专题01一元二次方程（16个考点）-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）

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专题01一元二次方程（16个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．
（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．
　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
十六．一元二次方程的整数根与有理根
一元二次方程的整数根．
【专题过关】
一．一元二次方程的定义（共4小题）
1．（2021秋•沭阳县校级期末）已知方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＝2 D．a＝0
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式a﹣2≠0，再解不等式即可．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣2≠0，
解得a≠2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
2．（2021秋•苏州期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．x2＝6 C．5xy﹣1＝1 D．2（x+1）＝2
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
B．x2＝6是一元一次方程，故本选项符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
D．是一元一次方程的定义，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
3．（2021秋•淮安区期末）关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+6＝0是一元二次方程，则k满足的条件是 　k≠1　．
【分析】根据一元二次方程的定义得到k﹣1≠0，据此求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+6＝0是一元二次方程，
∴k﹣1≠0，
解得k≠1．
故答案是：k≠1．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），特别要注意a≠0的条件．
4．（2020秋•扬州期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1＝1或m+1＝0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m＝1，此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣；
（2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x＝﹣．
当m2+1＝0时，方程无解．
【点评】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉m2+1＝1的情况．
二．一元二次方程的一般形式（共4小题）
5．（2020秋•南京月考）将一元二次方程2x2+7＝9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．2，9 B．2，7 C．2，﹣9 D．2x2，﹣9x
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：2x2+7＝9x化成一元二次方程一般形式是2x2﹣9x+7＝0，则它的二次项系数是2，一次项系数是﹣9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式．
6．（2021秋•梁溪区期中）方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是（　　）
A．2 B．﹣3 C．1 D．﹣2
【分析】根据ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
7．（2021秋•涟水县校级月考）将x2＝6x﹣7化为一般形式为 　x2﹣6x+7＝0　．
【分析】根据移项法则把方程化为一般形式即可．
【解答】解：x2＝6x﹣7，
即x2﹣6x+7＝0．
故答案为：x2﹣6x+7＝0．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．（2020秋•泰州月考）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4＝0的常数项为0，求m的值．
【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4＝0的常数项为0，
∴m﹣2≠0，m2﹣4＝0，
解得：m＝﹣2．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
三．一元二次方程的解（共4小题）
9．（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，由于关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，于是可判断一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为2020．
【解答】解：一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，
所以此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，
因为关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，
所以关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，
即x+2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为2020．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（2022•广陵区校级开学）已知x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，求代数式÷（x+3﹣）的值．
【分析】利用一元二次方程的解可得出x2﹣8x＝1，将其代入÷（x+3﹣）＝中即可求出结论．
【解答】解：∵x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，
∴x2﹣8x＝1．
原式＝÷
＝÷
＝÷
＝÷
＝•
＝
＝
＝
＝，
∴代数式÷（x+3﹣）的值为．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．（2021•南通模拟）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式÷（a+3﹣）的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由方程的解的概念得出a2+4a＝21，代入计算即可．
【解答】解：÷（a+3﹣）
＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝
＝，
∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，
∴a2+4a﹣21＝0，即a2+4a＝21，
则原式＝＝．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和分式的化简求值，注意解题中的整体代入思想是解题的关键．
