专题04二次函数（12个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）

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专题04二次函数（12个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
四．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
五．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
六．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
七．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
八．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
九．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
十．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
十一．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
十二．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
【专题过关】
一．二次函数的定义（共1小题）
1．（2022•泗阳县一模）下列函数中是二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣ C．y＝1﹣3x2 D．y＝x+3
【分析】直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案．
【解答】解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
二．二次函数的图象（共2小题）
2．（2022春•徐州月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝与y＝bx+c在同一平面直角坐标系内的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数与反比例函数得出图象经过的象限．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴经过x的负半轴，
∴a，b同号，
图象经过y轴的正半轴，则c＞0，
∵函数y＝，a＜0，
∴图象位于二、四象限，
∵y＝bx+c，b＜0，c＞0，
∴图象经过一、二、四象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数和反比例函数的性质，根据已知得出a，b，c的符号是解题关键．
3．（2022春•姜堰区月考）若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　0＜m＜2　．
【分析】根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数m的取值范围．
【解答】解：如图所示：当x＝2时，y＝2，
故直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，
则常数m的取值范围是：0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．

【点评】此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象，利用数形结合得出m的取值范围是解题关键．
三．二次函数的性质（共7小题）
4．（2022•惠山区校级二模）抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（3，﹣5），
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
5．（2021秋•海陵区期末）抛物线y＝x2﹣2x+3与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，3） C．（2，0） D．（3，0）
【分析】将x＝0代入抛物线解析式，求出相应的y的值，即可得到抛物线y＝x2﹣2x+3与y轴的交点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
即抛物线y＝x2﹣2x+3与y轴的交点坐标是（0，3），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴的交点就是x＝0时y的值．
6．（2022•鼓楼区校级三模）在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而 　增大　．（填“增大”或“减小”）
【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2+1，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是以对称轴为界是解题关键．
7．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 　1≤n＜10　．
【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
8．（2022•亭湖区校级开学）已知抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点A（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）当﹣2＜x＜4时，求出y的取值范围．
【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，求得a的取值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）先求得函数的增减性，然后求得﹣2＜x＜4时的y的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（2，3）代入y＝ax2﹣2x+3，得4a﹣4+3＝3，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3，
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴函数的顶点坐标为（1，2）．
（2）由y＝（x﹣1）2+2得，函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵x＝﹣2时，y＝4+4+3＝11，当x＝1时，y＝2，当x＝4时，y＝16﹣8+3＝11，
∴当﹣2＜x＜4时，y的取值范围为2≤y＜11．
【点评】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的性质，解题的关键是会用待定系数法求得二次函数的解析式．
9．（2022•亭湖区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1．
（1）抛物线的对称轴为 　直线x＝1　，抛物线与y轴的交点坐标为 　（0，﹣1）　．
（2）试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在两个交点．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令x＝0，求得y的值即可求得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，说明Δ＞0即可．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣1．
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴的交点为（0，﹣1）．
故答案为：直线x＝1；（0，﹣1）；
（2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，
整理得：ax2﹣（2a+1）x+1﹣0．
∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×a×1＝4a2+1＞0，
∴直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2021•宝应县二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称．在实数范围内定义函数y＝（其中m为常数）的图象为G．
（1）当点（﹣1，2）在G上时，则m的值是 　2　；
（2）求点B在G上时，求m的值；
（3）当y最小值的取值范围是﹣2≤y≤﹣1时，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）直接代入求值即可；
（2）求得B点的坐标，分两种求得代入求值即可；
（3）分两种情况：①图形G上最低点落在左侧函数部分的图象上，根据题意解不等式组即可，②图形G上最低点落在右侧部分的图象上时，解不等式组即可．
【解答】解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝x2+x+m，则1﹣1+m＝2，
∴m＝2；

（2）∵点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称，
∴点B的坐标为（﹣m，2），
当﹣m≥1时，即m≤﹣1时，
把点（﹣m，2）代入y＝x2+x﹣m，则m2﹣m﹣m＝2，解得m＝1±（舍去），
当﹣m＜1时，即m＞﹣1时，
把点（﹣m，2）代入y＝x2+x+m，则m2﹣m+m＝2，解得m＝±（负值舍去），
综上，m＝；

