高中数学高教版（中职）基础模块下册6.1.1 数列的定义教学设计及反思

这是一份高中数学高教版（中职）基础模块下册6.1.1 数列的定义教学设计及反思，共4页。教案主要包含了教学目标，教学过程等内容，欢迎下载使用。

1. 理解数列的通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的任意一项，以及根据其前几项写出它的一个通项公式．
2. 了解数列的递推公式，会根据数列的递推公式写出前几项．
3. 培养学生积极参与、大胆探索的精神，培养学生的观察、分析、归纳的能力．
教学重点 数列的通项公式及其应用．
教学难点 根据数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式．
教学方法
本节课主要采用例题解决法．通过列举实例，进一步研究数列的项与序号之间的关系．通过三类题目，使学生深刻理解数列通项公式的意义，为以后学习等差数列与等比数列打下基础．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
⒈ 数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列．
注意：（1）数列中的数是按一定次序排列的；
（2）同一个数在数列中可以重复出现．
2. 数列的一般形式
数列a1，a2，a3，…，an，…，可记作{ an }．
3. 数列的通项公式：
如果数列{ an }的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．
教师引导学生复习．
为学生进一步理解通项公式，应用通项公式解决实际问题做好准备．
新
课
新
课
新
课
如果已知一个数列的通项公式，则可依次用限定的正整数1，2，3，…去代替公式中的n，就可求出数列中的各项．
例1 根据通项公式，写出下面数列{ an }的前5项：
（1）an = eq \f( n , n+1 )；
（2）an = (－1)n ·n .
解 （1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为
eq \f(1,2) ， eq \f(2,3) ， eq \f(3,4)， eq \f(4,5) ， eq \f(5,6)；
（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为
－1，2，－3，4，－5．
练习一
根据下列数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
（1）an = n3；
（2）an = 5(－1)n+1 .
练习二
根据下列数列{an}的通项公式，写出它的第7项和第10项：
（1）an = eq \f( n , n2 )；
（2）an = n (n+2)；
（3）an = eq \f( (－1)n+1 , n )；
（4）an = －2n+3 .
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
（2） eq \f(22－1,2)， eq \f(32－1,3)， eq \f(42－1,4)， eq \f(52－1,5)；
（3）－ eq \f(1,1•2) ， eq \f(1,2•3) ，－ eq \f(1,3•4) ， eq \f(1,4•5) ．
解 （1）数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是
an = 2n－1；
（2）数列的前四项 eq \f(22－1,2)， eq \f(32－1,3)， eq \f(42－1,4)， eq \f(52－1,5)分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是
an = eq \f(( n + 1 ) 2－1,n + 1) = eq \f( n ( n + 2 ),n + 1)；
（3）数列的前四项 － eq \f(1,1•2)， eq \f(1,2•3)，－ eq \f(1,3•4)， eq \f(1,4•5)的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是
an = eq \f(( －1 ) n,n•( n + 1 ))．
总结：
（1）当一个数列中的数依次出现“＋”“－”相间时，应先把符号分离出来，用(－1)n或(－1)n+1等来表示．
（2）认真观察各数列所给出的项，寻求各项与序号的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式．
练习三
（1）已知一个数列的前4项分别是 eq \f(1,2)， eq \f(1,4)， eq \f(1,6)， eq \f(1,8)，…，则它的一个通项公式是 ．
（2）数列 eq \f(23－1,2)， eq \f(33－1,3)， eq \f(43－1,4)， eq \f(53－1,5)，…的一个通项公式是（ ）．
（A） eq \f(n (n2－1) ,n +1) （B） eq \f(n (n 2+1),n)
（C） eq \f(n (n2 +3n+ 3) ,n + 1)（D） eq \f(n (n2 +2),n)
例3 已知数列{an}的第1项是1，以后各项由公式
an = 1＋ eq \f(1,an－1)（n≥2）
给出，写出这个数列的前5项．
例3中的函数表达式，表达的是任一项an与它的前一项an-1的关系，这样的关系式叫做数列的递推公式．
解 不难得出
a1 = 1；
a2 = 1＋ eq \f(1,a1) = 1＋ eq \f(1,1) = 2；
a3 = 1＋ eq \f(1,a2) = 1＋ eq \f(1,2) = eq \f(3,2)；
a4 = 1＋ eq \f(1,a3) = 1＋ eq \f( 1 ,\f(3,2)) = eq \f(5,3)；
a5 = 1＋ eq \f(1,a4) = 1＋ eq \f( 1 ,\f(5,3)) = eq \f(8,5)．
练习四
（1）已知数列{an}，其中a1=1 981，an = an－1＋12，n≥2，写出这个数列的前5项．
（2）已知数列{an}中，a5 = 2009，an = an－1＋12，n≥2．求a1．
学生解答例题．
师：你能总结一下这类题目的解决方法吗？
学生总结解法，教师点拨、解答学生疑难，多媒体出示解题过程．
请学生在黑板上做练习一和练习二．
老师巡视指导．
师生共同订正答案．
教师引导学生分析数列的每一项与这一项的序号之间的对应关系：
项 1 3 5 7
↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4
师：你能找出各项与项数二者的对应关系满足什么规律吗？
学生探究找出规律：数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1．
师：如何用含有n的式子来表示第n项an？
教师对学生的回答给以点评，板书解题过程．
学生根据（1）题的解题思路，分组合作，讨论解答后两道题．
教师巡视指导．
教师说明数列的通项公式可以不止一个．
教师引导学生总结．
师：当一个数列中的数依次出现“＋”“－” 相间时，应如何解决？
师：根据数列的前几项，写数列的一个通项公式的方法是什么？
学生合作探究，完成练习．
教师巡视指导．
师生共同订正答案．
教师出示例3，引导、点拨．
师：数列中， an 项与an-1项是什么关系？
引导学生得出：是任一项与前一项的关系．
教师给出递推公式的定义．
学生分组探究．
教师巡视指导，强调代数计算时，要注意正确性．
请学生在黑板上做题．
教师巡视指导、订正．
将例题直接当作成练习，由学生自己寻找解题方法，让学生体验探索与成功的快乐．
由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，本练习为写通项公式做准备，尤其是对接受能力偏弱的学生，可多举几个例子让学生观察，归纳通项公式与各项序号的关系，尽量为例2做准备．
由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项的结构特征，让学生依据前几项的规律，寻求项与序号的关系．最后教师引导学生结论．
培养学生的合作探究意识和创新意识．
学生可能会写出多种不同的通项公式，对学生善于思考，勇于创新的精神给予赏识性评价．
培养学生勤动手、动脑、善于总结、归纳的习惯．
通过练习，让学生进一步掌握写通项公式的方法．
在教师的引导下，培养学生观察、分析、归纳的能力．
培养学生积极实践、科学探究的学习态度．
加强练习，体会递推公式的应用．
小
结
三类题目：
（1）由数列的通项公式写出数列某一项；
（2）根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式；
（3）根据数列的递推公式写出数列的前几项．
学生阅读课本P5～P7，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处强调总结．
作
业
教材P8，习题第5，6，7题．
学生课后完成．
巩固拓展．