数学基础模块下册10.2 概率教案

一 引入新课

一、概率论研究的对象

1、两类现象---确定现象与不确定现象

先从实例来看自然界和社会上存在着两类不同的现象。

例1、水在一个大气压力下,加热到100℃就沸腾。

例2、向上抛掷一个五分硬币,往下掉。

例3、太阳从东方升起。

例4、一个大气压力下,20℃的水结冰。

例1,例2,例3是必然发生的,而例4是必然不发生的。

条件完全决定结果的现象称之为确定性现象或必然现象.微积分,线性代数等就研究必然现象的数学工具.与此同时,在自然界和人类社会中,人们还发现具有不同性质的另一类现象先看下面实例。

例5、用大炮轰击某一目标,可能击中,也可能击不中。

例6、在相同的条件下,抛一枚质地均匀的硬币,其结果可能是正面(我们常把有币值的一面称作正面)朝上,也可能是反面朝上。

例7、次品率为50%的产品,任取一个可能是正品,也可能是次品。

例8、次品率为1%的产品,任取一个可能是正品,也可能是正品。

      例5~例8这类现象归纳起来可以看作在相同条件下一系列的试验或观察,而每次试验或观察的可能结果不止一个,在每次试验或观察之前无法预知确切结果,即呈现出不确定性(即这些现象的结果事先不能完全确定)。条件不能完全决定结果的现象称之为不确定性现象或偶然现象,也称之为随机现象。

2、统计规律性、概率论研究的对象

      对于不确定性现象,人们经过长时期的观察或实践的结果表明,这些现象并非是杂乱无章的,而是有规律可寻的.例如,大量重复抛一枚硬币,得正面朝上的次数与正面朝下的次数大致都是抛掷总次数的一半.在大量地重复试验或观察中所呈现出的固有规律性,就是我们以后所说的统计规律性.而概率论正是研究这种随机(偶然)现象,寻找他们的内在的统计规律性的一门数学学科。

       概率论是数理统计的基础,由于随机现象的普遍性,使得概率与数理统计具有及其广泛的应用。另一方面,广泛的应用也促进概率论有了极大的发展。

二、随机试验

    对随机现象进行的试验或观察称为随机试验,简称试验,它具有下列特性(征)：

（1）试验可以在相同条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

随机实验记为E.

例1、E1:投掷一枚硬币,观察正反面朝上的情况。

它有两种可能的结果就是“正面朝上”或“反面朝上”,投掷之前不能预言哪一个结果出现，且这个试验可以在相同的条件下重复进行，所以E1是一个随机试验。

例2、E2：掷一颗骰子，观察出现的点数。

它有6种可能的结果就是“出现1点”，“出现2点”•••，“出现6点”。但在投掷之前不能预言哪一个结果出现，且这个试验可以在相同的条件下重复进行，所以E2是一个随机试验。

例3、E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试他的寿命。

我们知道灯泡的寿命（以小时计）t≥0,但在测试之前不能确定它的寿命有多长，这一试验也可以在相同的条件下重复进行，所以E3是一个随机试验。

三、基本事件空间、随机事件

对随机试验我们感兴趣的是试验结果。随机试验E的每一个可能的结果，称之为基本事件，它是不能再分的最简单的事件。因为随机试验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，我们把随机试验E的所有基本事件所组成的集合（全体）叫做试验E的基本事件空间，通常用字母Ω表示，Ω中的点，即基本事件。有时也称做样本点，常用ω表示。

例4、试验E2：投掷一枚硬币。

“正面朝上”和“反面朝上”是E1的基本事件，所以基本事件空间Ω={正，反}。

例5、试验E2：掷一颗骰子。

         令i表示“出现i点”。（i=1，2，•••，6），是E2的基本事件，所以基本事件空间Ω={1，2，•••，8}。

例6、试验E3：测试灯泡寿命。

         令t表示“测得灯泡寿命为t小时”，则0≤t＜+∞是E3的基本事件，所以Ω={t|0≤t＜+∞}.

例7、一个盒子中有十个相同的球，但5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取一球。

令ω1={取得白球}，ω2={取得黑球}，则Ω={ω1，ω2}。

例8、试验E4：将一硬币抛掷两次。

则Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}。其中（正，正）表示“第一次正面朝上，第二次正面朝上”，余类推。                                                                                                       

例9、个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码1，2，•••，10，从中任取一球，令i={取得球的标号为i},则Ω={1，2，•••，10}。                                               

在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生。如在例5中E2试验，我们可以研究

      A表示“出现2点”即A={出现2点}

      B表示“出现偶数点”

      C表示“出现的点数≤4”

这些结果是否发生？

          在例9中，我们可以研究

                    D={球的标号=6}

           E={球的标号是偶数}

           F={球的标号≤5}

这些结果是否发生？

    其中A是一个基本事件，而B是由{出现2点}，{出现4点}和{出现6点}这三个基本事件组成的，当且仅当这三个基本事件中有一个发生，B发生。所以B，C，E，F是由若干个有某些特征的基本事件所组成的，相对与基本事件，就称她们是复合事件。无论是基本事件还是复合事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫随机事件或简称事件，今后我们常用大写字母A，B，C等表示事件。

    我们已经知道基本事件空间Ω包含了全体基本事件，而任一随机事件不过是有某些特征的基本事件所组成，所以从集合论的观点来看，任一随机事件不过是基本事件空间Ω的一个子集而已，而且它发生，当且仅当它中的一个样本点发生。如在例5中，随机事件A、B、C都是Ω的子集，它们可以简单地表示为