（3）当图形G上最低点落在函数y＝x2+x﹣m（x≥1）的图象上时，则最低点坐标为（1，2﹣m），
∴﹣2≤2﹣m≤﹣1，
解得：3≤m≤4；
当图形G上最低点落在函数y＝x2+x﹣m（x＜2）的图象上时，
同理：﹣≤m≤﹣；
y＝x2+x+m的顶点C（﹣，m﹣），
当x＝1时，y＝x2+x﹣m的点D（1，2﹣m），
m﹣＝2﹣m，
解得m＝，
当m＞时，D为最低点；
当m＜时，C为最低点．
综上所述，m的取值范围为：3≤m≤4或﹣≤m≤﹣．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，其中（3）要确定临界点的情况，进而求解．
四．二次函数图象与系数的关系（共8小题）
11．（2022春•靖江市校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．有下列4个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察x＝2，x＝3，x＝1时的函数值，进而对所得结论进行判断即可．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
③当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故③正确；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故④正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
12．（2022春•泰州月考）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b＝0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x＝﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到＝n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y＝n有一个公共点，则抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，
∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
13．（2022•靖江市一模）已知点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝ax+5分别交x轴正半轴，y轴于点A、B．
（1）求抛物线的顶点M的坐标（用含有b的式子表示）；
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A、B，试求出该二次函数解析式，并求出a的值；
（3）如图2，点A坐标为（5，0），若点M在△AOB内部（不包含边界）．
①求b的范围；
②若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【分析】（1）由二次函数的顶点式可直接得出顶点M的坐标．
（2）先求出点B的坐标，再代入二次函数解析式中，可求出二次函数解析式，再令y＝0，即可求出点A的坐标，从而可得a．
（3）①先将点A坐标代入y＝ax+5，求出直线解析式，再根据M（b，4b+1）在△AOB内部列不等式组，解不等式组可得b的取值范围．
②根据①求得的b取值范围，分类讨论求解．
【解答】解：（1）∵点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴点M的坐标为（b，4b+1）．
（2）∵直线y＝ax+5分与y轴于点B，
令x＝0，得y＝5，
∴点B的坐标为（0，5）．
将点B（0，5）代入y＝﹣（x﹣b）2+4b+1，
得5＝﹣b2+4b+1，
整理得（b﹣2）2＝0，
解得b＝2．
∴该二次函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9．
令y＝0，得﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x＝5或x＝﹣1．
∴A点坐标为（5，0），
即a＝5．
（3）①把A（5，0）代入y＝ax+5，
得0＝5a+5，
解得a＝﹣1，
∴直线解析式为y＝﹣x+5．
