高中数学高教版（中职）拓展模块3.5 正态分布优秀当堂检测题

3.5 正态分布（B卷·能力提升）

 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

满分：100分   考试时间：100分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ）

A．，        B．，         C．，     D．，

【答案】D

【解析】由正态分布密度函数表达式知，，故选D.

2．设随机变量，若在内取值概率为0.8，则在内取值为（    ）

A．0.2 B．0.1 C．0.8 D．0.4

【答案】D

【解析】因为随机变量，所以正态曲线关于对称，因为在内取值概率为0.8，

所以在内取值为，故选D．

3．若随机变量，且，则（    ）

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

【答案】A

【解析】：根据正态分布的对称性，，故选A.

4．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【答案】D

【解析】因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，又，

所以，则，故选D.

5．某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是（    ）

A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同

【答案】A

【解析】不妨设成绩服从正态分布，由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且是标准差，为正态曲线的对称轴，且为平均数，由题干所给图像可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大， 甲、乙、丙总体的平均数相同，故A正确，BCD错误，故选A.

6．已知随机变量，则（    ）

（参考数据，）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为随机变量，所以，，所以

，故选D.

7．已知随机变量服从正态分布N（3，4），若，则的值为（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】A

【解析】由正态分布的对称性知，，得，故选A.

8．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高（单位：）的情况，得出，随机测量一株水稻，其株高在（单位：）范围内的概率为（    ）

（附：若随机变量，则，）

A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174

【答案】B

【解析】由题意得，，所以，故选B.

9．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

【答案】C

【解析】解析由已知可得曲线关于直线对称，，所以，故，故选C.

10．某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分服从正态分布，若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数为（    ）（附：若随机变量，则，，）

A．12 B．23 C．46 D．159

【答案】B

【解析】因为，则，所以估计进入面试环节的人数为。故选B.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．

11．已知，且，则            .

【答案】

【解析】因，且，于是得，所以，故答案为.

12．已知随机变量，若，则            ．

【答案】3

【解析】由题意，随机变量，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，故答案为.

13.设随机变量，若，则            .

【答案】

【解析】因为随机变量，所以正态曲线关于对称，因为，所以，故答案为.

14．已知随机变量，若，则              . 

【答案】2

【解析】由，可知正态曲线的对称轴为直线，所以由题意可得，解得，

故答案为2.

15．某品牌摄像头的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命多于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为             .

【答案】0.25

【解析】由题意知，，，∴正态曲线的对称轴为直线，，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为0.5，∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为，故答案为0.25.

16．已知随机变量，且，则          ．

【答案】

【解析】由，且，则，所以，故答案为.

17．已知随机变量服从正态分布，若，则             .

【答案】0.6

【解析】因为，所以，因为随机变量服从正态分布，

所以，所以，故答案为0.6.

18．18．复兴村村委会以“美丽乡村”为话题，对村民进行了一次问卷调查（一位村民只能参加一次），参加问卷调查村民的得分，则               .

（附：参考数据与公式：，若，则；，）

【答案】

【解析】由可得，

，故答案为.

三、解答题：本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

19．（6分）已知随机变量服从正态分布，若，求．

【答案】0.954

【解析】解：∵随机变量X服从标准正态分布，∴正态曲线关于对称，∵，

∴.

20．（6分）设随机变量服从正态分布，若，求c的值．

【答案】2

【解析】解：因为随机变量服从正态分布，若，则，解得.

21．（8分）已知随机变量，且，求的值.

【答案】0.1587

【解析】解：∵ 随机变量X~N(3,1),∴ 正态曲线关于直线x=3对称，由P(2≤X≤4)=0.682 6,得P(X>4)=×[1-P(2≤X≤4)]=×(1-0.682 6)=0.1587，故答案为0.1587.

22．（8分）若，根据，，写出下列各概率值：（1）； （2）．

【答案】（1）（2）

【解析】解：（1）根据对称性，.

（2）

23．（8分）对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，女生成绩服从正态分布．请你从不同角度比较男、女生的考试成绩．

【答案】女生的平均成绩高于男生的平均成绩；男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中

【解析】解：由题意知男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布，

因为，所以女生的平均成绩高于男生的平均成绩；

又由，所以男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中.

24.（10分）某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布，已知，.

（1）求；

（2）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）0.4（2）见解析

【解析】解：（1）∵体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1，

∴P（75＜X＜95）=1﹣P（X≤75）﹣P（X≥95）=1﹣0.5﹣0.1=0.4．

（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，

P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，

∴ξ的分布列为：

E（ξ）==．