12．（2021秋•海州区校级月考）若关于x，y的二元一次方程组的解x＞0，y＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）若x是一个直角三角形的直角边长，y是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程m2﹣8m+16＝0的解，求这个直角三角形的面积．
【分析】（1）通过解方程组得到，然后解不等式组即可；
（2）利用勾股定理得到（a+1）2+16＝（3a﹣1）2，解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，从而得到x的值，然后计算三角形的面积．
【解答】解：（1）解方程组得，
∴，
解得a＞；
（2）解方程m2﹣8m+16＝0得m1＝m2＝4，
根据题意得x2+42＝y2，
即（a+1）2+16＝（3a﹣1）2，
整理得a2﹣a﹣2＝0，解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，
∴a＝2，
∴x＝a+1＝3，
∴这个直角三角形的面积＝×3×4＝6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解二元一次方程组和不等式组．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
13．（2022•兴化市开学）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则为 　　．
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2m+1+m﹣7＝0，
∴m＝2，
∴2m+1＝5，
∵ax2＝b（ab＞0），
∴x2＝，
∴＝（2m+1）2＝25，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键．
14．（2017秋•江都区月考）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0
（2）5x2+2x﹣1＝0．
【分析】（1）根据因式分解，可得答案；
（2）根据公式法，可得答案．
【解答】解（1）因式分解，得
（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）＝0
于是，得
x+2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4；
（2）a＝5，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，
x＝＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
五．解一元二次方程-配方法（共1小题）
15．（2021秋•建邺区期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）100（x﹣1）2＝121．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先求出（x﹣1）2的值，然后利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x﹣+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；

（2）（x﹣1）2＝1.21，
开平方得，x﹣1＝±1.1，
∴x﹣1＝1.1或x﹣1＝﹣1.1，
∴x1＝2.1，x2＝﹣0.1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
16．（2021秋•无锡期末）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0；
（2）x2+x﹣3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2﹣4＝0，
∴（x﹣1）2＝4，
则x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得x1＝3，x2＝﹣1；

（2）∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
则x＝＝，
即，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（2021秋•秦淮区期末）解方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）（x﹣1）2﹣x+1＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）（x﹣1）2﹣x+1＝0，
（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
18．（2022秋•海州区校级月考）解下列方程．
（1）（2x+3）2﹣25＝0．
（2）2x2﹣7x﹣2＝0（公式法）．
（3）（x+2）2＝3（x+2）．
（4）x2+8x﹣9＝0（配方法）．
【分析】（1）根据方程特点，应采用直接开平方法解答即可．
（2）根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得即可．
（3）可以先移项，然后利用提取公因式法将方程的左边分解因式，利用因式分解法解答即可．
（4）利用配方法解答即可．
【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0，
移项得，（2x+3）2＝25，
∴2x+3＝5或2x+3＝﹣5，
解得：x1＝1，x2＝﹣4；

（2）2x2﹣7x﹣2＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝﹣2，
Δ＝b2﹣4ac＝49+16＝65，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；

（3）（x+2）2＝3（x+2），
移项得，（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
因式分解得，（x+2）（x+2﹣3）＝0，
∴x+2＝0或x+2﹣3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1；

（4）x2+8x﹣9＝0，
x2+8x＝9，
x2+8x+16＝9+16，
（x+4）2＝25，
∴x+4＝5或x+4＝﹣5，
解得：x1＝1，x2＝﹣9．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程．
19．（2022秋•洪泽区校级月考）解下列方程：
（1）4（1+x）2＝9（直接开平方法）；
（2）x2+4x+2＝0（配方法）；
（3）3x2+2x﹣1＝0（公式法）；
（4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）（因式分解法）．
【分析】（1）根据直接开平方法即可求出答案．
（2）根据配方法即可求出答案．
（3）根据公式法即可求出答案．
（4）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）4（1+x）2＝9，
（1+x）2＝，
1+x＝±，
x1＝﹣，x2＝﹣．
（2）x2+4x+2＝0，
x2+4x+4＝2，
（x+2）2＝2，
x+2＝±，
x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
（3）3x2+2x﹣1＝0，
a＝3，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣1）
＝4+12
＝16，
x＝，
x1＝﹣1，x2＝．
（4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1），
