中职数学高教版（2021）基础模块下册7.1 平面向量的概念及线性运算教学设计

这是一份中职数学高教版（2021）基础模块下册7.1 平面向量的概念及线性运算教学设计，共16页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学设计，教学备品，课时安排，教学过程，教师教学后记等内容，欢迎下载使用。

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算

【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量的概念；
（2）理解平面向量的线性运算；
（3）了解共线向量的充要条件
能力目标：
（1）能将生活中的一些简单问题抽象为向量问题；
（2）正确进行平面向量的线性运算，并作出相应的图形；
（3）应用共线向量的充要条件判断两个向量是否共线；
（4）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力
情感目标：
（1）经历利用有向线段研究向量的过程，发展“数形结合”的思维习惯．
（2）经历合作学习的过程，树立团队合作意识．
【教学重点】
向量的线性运算．
【教学难点】
已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．
【教学设计】
从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．
向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.
教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.
向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.
实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为的倍．由此得到．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“ ”等条件.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
7.1 平面向量的概念及线性运算
*创设情境 兴趣导入
如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？



图7－1

介绍


播放
课件




引导
分析

了解


观看
课件

思考



自我
分析




从实例出发使学生自然的走向知识点

0











3
*动脑思考 探索新知
【新知识】
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．
我们经常用箭头来表示方向，带有方向的线段叫做有向线段．通常使用有向线段来表示向量．线段箭头的指向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作．


a
A
B

图7－2
平面内的有向线段表示的向量称为平面向量．
向量的大小叫做向量的模．向量a, 的模依次记作，．
模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．
模为1的向量叫做单位向量．




总结
归纳






仔细
分析
讲解
关键
词语






思考





理解







记忆







带领
学生
分析





引导
式启
发学
生得
出结
果




























10
*巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a 与b．
a
b
A











图7-3



说明
强调
引领


讲解
说明


强调
含义



观察



思考



主动
求解








通过例题进一步领会






















13
*运用知识 强化练习
K
TK
图7−4
A
B
C
D
E
F
H
G
M
N
Q
P
L
Z
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)．
















提问
巡视
指导










思考
口答






及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况




















18
*创设情境 兴趣导入
观察图7−4中的向量与，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量与所在的直线平行，两个向量的方向相反．


播放
课件

质疑

引导
分析


观看
课件


自我
分析


从实例出发使学生自然的走向知识点









20
*动脑思考 探索新知
【新知识】
方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量与向量b平行记作//b．
规定：零向量与任何一个向量平行．
由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．
【想一想】
图7−4中，哪些向量是共线向量？



总结
归纳


仔细
分析
讲解
关键
词语



思考
归纳


理解
记忆







带领
学生
总结














23
*动脑思考 探索新知
【新知识】
图7−4中的平行向量与，方向相同，模相等；平行向量与，方向相反，模相等．
我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b ．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．
与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作．
规定：零向量的负向量仍为零向量．
显然，在图7－4中，= ，= －．




总结
归纳


仔细
分析
讲解
关键
词语




思考
归纳


理解
记忆




思考
归纳


理解
记忆
















28
*巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
A
D
C
B
图7－5
O
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出向量的负向量；
（3）找出与向量平行的向量．
分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．
解 由平行四边形的性质，得
（1）=；
（2）=,；
（3）//,//，//．

说明
强调


引领


讲解
说明


引领


强调
含义
说明

观察

思考

主动
求解


观察

思考
求解
领会
思考
求解




通过例题进一步领
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
强调














+






33
*运用知识 强化练习
1． 如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出
（1）与相等的向量；（2）与共线的向量．
F
A
D
B
E
C
（练习题1．1．1第2题图）
第1题图
E
F
A
B
C
D
O
（图1－8）
第2题图

2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出
（1）与相等的向量； （2）的负向量； （3）与共线的向量．





启发
引导







提问
巡视
指导






思考
了解







动手
求解









可以
交给
学生
自我
发现
归纳






















38
*创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m到达学校（C处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A处）到达了学校（C处）．
A
B
C
图7－6
500m
200m



播放
课件


质疑


引导
分析



观看
课件


自我
分析



从实例出发使学生自然的走向知识点















42
*动脑思考 探索新知
位移叫做位移与位移的和，记作=+．
图7－7
A
C
B
a
b
a+b
a
b

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作=a, =b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即
a＋b =＋= （7．1）
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．
观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量．其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点．
【做一做】
给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量．
【想一想】
（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．
（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？









总结
归纳










仔细
分析
讲解
关键
词语









思考
归纳









理解
记忆













带领
学生
总结


































50
*动脑思考 探索新知
如图7－9所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得
图7－9

A
D
C
B

＋=＋=

这说明，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（−a）= 0；
（2）a＋b=b＋a；
（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．