∵M（b，4b+1）在△AOB内部，
∴，
解得0．
②由①知0．
当点C，D关于对称轴对称时，b＝＝，
∴当0时，y1＞y2，
b＝时，y1＝y2，
时，y1＜y2．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
14．（2022春•崇川区校级月考）已知二次函数y＝x2+（a﹣7）x+6，一次函数y＝2ax﹣7a+6．
（1）当a＝2时，求这两个函数图象的交点的横坐标；
（2）若二次函数图象的顶点恰好就是这两个函数图象的交点，求a的值；
（3）若这两个函数图象有两个交点，且二次函数图象上这两个交点之间的部分y随x的增大而增大，求a的取值范围．
【分析】（1）把a＝2代入两个函数，联立整理得：x2﹣9x+14＝0，解方程即可求得交点横坐标；
（2）解析式联立整理得x2+（﹣a﹣7）x+7a＝0，分两种情况讨论求得即可；
（3）由②可得两交点的横坐标分别为a和7，二次函数图象开口向上，根据二次函数的性质得出﹣≤a＜7或﹣＜7＜a，然后解不等式组即可．
【解答】解：（1）把a＝2代入两个函数，联立整理得：x2﹣9x+14＝0解得：x1＝2，x2＝7，
∴交点横坐标为2，7；
（2）由题意得x2+（﹣a﹣7）x+7a＝0，
①当两个函数图象只有一个交点时，可得Δ＝0，即（a﹣7）2＝0，
∴a＝7，
∴二次函数的顶点坐标为（0，6），
∵二次函数图象的顶点在这两个函数图象的交点处，
∴（0，6）也在一次函数图象上，
把x＝0代入一次函数得y＝﹣43≠6，
∴a＝7不符合题意，舍去，
②当两个函数图象有两个交点时，x2+（﹣a﹣7）x+7a＝0，解得：x1＝a，x2＝7，
∵二次函数图象的顶点在这两个函数图象的交点处，
∴﹣＝a或﹣＝7，
解得：a＝或﹣7，
综上，a＝或﹣7；
（3）∵这两个函数图象有两个交点，
∴由②可得两交点的横坐标分别为a和7，二次函数图象开口向上，
∵在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴﹣≤a＜7或﹣＜7＜a，
解得：≤a＜7或a＞7．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数函数的交点问题，二次函数图象与系数的关系，函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
15．（2022春•海安市月考）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3）．点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，且满足x1＜x2，x1+x2＝2．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）当y1＝y2时，求抛物线的对称轴及a的值；
（3）当y1＜y2时，求a的取值范围．
【分析】（1）将A（3，3）代入y＝ax2+bx，变形即可得答案；
（2）由y1＝y2知M、N关于对称轴对称，即可根据x1+x2＝2求出对称轴；
（3）由且y1＜y2得1﹣a＞0即可得答案．
【解答】解：（1）∵过A（3，3），
∴9a+3b＝3，
∴b＝1﹣3a；
（2）∵M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，y1＝y2，
∴M（x1，y1），N（x2，y2）关于对称轴对称，
而x1+x2＝2，
∴对称轴为直线，
即：，
∴a＝1；
（3）将点M（x1，y1），N（x2，y2）代入y＝ax2+（1﹣3a）x得：
，，
∴，
＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+（1﹣3a）（x1﹣x2）
＝（x1﹣x2）（2a+1﹣3a）
＝（x1﹣x2）（1﹣a），
∵x1＜x2，y1＜y2，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0．
∴1﹣a＞0．
∴a＜1且a≠0．
【点评】本题考查二次函数综合知识，解题的关键是熟练应用二次函数的性质．
16．（2022春•江阴市校级月考）已知抛物线C：y＝（﹣a2+a）x2+x+1（a≠0）
（1）无论a为何值，抛物线C总是经过一个定点，该定点的坐标为　（0，1）　．
（2）无论a为何值，该抛物线的顶点总在一条固定的直线上运动，求出该直线的解析式．