（2x+1）2+3（2x+1）＝0，
（2x+1）（2x+1+3）＝0，
x1＝﹣，x2＝﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
八．换元法解一元二次方程（共3小题）
20．（2021秋•常熟市校级月考）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣1
【分析】设y＝a2+b2，用十字相乘法因式分解，解关于y的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去．
【解答】解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．
整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．
解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．
即a2+b2的值为4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
21．（2021秋•沭阳县校级月考）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2＝4，则a2+b2的值是　4　．
【分析】设a2+b2为x，利用换元法解答即可．
【解答】解：设a2+b2为x，可得：x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1（不合题意舍去），
所以a2+b2的值是4，
故答案为：4
【点评】此题考查换元法解方程问题，关键是把有关未知数看作一个整体进行解答．
22．（2021秋•海州区校级月考）解方程
（1）2（1﹣x）2﹣8＝0；
（2）x2﹣4x+1＝0；
（3）（x+3）（x﹣1）＝5；
（4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解答即可；
（2）利用配方法解答即可；
（3）利用因式分解法解答即可；
（4）利用因式分解法解答即可．
【解答】解：（1）原方程变形为：（1﹣x）2＝4，
开平方得：1﹣x＝2或1﹣x＝﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝3；
（2）移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
开平方得：x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
（3）原方程整理得：x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x+4）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2；
（4）分解因式得：[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）﹣3]＝0，
即x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝3，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
九．根的判别式（共1小题）
23．（2021秋•镇江期末）下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2+3x+1＝0
【分析】分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【解答】解：A．此选项方程根的判别式Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，此方程没有实数根；
B．此选项方程根的判别式Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，此方程没有实数根；
C．此选项方程根的判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，此方程没有实数根；
D．此选项方程根的判别式Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
一十．根与系数的关系（共3小题）
24．（2022•宿豫区开学）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是方程的两个实根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m，则由x1+x2+x1x2＝m2﹣4m得到﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m，然后解关于m的方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m
＝m2+8m+16﹣8m
＝m2+16＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m，
∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，
∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m，
解得m＝1或4，
即m的值为1或4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
25．（2022•南京二模）已知关于x的方程x2+2mx+n＝0（m、n是常数）有两个相等的实数根．
（1）求证：m2＝n；
（2）求证：m+n≥﹣．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4n＝0，然后整理得到结论；
（2）利用（1）中结论用m表示n，再进行配方得到m+n＝（m+）2﹣，然后利用非负数的性质得到结论．
【解答】证明：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4n＝0，
∴4m2﹣4n＝0，
∴m2＝n；
（2）把n＝m2代入m+n得m+n＝m+m2，
∵m+m2＝m2+m+﹣
＝（m+）2﹣，
而（m+）2≥0，
∴m+n≥﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
26．（2021秋•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
【分析】利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证．
【解答】证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，
∴当b2﹣4ac≥0时，x1＝，x2＝，
则x1+x2＝+＝＝＝﹣，
x1•x2＝•＝＝＝＝．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
27．（2019秋•淮安区期中）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为　（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240　；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：　（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240　．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可．
（2）利用（1）中所列方程求出答案．
【解答】解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；

