高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性复习练习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性复习练习题，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第5章 5.3 函数的单调性
一、单选题
1．下列函数中在其定义域内是单调函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是(　　)
A． B． C． D．
3．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数则的值为（ ）
A．-13 B．-10 C．7 D．13
5．给定下列函数：① ② ③ ④，满足“对任意，当时，都有”的条件是
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
6．若，都有不等式，则a的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．， B．，1 C．， D．1，
8．函数y＝x－在[1，2]上的最大值为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
9．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是
A． B． C． D．
10．函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
11．设函数，若存在实数，使在上的值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．下列函数在区间是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数的导函数为，对任意，都有成立，则
A． B．
C． D．与的大小不确定
14．已知偶函数在区间上是增函数，下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
15．偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[-2,2] C．[0,4] D．[-4,4]
16．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　　)A．(－∞，0] B．[0，1)
C．[1，＋∞) D．[－1，0]
17．定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题
18．已知函数的值域是，其定义域可能是（ ）
A． B． C． D．
19．下列函数中在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
20．关于函数f（x）=的下列四个命题正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于y轴对称 B．f（x）的图像关于原点对称
C．f（x）的图像关于直线x=对称 D．f（x）的最小值为2
三、双空题
21．函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
四、填空题
22．已知函数是奇函数，且，则函数的解析式________.
23．若函数在上单调递增，则的取值范围是 _________.
24．已知是定义在上的增函数，其图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是_____．
25．已知函数，若其在区间上是增函数，则实数a，b应满足的条件为_____________.
26．函数的定义域为_______________．
五、解答题
27．因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．
(1)若函数，，求的最值；
(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
28．已知定义在上的函数.
(1)求证：是奇函数；
(2)求证：在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
29．已知函数（）.
（1）若函数图象上动点到定点的距离最小值是，求实数的值：
（2）若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围.
30．（1）已知，求函数的值域；
（2）已知，求函数的值域.
31．若(且是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)若，证明在上为增函数.
32．已知函数，且f（x）的图像关于y轴对称．
（1）求证：f（x）在区间上是单调递增函数；
（2）设函数，若在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．
33．已知
（1）求；
（2）若，求a的值；
（3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围.

