另一个关于椭圆参数的表达式，联立求参数.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题10分，18—22题均为12分）

17. 已知两条直线，；求为何值时，与

（1）平行；

（2）垂直.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式，求出的值，并代入两直线方程检验即可得解；

（2）根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解出的值.

【详解】（1）因为，可得，即，

解得或，

当时，直线的方程为，直线的方程为，两直线重合，不合题意，舍去.

当时，直线的方程为，直线的方程为，两直线平行，合乎题意.

综上所述，；

（2）因为，则，解得.

18. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.

①与直线垂直；②过点；③与直线平行.

问题：已知直线过点，且___________.

（1）求直线的一般式方程；

（2）若直线与圆相交于点，，求弦的长.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）

【解析】

【分析】选①：（1）求出直线的斜率，可求得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程即可；

（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长；

选②：（1）根据直线上两点求出直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程；

（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长；

选③：（1）由直线平行求得直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程即可；

（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦长.

【详解】方案一选条件①.

（1）因为直线的斜率为，又直线与直线垂直，

所以直线的斜率为，

依题意，直线的方程为，即.

（2）圆的圆心到直线的距离为.

又圆的半径为，所以.

方案二选条件②.

（1）因为直线过点及，

所以直线的方程为，即.

（2）圆的圆心到直线的距离为.

又圆的半径为，所以.

方案三选条件③.

（1）因为直线的斜率为，直线与直线平行，

所以直线的斜率为

依题意，直线的方程为，即.

（2）圆的圆心到直线的距离为.

又圆的半径为，所以.

19. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，，，经过这三个点的圆记为．

（1）求边的中线所在直线的一般式方程；

（2）求圆的一般方程．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）首先利用中点坐标求出的中点的坐标，进一步利用点斜式求出直线的方程．

（2）直接利用圆的一般式，建立三元一次方程组，进一步解方程组求出圆的方程．

【小问1详解】

解：（1）在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，，，设的中点为

所以，，则

所以直线的斜率，

则直线的方程为：，整理成一般式为：．

【小问2详解】

解：已知三个顶点坐标分别为，，，经过这三个点的圆记为，

设圆的方程为：，

则：

解得：，

所以圆的方程为．

20. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，焦点在轴上且长轴长为10．过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若双曲线与椭圆有公共的焦点，且以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，求双曲线的标准方程．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的几何性质列出方程即可求出各个系数，从而得出椭圆的标准；

（2）设双曲线的右焦点，将代入双曲线方程求得，又以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，且，从而建立等式求出离心率，最后即得双曲线的标准方程．

【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为，

根据题意得，则．

又，

∴椭圆的标准方程为．

（2）设双曲线的右焦点，将代入双曲线方程，得．

∵以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，且，

，即，

整理得，即有．

又．

又双曲线与椭圆有公共的焦点，，

∴双曲线的标准方程为．

21 直线与双曲线相较于，两点.

（1）若，求线段长；

（2）当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点？

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）联立直线与双曲线可得，应用韦达定理及弦长公式即可求线段长；

（2）联立直线与双曲线可得，注意由判别式求a的范围，应用韦达定理求、关于参数a的表达式，再由为直径的圆经过坐标原点，推出，即可求出参数a.

【小问1详解】

由题设，联立双曲线并整理得：，

所以，则，，

所以.

【小问2详解】

联立直线与双曲线得：，整理有，

由题意，，即，

所以，，则，

若为直径的圆经过坐标原点，则，即，

所以，满足要求.

22. 已知抛物线与直线相交于两点，线段中点的横坐标为5，且抛物线的焦点到直线的距离为.

（1）求， 的值；

（2）已知点为抛物线上一动点，点为轴上一点，求线段长最小值.

【答案】（1）；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）由点线距离公式及中点坐标公式有，结合已知求， 的值；

（2）设，利用两点距离公式有，根据二次函数的性质及抛物线的有界性，讨论、求对应线段长最小值.

【小问1详解】

由题设，抛物线焦点为，则，

联立直线与抛物线可得：，则，

综上，，可得或，又，

所以.

【小问2详解】

由（1）知：，设，

所以，又，

要使线段长最小，即最小即可，

当，即时，则时最小值为；

当，即时，则

若，则，则时最小值为；

若，则，则时最小值为；

综上，时线段长最小值为；时线段长最小值为；

【点睛】关键点点睛：第二问，利用两点距离公式构造关于m的二次函数，分类讨论函数对称轴的位置，求对应的最小值.