总结
归纳








仔细
分析
讲解
关键
词语




思考
归纳






理解
记忆









带领
学生
总结

























55
*巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
A
B
D
C
图7－10
解 如图7－10所示，表示船速，为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，是船的实际航行速度，显然
==13．
又，利用计算器求得
．
即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约．
*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小．
分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是，所以．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以.
解 利用平行四边形法则，可以得到

F1
F2
k

图7－11
，
所以
．
【想一想】
根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？

图7-12






说明
强调







引领



讲解
说明




引领
分析

























讲解
说明






观察







思考



主动
求解






观察
思考
求解






领会
















思考
求解
























注意
观察
学生
是否
理解
知识
点














反复
强调




























































62
*运用知识 强化练习
练习7.1.2
1． 如图，已知a，b，求a＋b．
（图1－15）
b
b
a
a
（1）
（2）
第1题图
2．填空（向量如图所示）：
（1）a＋b =_____________ ,
（2）b＋c =_____________ ,
（3）a＋b＋c =_____________ ．
3．计算：
（1）＋＋； （2）＋＋．





启发
引导







提问
巡视
指导






思考
了解







动手
求解








可以
交给
学生
自我
发现
归纳






















65
*创设情境 兴趣导入
在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．

质疑
引导
分析

思考
参与
分析
引导启发学生思考




66
*动脑思考 探索新知
与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即
a −b = a＋(−b)．
设a，b ，则
．
即 = （7．2）
观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．
a
A
a-b
B
b
O
图7－13



总结
归纳










仔细
分析
讲解
关键
词语






思考
归纳







理解
记忆












带领
学生
总结























68
*巩固知识 典型例题
例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a－b．
B
b
O
a
A
b
a
（1）
（2）
图7－14

解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O为起点，作=a，=b，连接BA，则向量为所求的差向量，即
= a－b ．
【想一想】
当a与 b共线时，如何画出a－b ．



强调
含义






说明




思考
求解





领会



思考
求解






注意
观察
学生
是否
理解
知识
点

















70
*运用知识 强化练习
1．填空：（1）=_______________，
（2）=______________，
（3）=______________．
2．如图，在平行四边形ABCD中，设= a,= b，试用a, b表示向量、、．



启发
引导





提问
巡视
指导




思考
了解





动手
求解



可以
交给
学生




自我
发现
归纳














72
*创设情境 兴趣导入
观察图7－15可以看出，向量与向量a共线，并且
＝3a．
a
a
a
a
O
A
B
C

图7−15


质疑



引导
分析



思考



参与
分析



引导启发学生思考











74
*动脑思考 探索新知
一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为
（7．3）
若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有 （7．4）
一般地，有
0a= 0, 0 = 0 ．　　　　
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：




【做一做】
请画出图形来，分别验证这些法则．
向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．








总结
归纳

















仔细
分析
讲解
关键
词语








思考
归纳








理解
记忆







理解
记忆








带领
学生
分析
















引导
启发
学生
得出
结论










































78
*巩固知识 典型例题
例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，＝a ，＝b，试用a, b表示向量、．
分析 因为,，所以需要首先分别求出向量与.
图7－16


解 ＝a＋b,＝b −a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以
（a＋b）＝a＋b，
＝＝（b −a）＝−a+b．
例6中，a＋b和−a+b都叫做向量a，b的线性组合，或者说，、可以用向量a，b线性表示．
一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示．
向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．








强调
含义






说明









思考
求解





领会





思考
求解











注意
观察
学生
是否
理解
知识
点



























81
*运用知识 强化练习
1． 计算：（1）3（a −2 b）－2（2 a＋b）；
（2）3 a −2（3 a −4 b）＋3（a −b）．
2．设a, b不共线，求作有向线段，使＝（a＋b）．
3. 在正方形ABCD中，，。
（1）用、表示向量；
（2）用、表示向量。


启发
引导

提问
巡视
指导

思考
了解

动手
求解

可以
交给
学生
自我
发现
归纳







83
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
向量、向量的模、向量相等是如何定义的？
结论：
当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）
向量的大小叫做向量的模．向量a, 的模依次记作，．
a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b ．



质疑



归纳强调





回答








及时了解学生知识掌握情况















85
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

引导


回忆



*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
计算：
（1）＋＋； （2）＋＋．


提问

巡视
指导


反思

动手
求解

检验
学生
学习
效果







88
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；7．1 B组（选做）
(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题

说明

记录

分层次要求






90
【教师教学后记】
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生的情感态度
学生是否参与有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生思维情况
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况
学生是否善于与人合作；
在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；