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的性质，逐一对四个选项判断，即可选出正确答案.
【详解】
对于A：在单调递减，在单调递增，在定义域内不是单调函数，故选项A不正确；
对于B：在单调递增，是单调函数，故选项B正确；
对于C：在单调递减，在单调递减，但在定义域内不是单调函数，故选项C不正确；
对于D：在单调递增，在单调递减，在定义域内不是单调函数，故选项D不正确；
故选：B
【点睛】
本题主要考查了基本初等函数的单调性，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.
【详解】
对于，是偶函数，且在上单调递减，故正确.
对于，是偶函数，且在区间上是单调递增，故错误.
对于,是奇函数，不满足题意，故错误.
对于，的图象不关于轴对称,不是偶函数，故错误，故选A.
【点睛】
本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可.
【详解】
因为，
所以或，
即或，
所以，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的补集运算，属于容易题.
4．A
【解析】
【分析】
令 g（x）＝ax5﹣bx3+cx，则 g（﹣3）＝10，又 g（x）为奇函数，故有g（3）＝﹣10，故 f（3）＝g（3）﹣3．
【详解】
解：∵函数f（x）＝ax5﹣bx3+cx﹣3，f（﹣3）＝7，
令g（x）＝ax5﹣bx3+cx，则g（﹣3）＝10，
又g（x）为奇函数，∴g（3）＝﹣10，故 f（3）＝g（3）﹣3＝﹣13，
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的应用，求函数值，令 g（x）＝ax5﹣bx3+cx，求出 g（3）＝﹣10，是解题的关键．
5．A
【解析】
【详解】
对任意，当时，都有等价于函数在为减函数，由幂函数的性质可知在为减函数，故①正确；当时，在为减函数，故②正确；根据一次函数的单调性，函数在为减函数，故③正确；而函数在上递减，在上递增，故④错误，则满足条件的有①②③，故选A.
6．D
【解析】
构造函数，只需就满足题意.根据函数的单调性求解即可.
【详解】
设，由不等式对一切成立可得，.因为在上是减函数，所以当时，，所以，即，所以.
故选：D
【点睛】
本题考查了一次函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.
7．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】
易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】
本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
8．B
【解析】
【分析】
依题意, 函数y＝x－在[1，2]上是增函数即可求出最大值.
【详解】
解:函数y＝x在[1，2]上是增函数，函数y＝－在[1，2]上是增函数，
所以函数y＝x－在[1，2]上是增函数．
当x＝2时，ymax＝2－＝.
故选:B
9．D
【解析】
【详解】
分析：根据定义判断奇偶性再判断单调性．
详解：A既不是奇函数也不偶函数，B是偶函数，，C、D是奇函数，而C中函数在上递减，只有D中函数在上是增函数．
故选D．
点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，可根据奇偶性的定义判断奇偶性，再在奇函数里考察其单调性．
10．A
【解析】
【分析】
令，则，利用反比例函数的单调性，即得解.
【详解】
由题意，令，由于，故，
故，由反比例函数的性质，在单调递增，
故当时，；当时，，
故函数在的值域为：.
故选：A.
11．A
【解析】
由题设可知该复合函数在区间上单调递减，则可得，.由这两式联立可转化得，以及，记，，代入整理后可得，最后根据二次函数值域的求法，再结合题中对的限制条件（），即可求出最终结果.
【详解】
由得，且由复合函数的单调性可知函数为减函数，
故有，，
两式相减可得，
即，
则，
两式相加可得，
记，，
故有，，，
代入可得，
又因为，且均为非负数，故，
则由二次函数的值域可得：
当或时，取到最大值，
但当时，，与矛盾，则取不到最小值，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用换元法，将表示成关于的二次函数，进而求出的取值范围.
12．C
【解析】
【分析】
根据单调性逐一判断即可.
【详解】
A. 在区间是减函数；
B. ，在区间是减函数，在是增函数，故在区间上先减后增；
C. ，对称轴为，在区间是增函数，故在区间是增函数；
D. 在区间是减函数.
故选C.
【点睛】
本题考查简单函数的单调性，是基础题.
13．C
【解析】
【分析】
构造函数令g（x），利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（2）与g（3）的大小关系，整理即可得到答案．
【详解】
令g（x），则g′（x），
因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，所以g（3）＞g（2），即，
所以 e3f（2）＜e2f（3），
故选C．
【点睛】
本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．
14．C
【解析】
【分析】
由函数为偶函数可得得到在区间上是减函数，通过，将自变量转化为区间上即可得解.
【详解】
偶函数在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，
所以，A不正确；
，B不正确；
，C正确；
，D不正确.
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性与单调性的应用，属于基础题.
15．C
【解析】
【分析】
由题意不等式可化为，又可得函数在上单调递减，根据偶函数的对称性可将问题转化为和到对称轴的距离的大小的问题处理．
【详解】
∵偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增，
∴函数f(x)在上单调递减．
由题意，不等式可化为．
又函数的图象关于对称，
∴，即，
解得，
∴x的取值范围是[0,4]．
故选C．
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解不等式的关键是根据函数的性质将不等式中的符号“”去掉，转化为一般不等式求解，解题时要灵活运用函数的性质将问题转化．
16．B
【解析】
【分析】
先求得函数的解析式，画出的图像，由此求得函数的单调区间.
【详解】
g(x)＝如图所示，其递减区间是[0，1)．故选B.

【点睛】
本小题主要考查两个函数相乘函数的解析式的求法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想.属于中档题.
17．C
【解析】
【详解】
∵时,，
∴当时,；
当时,，
即时,，
∵在上单调递增，
∴且，
解得，
∴实数的取值范围是.
故选：C.
18．ABC
【解析】
【分析】
由可得或，由可得，结合图象即可得答案.
【详解】
因为函数的值域是，由可得或，由可得,如图，

所以其定义域可以为A、B、C中的集合，
故选：ABC
19．AD
【解析】
【分析】
对于A、B、C:利用基本初等函数的单调性直接判断；
对于D：利用图像法进行判断.
【详解】
对于A：二次函数的对称轴为x=0，所以在区间上单调递增.故A正确；
对于B：反比例函数在区间上单调递减.故B错误；
对于C：对勾函数在区间上单调递减.故C错误；
对于D：由图像可知，

