河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题（含答案）

河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知实数x，y满足则目标函数z＝2x＋4y的最大值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．11

4．在区间上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．点到双曲线：的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．5

6．已知函数的最小值为2，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

7．在中，满足，且，，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数，，对于下述四个结论：

①函数的零点有三个；②函数关于对称；

③函数的最大值为2；④函数的最小值为0．

其中正确结论的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图，函数在区间上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

11．设，为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆的上顶点，点B在椭圆上且满足，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知等差数列的前n项和为，且，则______．

14．已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为______．

15．已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______．

16．在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为______．

三、解答题

17．2023 U. I. M. F1摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛于2023年4月29日~30日在郑东新区龙湖水域举办．这场世界瞩目的国际体育赛事在风光迤逦的龙湖上演绎了速度与激情，全面展示了郑州现代化国家中心城市的活力与魅力．为让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学社团举办了相关项目的知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中成绩的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；

(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在，的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人为赛事志愿者，求这2名志愿者中至少有一人的成绩在的概率．

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，AD⊥AB，，．

(1)证明：平面平面PBD；

(2)求点D到平面PBC的距离．

19．已知数列满足：，．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和．

20．已知函数．

(1)若a＝1，求函数的极值；

(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数a的范围．

21．已知抛物线C：上一点关于动点的对称点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且为，的中点．

(1)当直线过坐标原点时，求直线的方程；

(2)求面积的最大值．

22．在直角坐标系xOy中，曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线，的极坐标方程；

(2)若曲线：分别交曲线，（不包括极点）于A、B两点，求的最大值．

23．已知正实数a，b，c．

(1)若x，y，z是正实数，求证：；

(2)求的最小值．

参考答案：

1．C

【分析】依次解不等式求集合A、B，再求交集即可.

【详解】由题意可得：，

故，即C正确；

故选：C

2．B

【分析】通过题意找出的一般规律，再化简原式写出复数在复平面内对应的点的坐标判断象限即可.

【详解】因为，

所以，

由于，所以.

所以，

故复数在复平面内对应的点坐标为，位于第二象限.

故选：B.

3．D

【分析】由约束条件作出可行域，将问题转化为求直线在轴上的截距的最大值即可.

【详解】由约束条件作出可行域如图所示：

由图可知，由解得，

由，得，

由图可知，当直线过点时，

直线在轴上的截距最大，即有最大值为.

故选：D

4．A

【分析】根据三角函数的性质及几何概型计算即可.

【详解】，解得，

则在区间上，满足条件，

故事件“”发生的概率为.

故选：A

5．C

【分析】由双曲线的性质计算即可.

【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线为：，

所以到的距离为，

不妨设则.

故选：C

6．B

【分析】首先分析出，然后求导得，得到，解出值，得到函数解析式，代入即可得到答案.

【详解】显然，若，则，不合题意，故，则定义域为，

，令，解得，

当时，，此时单调递减，

当时，，此时单调递增，

故当时，，

解得，则，

则.

故选：B.

7．C

【分析】由同角三角函数的平方关系化简求出，再利用余弦定理即可求解AC.

【详解】解：，

即，解得，

由余弦定理可知，

则，整理得，

解得或（舍），

故选：C.

8．C

【分析】利用三角函数的图象变换计算即可.

【详解】由题意可设，则函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得，再向右平移个单位长度，得到函数

则， 所以，

故，

根据选项可知时，，故C正确；

故选：C

9．B

【分析】利用倍角余弦公式得，令判断①；根据是否成立判断②；利用二次函数、余弦函数性质求函数最值判断③④.

【详解】由，令，

所以或，又，故或或或，

所以的零点有四个，①错；

，关于对称，②对；

由，而，且含cos x的二次函数开口向上，

又，故的最大值：时有，③对；

的最小值：时有，④错；

故选：B

10．A

【分析】由函数的奇偶性及值域分析即可.

【详解】由题意，

即为奇函数，可排除C项，

而当且仅当即时，取等号，

且时，，可排除B、D选项，

故选：A

11．D

【分析】由题设及椭圆对称性，若下顶点为，则直线必过下顶点，且，进而有，设，根据向量数量关系的坐标表示求坐标，再由点在椭圆上得到参数关系，即可求离心率.

【详解】由且A为椭圆的上顶点，则，，若下顶点为，

根据椭圆对称性知：直线必过下顶点，且，故不可能为下顶点，

所以，如上图有，而，若，

则，故，即在椭圆上，

所以，可得，而，则.

故答案为：D

12．C

【分析】由在定义域内恒成立，得恒成立，令，则，求函数的最小值即可得到实数a的取值范围.

【详解】由在定义域内恒成立，得恒成立，

即恒成立.

令，，则，，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以当时， ，所以.

所以.

令，，则，

所以，

所以的取值范围为.

故选：C.

13．15

【分析】利用求数列通项，进而求.

【详解】由，，且满足上式，

所以.

