中职数学高教版（2021）基础模块下册6.1 数列的概念教学设计

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

⒈ 数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数列．

注意：（1）数列中的数是按一定次序排列的；

（2）同一个数在数列中可以重复出现．

2. 数列的一般形式

数列a1，a2，a3，…，an，…，可记作{ an }．

3. 数列的通项公式：

如果数列{ an }的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．

教师引导学生复习．

为学生进一步理解通项公式，应用通项公式解决实际问题做好准备．

新

课

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课

如果已知一个数列的通项公式，则可依次用限定的正整数1，2，3，…去代替公式中的n，就可求出数列中的各项．

例1  根据通项公式，写出下面数列{ an }的前5项：

（1）an = ；

（2）an = (－1)n ·n .

解 （1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为

 ， ，， ，；

（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为

－1，2，－3，4，－5．

练习一

根据下列数列{an}的通项公式，写出它的前5项：

（1）an = n3；

（2）an = 5(－1)n+1 .

练习二

根据下列数列{an}的通项公式，写出它的第7项和第10项：

（1）an = ；

（2）an = n (n+2)；

（3）an = ；

（4）an = －2n+3 .

例2  写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，3，5，7；

（2），，，；

（3）－ ， ，－ ， ．

解 （1）数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是

an = 2n－1；

（2）数列的前四项，，，分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是

 an =  = ；

（3）数列的前四项 －，，－，的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是

an = ．

总结：

（1）当一个数列中的数依次出现“＋”“－”相间时，应先把符号分离出来，用(－1)n或(－1)n+1等来表示．

（2）认真观察各数列所给出的项，寻求各项与序号的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式．

练习三

（1）已知一个数列的前4项分别是，，，，…，则它的一个通项公式是          ．

（2）数列，，，，…的一个通项公式是（    ）．

（A）   （B）

（C）（D）

例3  已知数列{an}的第1项是1，以后各项由公式

an = 1＋（n≥2）

给出，写出这个数列的前5项．

例3中的函数表达式，表达的是任一项an与它的前一项an-1的关系，这样的关系式叫做数列的递推公式．

解  不难得出

a1 = 1；

a2 = 1＋ = 1＋ = 2；

a3 = 1＋ = 1＋ = ；

a4 = 1＋ = 1＋ = ；

a5 = 1＋ = 1＋ = ．

练习四

（1）已知数列{an}，其中a1=1 981，an = an－1＋12，n≥2，写出这个数列的前5项．

（2）已知数列{an}中，a5 = 2009，an = an－1＋12，n≥2．求a1．

学生解答例题．

师：你能总结一下这类题目的解决方法吗？

学生总结解法，教师点拨、解答学生疑难，多媒体出示解题过程．

请学生在黑板上做练习一和练习二．

老师巡视指导．

师生共同订正答案．

教师引导学生分析数列的每一项与这一项的序号之间的对应关系：

项  1   3   5   7

↓  ↓  ↓  ↓

序号  1   2   3   4

师：你能找出各项与项数二者的对应关系满足什么规律吗？

学生探究找出规律：数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1．

师：如何用含有n的式子来表示第n项an？

教师对学生的回答给以点评，板书解题过程．

学生根据（1）题的解题思路，分组合作，讨论解答后两道题．

教师巡视指导．

教师说明数列的通项公式可以不止一个．

教师引导学生总结．

师：当一个数列中的数依次出现“＋”“－” 相间时，应如何解决？

师：根据数列的前几项，写数列的一个通项公式的方法是什么？

学生合作探究，完成练习．

教师巡视指导．

师生共同订正答案．

教师出示例3，引导、点拨．

师：数列中， an 项与an-1项是什么关系？

引导学生得出：是任一项与前一项的关系．

教师给出递推公式的定义．

学生分组探究．

教师巡视指导，强调代数计算时，要注意正确性．

请学生在黑板上做题．

教师巡视指导、订正．

将例题直接当作成练习，由学生自己寻找解题方法，让学生体验探索与成功的快乐．

由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，本练习为写通项公式做准备，尤其是对接受能力偏弱的学生，可多举几个例子让学生观察，归纳通项公式与各项序号的关系，尽量为例2做准备．

由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项的结构特征，让学生依据前几项的规律，寻求项与序号的关系．最后教师引导学生结论．

培养学生的合作探究意识和创新意识．

学生可能会写出多种不同的通项公式，对学生善于思考，勇于创新的精神给予赏识性评价．

培养学生勤动手、动脑、善于总结、归纳的习惯．

通过练习，让学生进一步掌握写通项公式的方法．

在教师的引导下，培养学生观察、分析、归纳的能力．

培养学生积极实践、科学探究的学习态度．

加强练习，体会递推公式的应用．

小

结

三类题目：

（1）由数列的通项公式写出数列某一项；

（2）根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式；

（3）根据数列的递推公式写出数列的前几项．

学生阅读课本P5～P7，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处强调总结．

作

业

教材P8，习题第5，6，7题．

学生课后完成．

巩固拓展．