在区间上单调递增.故D正确.
故选：AD
20．BC
【解析】
【分析】
通过可判断A；通过可判断B；通过可判断C；通过当时，可判断D.
【详解】
对于命题A，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题A错误；
对于命题B，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题B正确；
对于命题C，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题C正确；
对于命题D，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：BC.
【点睛】
本题主要考查了函数的对称性以及最值等基本性质，属于中档题.
21． 1
【解析】
【分析】
根据函数f(x)的单调性求出函数的最大值和最小值，然后结合题意求解可得的值．
【详解】
由题意得，函数 在上单调递增，
所以,，
由，解得，
所以．
【点睛】
本题考查利用函数的单调性求函数的最值，考查对知识的理解和运用，属于容易题．
22．
【解析】
【分析】
根据函数的定义域关于原点对称可得出，再由可得出的值，从而可得出函数的解析式.
【详解】
奇函数的定义域为，关于原点对称，所以，得，
故，又，即，得，
因此.
故答案为.
【点睛】
本题考查利用奇函数的定义求函数解析式中的参数，解题时要从函数的定义域关于原点对称来理解，考查运算求解能力，属于中等题.
23．
【解析】
【分析】
由题意，恒成立，令，即在上恒成立，然后利用二次函数的图象与性质求出最值即可得答案.
【详解】
解：因为在上单调递增，
所以恒成立，令，即在上恒成立，
因为，对称轴，
所以当时，，
所以，
故答案为：.
24．；
【解析】
【分析】
先利用函数的奇偶性、单调性将函数方程化简为 ，然后将看成斜率，利用斜率的最大最小值求出取值范围．
【详解】
因为函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以f（x）为奇函数，
所以
又f（x）是定义在R上的增函数，
所以即 ，其图象如图：
由于 表示半圆上的动点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，
所以由图可知：OA斜率最大为：3，；切线OB的斜率最小为：，
故的取值范围是，
故答案为．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性、单调性、数形结合思想，属难题．
25．且.
【解析】
【分析】
设，利用复合函数的单调性分和两种情况讨论即得.
【详解】
设，
当时，函数在区间上是增函数，即g(x)在区间上是增函数，
∴即；
当时，函数在区间上是增函数，即g(x)在区间上是减函数，但g(x)在区间上是增函数，
故不存在实数a，b使函数在区间上是增函数；
所以函数在区间上是增函数，实数a，b应满足的条件为且.
故答案为：且.
26．
【解析】
【分析】
使函数有意义，列出，求解x即可.
【详解】
函数的定义域为
故答案为
【点睛】
求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
27．(1)，
(2)单调递减区间：，单调递增区间：，值域：
(3)m不存在
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给对勾函数的单调性进行求解即可；
（2）利用换元法，结合对勾函数的单调性进行求解即可；
（3）结合（2）的结论，根据二次函数的性质分类讨论进行求解判断即可.
(1)
由题意知，函数在单调递减，
∴，；
(2)
，令，
∵，∴，则，
由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递増，
∴在上是减函数，在上是增函数，
，，．
综上可得，的单调递减区间为，
单调递增区间为，值域为；
(3)
由（2）知时，若存在，
使得成立，只需在上值域包含，
则分成以下四种情况：
；；，
解集均为空集，所以m不存在．
28．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）判断的关系即可.
（2）任取，判断的正负即可；
（3）将原不等式移项得，脱“f”，可解得原不等式的解集.
(1)
由已知函数定义域为，关于原点对称，

所以函数是奇函数；
(2)
任取，

因为，
所以
所以在上单调递增；
(3)
不等式可化为
因为在上单调递增
所以不等式可化为
解得.
29．（1）或；（2）.
【解析】
（1）利用两点的距离公式表示，然后利用基本不等式求出最值，建立方程，可求出实数的值；
（2）任取，且，利用函数单调性的定义可知 在区间上恒成立，从而求出实数的取值范围．
【详解】
(1)设 ，则，
，
当时，解得；
当时，解得，
∴或.
(2)由题意，任取，且，
则，
∵，，所以，即，
由，得，所以.
∴的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用，以及两点的距离公式等知识，同时考查了运算求解的能力和转化的思想，属于基础题．
30．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）复合函数求值域，拆成两个函数分别求值域即可；（2）先解出的范围，再利用换元成二次函数求值域即可．
【详解】
（1）因为当时，
，
（2），即，
，
设，
.
【点睛】
本题考查复合函数求值域，常用的思路就是将复合函数拆成基本初等函数，分别求值域，或者可以通过换元将其转化为二次函数解决．
31．（1）；（2）见解析．
【解析】
（1）由求出，然后再验证满足题意；
（2）先求出，再由单调性定义证明．
【详解】
（1）∵是奇函数，∴，，
时，是奇函数，∴．
（2），解得（舍去）．
∴，
设，
则，
∵，∴，即，而，
∴，即．
所以在上是增函数．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题关键，要注意是函数为奇函数的必要条件（前提是存在）．
32．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由于f（x）的图像关于y轴对称，所以可得f（x）为偶函数，再利用偶函数的定义列方程可求出的值，然后利用单调性的定义证明即可；
（2）由（1）得，令，将函数转化为，构造函数，由函数在区间上有两个零点，求出的范围，从而可求出m的取值范围
【详解】
（1）证明：∵f（x）的图像关于y轴对称，∴f（x）为偶函数，
，即，整理得，上式对任意的均成立，故1－a＝0，
∴．
任取，且，
则

．
，且，，，
即证得f（x）在上单调增．
（2）解：，
令．
则
．
由（1）可得当时，
引入函数．
易知F（t）在上单调递增，F（t）最多有一个零点．
要使h（x）在上有两个零点，则，
所以，可得，
故实数m的取值范围为．
33．（1）3（2）12（3）
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数解析式直接求解；
（2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可；
（3）作出函数图象，数形结合即可.
【详解】
（1），
，
（2）当时，，
当时，，
解得，
综上，
（3）作出的图象，如图，

由图象可知，当时，与y=b有三个交点.