                 Ω={1，2，3，4，5，6}

                 A={2}，B={2，4，6}

                 C={1，2，3，4}

在例9中

                 Ω={1，2，•••，10}

                 D={6}，E={2，4，5，8，10}

                 F={1，2，3，4，5}

     事件D只含一个试验结果，而在事件E和F中各含5个可能的试验结果。所以我们也可以这样说，只包含一个试验结果的事件为基本事件，由两个或两个以上基本事件复合而成的事件为复合事件。

     在试验E中必然会发生的事情叫必然事件，不可能发生的事情叫不可能事件，例如例5E2中“点数不大于6”是必然事件，“点数大于6”是不可能事件，因为Ω是所有基本事件所组成的，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一基本事件ω，即ω∈Ω。也就是在试验中，Ω必然会发生，所以今后用Ω来代表必然事件，类似地，空集Φ可以看作是Ω的子集，它在任一次试验中都不会发生，所以Φ是不可能事件。必然事件和不可能事件的发生与否，已经失去了今后研究的方便，我们把它们当作一种特殊的随机事件。

     小结  将随机事件表示成由样本点组成的集合，就可以将事件间的关系和运算归结为集合之间的关系和运算，这不仅对研究事件的关系和运算是方便的，而且对研究随机事件发生的可能性大小的数量指标—概率的运算也是非常有益的。

四、事件之间的关系和运算

    一个基本事件空间Ω中，可以有很多的随机事件。概率论的任务之一，是研究随机事件的规律，通过对简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律。为此，下面我们引进事件之间的一些重要关系和运算，通过研究事件间的各种关系，进而研究事件间的概率的各种关系，就有可能利用较简单事件的概率去推算较复杂的事件的概率。

    在以下的叙述中，设试验E的基本事件空间为Ω，还给了Ω中的一些事件，如A，B，A(=1,2,•••)等等。

（一）事件的包含及相等

当事件A发生时必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含A，

记为A或B。

即，用文（Venn）图表示为：

反之，B若B不发生，则必然A也不会发生。

显然，对任意事件A有：⑴A；⑵；⑶若A，B，则A。比如在例5中，A={2}，B={2，4，6}，显然AB。

如果将事件用集合表示，则事件B包含事件A即为A是B的子集合（B包含集合A）。

如果有AB且BA，则称事件A与事件B相等，记作A=B。

易知，相等的两个事件A、B，总是同时发生或同时不发生，亦即A=B等价于它们是由相同的试验结果构成的。

如在例9中，若A={球的标号为偶数}，B={球的标号为2、4、6、8、10}，则显然有A=B，所谓A=B，就是A、B中含有相同的样本点。

显然有A＝BA且B

（二）事件的互不相容

如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB=Ф，则称二事件A与B是互不相容的（或互斥的）。A，B互不相容等价于它们不包含相同的试验结果。互不相容事件A与B没有公共的样本点。用文（Venn）图表示为：

    若用集合表示事件，则A，B互不相容即为A与B是不交的。

    如果n个事件A1，A2，…，An中，任意两个事件不可能同时发生，即AiAj=Ф(1≤i＜j≤n)，则称这n个事件A1，A2，…An是互不相容的（或互斥的）。在任意一个随机试验中基本事件都是互不相容的。还容易看出，事件A与B-A是互不相容的。

（三）对立事件

    若A是一个事件，令=Ω-A，称是A的对立事件或逆事件。容易知道，在一次试验中，若A发生，则必不发生（反之亦然），即A与中必然有一个发生，且仅有一个发生，即事件A与满足条件A=Ф，A∪=Ω。

由所有不包含在A中的试验结果构成。

即，用文（Venn）图表示为：

比如例5中，A={2，4，6}，B={1，3，5}，则=B，=A，所以A，B互为对立事件。必然事件与不可能事件也是互为对立事件。

显然有：（证明：）

    注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。

例如，在抛硬币的试验中，设A={出现正面}，B={出现反面}，则A与B互斥且A与B互为对立事件；而在掷骰子的试验中，设A={出现1点}，B={出现2点}，则A与B互斥，但A与B不是对立事件。

    由事件关系的定义看出，它与集合的关系是一致的，因此集合的运算性质对事件的运算也都适用。

（四）事件的运算法则：

1、交换律

       A∪B=B∪A，AB=BA。

2、结合律

       A∪B∪C=A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C

       ABC=(AB)C=A(BC)

3、分配律

       A(B∪C)=AB∪AC

       A∪BC=(A∪B)(A∪C)

     例10、掷一颗骰子的试验，观察出现的点数：事件A表示“奇数点”；B表示“点数小于5”；C表示“小于5的偶数点”。用集合的列举法表示下列事件：Ω，A，B，C，A∪B，A-B，AB，AC，C-A，

      解           Ω={1，2，3，4，5，6}

                   A={1，3，5}

                   B={1，2，3，4}

                   C={2，4}

                   A∪B={1，2，3，4，5}

A-B={5}

AB={1，3}

AC=Ф

C-A={2，4}

={1，2，3，4，6}

例11、设A，B，C是三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件：

（1）B，C都发生，而A不发生。

（2）A，B，C中至少有一个发生。A∪B∪C

（3）A，B，C中恰有一个发生。

（4）A，B，C中恰有两个发生。

（5）A，B，C中不多于一个发生。

（6）A，B，C中不多于二个发生。

二 小结与提问：

   本节课介绍了随机试验、随机事件、基本事件空间等概念，在此基础上讨论了事件之间的各种关系与运算。

由事件间的关系与运算，一个复合事件的表示方式是否一定是唯一的？

三 课外作业：

  1 书上 2 练习册