（2）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特产应定价54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，
答：每千克特产应定价54元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
一十二．一元二次方程的应用（共4小题）
28．（2022•宿豫区校级开学）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
（1）若降价x元后，每件衬衫的利润＝　（40﹣x）　（元），平均每天销售数量为 　（30+3x）　件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）利用每件衬衫的利润＝原利润﹣每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量＝30+3×每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后平均每天的销售量；
（2）利用该经销商每天销售衬衫获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（30+3x）件．
故答案为：（40﹣x）；（30+3x）．
（2）依题意得：（40﹣x）（30+3x）＝1800，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵要尽快减少库存、增加盈利，
∴x＝20．
答：每件商品应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润及降价后平均每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
29．（2022•广陵区校级开学）某地区2020年投入教育经费2500万元，2022年投入教育经费3025万元．
（1）求2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2023年该地区将投入教育经费多少万元．
【分析】（1）设2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，利用该地区2022年投入教育经费金额＝该地区2020年投入教育经费金额×（1+该地区投入教育经费的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该地区2023年投入教育经费金额＝该地区2022年投入教育经费金额×（1+该地区投入教育经费的年平均增长率），即可预计出2023年该地区将投入教育经费的金额．
【解答】解：（1）设2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，
依题意得：2500（1+x）2＝3025，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）＝3327.5（万元）．
答：预计2023年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
【解答】解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
31．（2021秋•海陵区校级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．
【分析】利用经过两个周期的传染后感染新冠的人数＝1×（1+R0）2，即可得出关于R0的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：（1+R0）2＝36，
解得：R0＝5或R0＝﹣7（不合题意，舍去）．
答：新冠病毒的基本传染数R0为5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十三．配方法的应用（共6小题）
32．（2022•海门市二模）若关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有两个实数根，则k2+k+3的最小值为 　9　．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，求出k的取值范围，再将k2+k+3配方成，根据k的取值范围即可求出代数式的最小值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0有两个实数根，
∴Δ＝（2k）2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，
∴k≤﹣3，
∵k2+k+3＝，
∵k≤﹣3，
∴当k＝﹣3时，k2+k+3取得最小值为＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法等，熟练掌握根的判别式与配方法是解题的关键．
33．（2021秋•灌南县校级月考）阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0；例如，求x2+6x+3的最小值问题解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴（x+3）2﹣6的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）求代数式x2+4x+2021最小值．
（2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值．
【分析】（1）配方后即可确定最小值；
（2）将原式分为2组：（x2﹣4xy+4y2）+（2x2+16x）+7配方后即可确定最小值．
【解答】解：（1）x2+4x+2021
＝x2+4x+4+2017
＝（x+2）2+2017，
又∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+2017≥2017，
∴代数式x2+4x+2021最小值为2017；
（2）3x2﹣4xy+4y2+16x+7
＝（x2﹣4xy+4y2）+（2x2+16x）+7
＝（x2﹣4xy+4y2）+2（x2+8x+16）﹣32+7
＝（x﹣2y）2+2（x+4）2﹣25，
∵（x﹣2y）2≥0，（x+4）2≥0，
∴（x﹣2y）2+2（x+4）2﹣25≥﹣25，
∴代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值为﹣25，此时（x﹣2y）2＝0，（x+4）2＝0，
∴x＝﹣4，y＝﹣2，
∴xy＝（﹣4）﹣2＝．
【点评】本题考查了配方法，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键．
34．（2021秋•云龙区校级月考）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，
∵（x+2）2≥0，
∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．
因此，代数式x2+4x+2有最小值﹣2；
②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．
因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 　﹣3　；
（2）求代数式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值．
【分析】（1）通过配方可求出平方形式，根据任何数的平方具有非负性可得结果；
（2）把﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10配成完全平方的形式即可得结果．
【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∵（x﹣2）2≥0，
∴当x＝2时，这个代数式x2﹣4x+1的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3；