故答案为：

14．

【分析】解设点坐标，根据已知得出，利用直线方程，解设点坐标，再根据，得出答案即可.

【详解】由题知，，设，

，，，，

，，

，，则直线方程为，

设点坐标为，，

，，

求解可得，，，即点坐标为.

故答案为：

15．3

【分析】待定系数法求得过的圆的方程为，从而可得，解得，再根据两点距离公式即可求解.

【详解】设过的圆的方程为： ，，

则，解得，

所以过的圆的方程为： .

又因为点在此圆上，所以，解得，

所以点D到坐标原点O的距离为.

故答案为：

16．

【分析】设三棱锥外接球球心为，半径为R，则点在过直角斜边的中点与平面垂直的直线上，建立空间直角坐标系，设球心 ，，由求解参数之间的关系，结合二次函数求最值得出结果.

【详解】设三棱锥外接球球心为，半径为R，

则在过直角斜边的中点与平面垂直的直线上，且满足.

以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设球心，，又，

设，，则，

由，得，

则，由，，可得，

又，所以当时，取最小值，最小值为，

所以三棱锥外接球表面积的最小值为.

故答案为：.

17．(1)平均数73，中位数

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图的平均数及中位数计算公式计算即可；

（2）先确定在的学生中应分别抽取的人数，列举各种可能计算概率即可.

【详解】（1）由频率分布直方图中数据知：平均成绩

.

设中位数为，则，

解得.

（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，

所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人，

记抽取成绩在的4人为：，抽取成绩在的2人为：，

从这6人中随机抽取2人的所有可能为：，，共15种，

抽取的2名学生中至少有一人的成绩在的是，，只有9种，

故做培训的这2名学生中至少有一人的成绩在的概率

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知求出，从而得出，再根据底面ABCD，得出，从而平面PBD，由此能证明平面平面PBD；

（2）设点D到平面的距离为，由，能求出点D到平面的距离.

【详解】（1），，

则，．

中，，

故，故.

又因为底面ABCD，底面ABCD，所以.

又因为，平面PBD，平面PBD.

又底面PBC，故平面平面PBD.

（2）设点D到平面的距离为，

根据，即，

因为平面PBD，平面PBD ，所以，

中， ，，

所以，

故，解得.

即点D到平面PBC的距离为.

19．(1)

(2)且

【分析】（1）由，利用累加法求数列通项公式，注意验证；

（2）由题设得，讨论的奇偶性分别求出对应前n项和即可.

【详解】（1），

当时

，检验知：当时上式也成立，

故．

（2）．

当为偶数时，；

当为奇数时，且，

又时满足上式，此时；

且.

20．(1)，无极大值

(2)或.

【分析】（1）求导，判断函数的单调性，即可求得函数的极小值；

（2）将在区间上有且仅有一个零点，由转化为函数在区间上没有零点，通过导数分情况讨论a的取值范围，判断函数单调性，解不等式，求得参数范围.

【详解】（1）由题可得，函数的定义域为，.

若，，

当，，在上单调递减；

当，，在上单调递增.

所以，无极大值.

（2），易知，

所求问题等价于函数在区间上没有零点，

因为，

当，，所以在上单调递减，

当，，在上单调递增.

①当，即时，函数在区间上单调递增，所以，

此时函数在区间上没有零点，满足题意.

②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

要使在上没有零点，只需，即，解得，

所以.

③当，即时，函数在区间上单调递减，

在区间上满足此时函数在区间上没有零点，满足题意.

综上所述，实数的范围是或.

21．(1)

(2)

【分析】（1）首先根据题意得到，设出直线，与抛物线联立结合题意得到，再根据直线过坐标原点，即可得到，从而得到直线方程为.

（2）首先根据题意得到面积，再利用导数求解单调性，即可得到面积的最大值.

【详解】（1）由为关于动点的对称点，所．

设直线，

联立，整理得，

则，

为，的中点，得，故，

由，解得.

当直线过坐标原点时，得，.

此时直线方程为.

（2）如图所示：

由（1）可知，直线，

.

到直线的距离为.

则面积.

，由，解得.

当，单调递增；当，单调递减.

故时，面积的最大值.

22．(1)：，：；

(2).

【分析】（1）变形曲线的方程，曲线的参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化成极坐标方程作答.

（2）把分别代入曲线，的极坐标方程，求出点的极坐标，再利用正弦函数性质求出最大值作答.

【详解】（1）因为，

则曲线的方程可化为，又，

所以的极坐标方程为；

曲线中，，即，

所以的极坐标方程为.

（2）依题意，，把代入得点的极径，

点的极径为，把代入，得，

因此，

而，即，当，即时，，

所以当时，的最大值为.

23．(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）利用柯西不等式即可证明；

（2）先利用基本不等式证得，再利用第一问的结论即可求得最小值.

【详解】（1）由柯西不等式易知，

所以；

（2）为正数，则

∴

，当且仅当时，等号成立.

由（1）可得

，当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为.