（3）当0＜x≤2时，y＞0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）函数的常数项为1，所以过定点（0，1）；
（2）求出顶点坐标公式，令，代入即可；
（3）①当﹣a2+a＞0时，即0＜a＜1，当0＜a＜1，0＜x≤2时，y＞0恒成立，②当﹣a2+a＜0时，即a＞1或a＜0，当0＜x≤2时，y＞0恒成立当x＝2时，y＞0；
【解答】解：（1）无论a为何值，抛物线C总是经过一个定点，（0，1）；
（2）y＝（﹣a2+a）x2+x+1的顶点为（，），
设，，
则，
∴，
（3）①当﹣a2+a＞0时，即0＜a＜1，
∴抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴当0＜x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y＞0
∴当0＜a＜1，0＜x≤2时，y＞0恒成立，
②当﹣a2+a＜0时，即a＞1或a＜0，
∴抛物线开口向下
∵抛物线与y轴交于点（0，1），
当0＜x≤2时，y＞0恒成立
∴当x＝2时，y＞0，
即4（﹣a2+a）+3＞0，
解得或，
综上，0＜a＜1，或；
【点评】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握对称轴与函数值的关系，顶点坐标，待定系数法求解系数是解题的关键．
17．（2022•海门市二模）在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），如果将其坐标作如下变换：b'＝，进而得到点P'（a，b'），则称点P'为点P的“变换点”．例如：点（2，3）的“变换点”是点（2，5），点（﹣2，5）的“变换点”是点（﹣2，﹣7）．
（1）点（，﹣5）的“变换点”的坐标是 　（，﹣3）　；
（2）求直线y＝x﹣1上所有点的“变换点”所形成的图象的函数解析式；
（3）若抛物线y＝x2﹣2kx+3上存在点C（m，m﹣1）的“变换点”，求k的取值范围．
【分析】（1）根据“交换点”的定义进行解答便可；
（2）设直线y＝x﹣1上做任意点P为（m，m﹣1），分两种情况：m＜1或m≥1．分别求出P的变换点坐标，便可根据坐标特征写出函数解析式；
（3）当k＜0时，由x2﹣2kx+3＝﹣x﹣1得x2+（1﹣2k）x+4＝0，若此时二次函数y＝x2﹣2kx+3的图象上存在点C（m，m﹣1）的变换点，则Δ＝（1﹣2k）2﹣16≥0，解不等式便可；当k≥0时，由x2﹣2kx+3＝x+1得x2﹣（1+2k）x+2＝0，若此时二次函数y＝x2﹣2kx+3的图象上存在点C（m，m﹣1）的变换点，则Δ＝（1+2k）2﹣8≥0，解不等式便可．
【解答】解：（1）∵，
∴b′＝b+2＝﹣5+2＝﹣3，
∴点（，﹣5）的“变换点”的坐标是（，﹣3），
故答案为：（，﹣3）；
（2）设直线y＝x﹣1上做任意点P为（m，m﹣1），
当m＜1时，点P′（m，﹣m﹣1），
∴所形成的图象的函数解析式为：y＝﹣x﹣1；
当m≥1时，点P′为（m，m+1），
∴所形成的图象的函数解析式为：y＝x+1；
综上，所求的函数解析式为；
（3）当k＜0时，由x2﹣2kx+3＝﹣x﹣1得x2+（1﹣2k）x+4＝0，
若此时二次函数y＝x2﹣2kx+3的图象上存在点C（m，m﹣1）的变换点，
则Δ＝（1﹣2k）2﹣16≥0，
∴（1﹣2k+4）（1﹣2k﹣4）≥0，
解得k≤或k≥（不合题意，舍去），
∴k≤﹣；
当k≥0时，由x2﹣2kx+3＝x+1得x2﹣（1+2k）x+2＝0，
若此时二次函数y＝x2﹣2kx+3的图象上存在点C（m，m﹣1）的变换点，
则Δ＝（1+2k）2﹣8≥0，
∴（1+2k+2）（1+2k﹣2）≥0，
解得k≥或k≤（不合题意，舍去），
∴k≥，
综上，k或k．
【点评】本题主要考查了新定义，一次函数与二次函数的性质，关键是理解新定义，将新定义与一次函数与二次函数的性质综合解题．
18．（2022春•江阴市月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）且与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是x轴的正半轴上一点，tan∠APC＝，求点P的坐标；
（3）当点P是抛物线上第一象限上的点，tan∠APC＝，直接写出点P的坐标为 　（4，5）　．