（2）﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10
＝﹣a2﹣6a﹣9﹣b2+4b﹣4+3
＝﹣（a+3）2﹣（b﹣2）2+3，
∵（a+3）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴当a＝﹣3，b＝2时，代数式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值是3．
【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．
35．（2021秋•工业园区校级期中）先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．
∵（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0且n﹣3＝0．
∴m＝﹣3，n＝3．
问题（1）已知x2+6xy+10y2+2y+1＝0，求x﹣y的值；
（2）求代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值；
（3）比较代数式2x2﹣1与4x﹣5的大小．
【分析】（1）已知等式变形后配方，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）已知等式变形后配方，利用非负数的性质即可求出原式的最小值；
（3）利用作差法比较大小即可．
【解答】解：（1）已知等式变形得：
（x2+6xy+9y2）+（y2+2y+1）＝0
即（x+3y）2+（y+1）2＝0，
∴x+3y＝0，y+1＝0，
解得：x＝3，y＝﹣1，
则x﹣y＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4；
（2）∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴原式＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）﹣6
＝（x+1）2+（y﹣2）2﹣6≥﹣6，
当x＝﹣1，y＝2时，原式的最小值为﹣6；
（3）（2x2﹣1）﹣（4x﹣5）
＝2x2﹣1﹣4x+5
＝2（x2﹣2x+1）+2
＝2（x﹣1）2+2≥2＞0，
则2x2﹣1＞4x﹣5．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
36．（2021秋•六合区期中）（1）比较2x与x2+2x+3的大小；
（2）比较2x2与x2+2x﹣3的大小．
【分析】（1）利用“作差法”来比较它们的大小．即：直接用多项式x2+2x+3减去多项式2x，再根据结果与零的关系判断两多项式的大小；
（2）利用“作差法”来比较它们的大小．即：直接用多项式2x2减去多项式x2+2x﹣3，再根据结果与零的关系判断两多项式的大小．
【解答】解：（1）x2+2x+3﹣2x＝x2+3．
∵x2≥0，
∴x2+3＞0，即x2+2x+3﹣2x＞0．
∴x2+2x+3＞2x；
（2）2x2﹣（x2+2x﹣3）＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2．
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+2＞0，即2x2﹣（x2+2x﹣3）＞0．
∴2x2＞x2+2x﹣3．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质．解题时，利用整式的加减来比较两多项式的大小，比较简单，同学们要熟练掌握．
37．（2021秋•灌云县期中）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以，当a＝0时，有最小值a2＝0．
【应用】（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝　1　；
（2）代数式m2+3的最小值是 　3　；
【探究】求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+9
＝n2+4n+4+5
＝（n+2）2+5．
∴当n＝﹣2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．
（3）请你参照小明的方法，求代数式a2﹣6a﹣3的最小值，并求此时a的值．
（4）代数式m2+n2﹣8m+2n+17＝0，求m+n的值．
【分析】（1）根据x﹣1＝0求解；
（2）根据m2是非负数进行求解；
（3）通过配方法求解；
（4）对含m和n的项分别配方，求出m，n，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x﹣1＝0，
∴x＝1，
故答案为：1；
（2）∵m2≥0，
∴m2+3≥3，
∴最小值是3，
故答案为：3；
（3）a2﹣6a﹣3
＝a2﹣6a+9﹣12
＝（a﹣3）2﹣12，
∴当a＝3时，代数式有最小值，最小值为﹣12；
（4）∵m2+n2﹣8m+2n+17＝0，
∴m2﹣8m+16+n2+2n+1＝0，
∴（m﹣4）2+（n+1）2＝0，
∴m﹣4＝0，n+1＝0，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴m+n＝3．
【点评】本题考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
一十四．高次方程（共1小题）
38．（2021秋•江阴市校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，
∴t＝±9．∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）设a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2﹣1）＝3，则3a2+3b2﹣1的值．
（3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数．
【分析】（1）设2x2+2y2＝m，通过换元降次求解；
（2）设a2+b2＝m，进而利用换元法降次求解；
（3）先设未知数列方程，再进行换元降次求解．
【解答】解：（1）设2x2+2y2＝m，则（m+3）（m﹣3）＝27，
∴m2﹣9＝27，
∴m＝±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）设a2+b2＝m，则m（2m﹣1）＝3，
∴2m2﹣m＝3，
∴m＝或m＝﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝；
∴3a2+3b2﹣1＝3×﹣1＝；
（2）设最小正整数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝24，
即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝24，
设x2+3x＝y，则y2+2y﹣24＝0，
∴y1＝﹣6，y2＝4，
∵x为正整数，
∴y＝x2+3x＝4，
∴x1＝1，x2＝﹣4＜0（舍去），
∴这四个整数为1，2，3，4．
【点评】本题考查了高次方程，通过换元法降次是解题的关键．
一十五．无理方程（共3小题）
39．（2021秋•镇江期末）【阅读】
小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，
根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．
【理解】
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
（1）关于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的两根分别是 　m2，n2　（用含有m、n的代数式表示）；
（2）方程 　ax2+2bx+4c＝0　的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
观察下表中每个方程的解的特点：
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1
3x2+4x+1＝0
x1＝﹣＝﹣1
2x2﹣7x+3＝0
x1＝＝3
3x2﹣7x+2＝0
x1＝2，x2＝
x2﹣2x﹣8＝0
x1＝4，x2＝﹣2
8x2+2x﹣1＝0
x1＝，x2＝﹣
…
…
…
…
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 　cx2+bx+a＝0　的两个根互为倒数；
（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
【分析】【理解】（1）令y＝，根据题意可得＝m或＝n，即可求解方程；
（2）由题意可知m+n＝﹣，mn＝，由于方程的两个根分别是2m，2n，则2m+2n＝﹣，am•2n＝，即可写出符合条件的方程；
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数；
（2）先将cx2+bx+a＝0变形为，设，方程可变形为ay2+by+c＝0，设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，则可得方程ay2+by+c＝0的解为y1＝m，y 2＝n，把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x＝，即可证明．
【解答】解：【理解】（1）令y＝，
∴方程ax+b+c＝0（a≠0）可化为ay2+by+c＝0，
∵ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴y＝m或y＝n，
∴＝m或＝n，
∴x＝m2或x＝n2，
故答案为：m2，n2；
（2）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴x＝m或x＝n，
∴m+n＝﹣，mn＝，
∵方程的两个根分别是2m，2n，
∴2m+2n＝﹣，am•2n＝，
∴方程ax2+2bx+4c＝0的两个根为2m，2n，
故答案为：ax2+2bx+4c＝0；
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数，
故答案为：cx2+bx+a＝0；
（2）证明：由cx2+bx+a＝0两边同除以x2，得，
设，方程可变形为ay2+by+c＝0，
设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，
可得方程ay2+by+c＝0的解是y1＝m，y 2＝n，
把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x＝，
所以方程cx2+bx+a＝0的解是，，
即方程ax2+bx+c＝0的两个根与方程cx2+bx+a＝0的两个根互为倒数．
【点评】本题考查无理方程的解，理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活运用换元法解方程是解题的关键．
40．（2021秋•南京期中）【阅读材料】
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣6x2+8x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2﹣6x+8）＝0，解方程x＝0和x2﹣6x+8＝0，可得方程x3﹣6x2+8x＝0的解．
【直接应用】
方程x3﹣6x2+8x＝0的解是x1＝0，x2＝　2　，x3＝　4　．
【类比迁移】
解方程：＝x．
【问题解决】
如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝2，点P在AD上，若PB+PC＝10，求AP的长．


【分析】【问题解决】利用因式分解法，可得结论；
【类比迁移】利用两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可；
【问题解决】根据题意先列出方程，再把无理方程转化为整式方程，求解即可．
【解答】解：x3﹣6x2+8x＝0，
∴x（x2﹣6x+8）＝0．
∴x（x﹣2）（x﹣4）＝0．
∴x＝0或x﹣2＝0或x﹣4＝0．
∴x1＝0，x2＝2，x3＝4．
故答案为：2，4．
解方程：＝x．
方程两边平方，得x+2＝x2．
∴x2﹣x﹣2＝0．
∴（x﹣2）（x+1）＝0．
∴x＝2或x＝﹣1．
经检验x＝2是方程的解，x＝﹣1不符合题意舍去．
所以原方程的解为：x＝2．
设AP的长为x，则PD＝8﹣x．
由题意，得＝10，
移项，得＝10﹣，
两边平方，得4+（8﹣x）2＝100﹣20+4+x2，
整理，得9x2﹣72x+19＝0．
解得x＝．
经检验x＝是方程的解．
所以AP的长为．
【点评】本题主要考查了高次方程、无理方程的解法，掌握转化的思想方法是解决本题的关键．
41．（2020秋•溧阳市期中）阅读与理解：
阅读材料：像x+＝3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．
解法如下：移项：＝3﹣x；两边平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．
解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5．
检验所得到的两个根，只有 　x＝2　是原无理方程的根．
理解应用：解无理方程x﹣＝2．
【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解为x＝2；
理解应用：先移项得到x﹣2＝；再两边平方：x2﹣4x+4＝（x+1），然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根．
【解答】解：阅读材料：
经检验x＝2是原方程的解；
故答案为x＝2；
理解应用：移项：x﹣2＝；
两边平方：x2﹣4x+4＝（x+1），
解这个一元二次方程：x1＝，x2＝3，
经检验原无理方程的根为x＝3．
【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
一十六．一元二次方程的整数根与有理根（共1小题）
42．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）＝为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程x2﹣x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．
【分析】（1）解出方程x2﹣x﹣1＝0，即可得出结论；
（2）先求出b2﹣4ac＝4m+29，再利用“全整方程”判断出4m+29是完全平方数，即可得出结论．
【解答】解（1）是，理由：
∵解方程x2﹣x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝3，
∴两个根均为整数，满足定义，
∴方程为“全整方程”，
∴T（a，b，c）＝＝﹣；
（2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，
∴b2﹣4ac＝4m+29，
∵5＜m＜22，
即：49＜4m+29＜117，
∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”，
∴b2﹣4ac是完全平方数，
即4m+29是完全平方数，
∴4m+29＝64或81或100，
∵m为整数，
∴m＝（舍去），m＝13，m＝（舍去），
即原方程为x2﹣23x+112＝0，
∴T（a，b，c）＝＝﹣．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的方法，完全平方数的特征，判断出49＜4m+29＜117是解本题的关键．