【分析】（1）设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）通过三角函数求线段OP的长即可．
（3）借助四点共圆求P的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得a•1•（﹣3）＝﹣3，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，

∵tan∠APC＝，
∴，
∴OP＝9，
∴点P的坐标为（9，0）．
（3）如图2：

设M（9，0），由（2）知，tan∠AMC＝，
∵tan∠APC＝，
∴点A，C，M，P四点共圆，
∴AM＝9﹣（﹣1）＝10，AC＝＝，CM＝＝3，
∴∠ACM＝90°，点A，C，M，P所在圆的圆心为线段AM中点（4，0）．
∴AM是圆的直径，圆的半径为5．
在抛物线y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝4时，y＝5，
∴（4，5）在第一象限的抛物线上，
且＝5．
∴（4，5）在以（4，0）为圆心，5为半径的圆上，
∴P（4，5）符合题意．
故答案为：（4，5）．
【点评】本题考查求二次函数解析式即抛物线上点的坐标，将坐标转化为线段的长，确定A，C，M，P四点共圆是求解本题的关键．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
19．（2022•邗江区校级开学）若点A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣m上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（1，y3）关于对称轴的对称点为（﹣5，y3），
∵a＝1＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣5＜﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
20．（2022春•崇川区校级月考）若A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，则n＝　2018　．
【分析】利用抛物线的对称性得到h＝m+1，然后把A（m﹣1，n）代入y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2022中可求出n的值．
【解答】解：∴A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝m+1，
∴h＝m+1，
∴y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2022，
把A（m﹣1，n）代入得n＝﹣（m﹣1﹣m﹣1）2+2022＝﹣4+2022＝2018．
故答案为：2018．
【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，得到h＝m+1是解题的关键．
21．（2022•淮阴区模拟）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
6
y
﹣14
﹣7
﹣2
2
m
n
﹣7
﹣14
﹣23
则m、n的大小关系为 m　＞　n．（填“＜”，“＝”或“＞”）
【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+1，然后分别把x＝2和x＝3分别代入y＝﹣x2+2x+1即可计算出m、n的值，从而确定m、n的大小关系．
【解答】解：∵x＝﹣1时，y＝﹣2；x＝1时，y＝2，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
∴当x＝2时，m＝﹣4+4+1＝1；x＝3时，n＝﹣9+6+1＝﹣2，
∴m＞n．
故答案为＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点的坐标满足解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．
22．（2022•吴中区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．
（1）在点E（0，0），F（2，5），G（﹣1，﹣1），H（﹣3，5）中，　F、H　的“关联点”在函数y＝2x+1的图象上；
（2）如果一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是N（m，2），求点M的坐标；
（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，求实数a的取值范围．

【分析】（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），点F（2，5）的“关联点”是（2，5），点G（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），将点的坐标代入函数y＝2x+1，看是否在函数图象上，即可求解；
（2）当m≥0时，点M（m，2），则2＝m+3；当m＜0时，点M（m，﹣2），则﹣2＝m+3，解方程即可求解；
（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，而﹣2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，只要求出关键点即可求解．
【解答】解：（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），
点F（2，5）的“关联点”是（2，5），
点G（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），
点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），
将点的坐标代入函数y＝2x+1，
得（2，5）和（﹣3，﹣5）在此函数图象上，
故答案为：F、H；
（2）当m≥0时，点M（m，2），
则2＝m+3，解得：m＝﹣1（舍去）；
当m＜0时，点M（m，﹣2），
﹣2＝m+3，解得：m＝﹣5，
∴点M（﹣5，﹣2）；
（3）如图为“关联点”函数图象：
从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，
而﹣2＜x≤a，
函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，
即﹣4＝﹣a2+4，解得：a＝±2（舍去负值），
观察图象可知满足条件的a的取值范围为2≤a＜2．

【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．
六．二次函数图象与几何变换（共6小题）
23．（2022•洪泽区一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+2 B．y＝﹣2（x+1）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
【分析】根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达式即可．
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
∴所得抛物线的函数表达式是：y＝﹣2（x+1）2+3﹣1．即y＝﹣2（x+1）2+2
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：左加右减，上加下减．
24．（2022•扬州模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0）和点（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）当自变量x满足﹣1≤x≤3时，求函数值y的取值范围；
（3）将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）先计算出当x＝﹣1和x＝3对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后抛物线解析式为y＝（x﹣2﹣m）2﹣1，利用二次函数的性质，当2+m＞5，此时x＝5时，y＝5，即（5﹣2﹣m）2﹣1＝5，；设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后抛物线解析式为y＝（x﹣2+m）2﹣1，利用二次函数的性质得到2﹣m＜1，此时x＝1时，y＝5，即（1﹣2+m）2﹣1＝5，然后分别解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）把（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当x＝﹣1时，y＝x2﹣4x+3＝8，
当x＝3时，y＝x2﹣4x+3＝0，
∴当﹣1≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y≤8；
（3）设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后抛物线解析式为y＝（x﹣2﹣m）2﹣1，
∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，
∴2+m＞5，即m＞3，
此时x＝5时，y＝5，即（5﹣2﹣m）2﹣1＝5，解得m1＝3+，m2＝3﹣（舍去），
设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后抛物线解析式为y＝（x﹣2+m）2﹣1，
∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，
∴2﹣m＜1，即m＞1，
此时x＝1时，y＝5，即（1﹣2+m）2﹣1＝5，解得m1＝1+，m2＝1﹣（舍去），
综上所述，m的值为3+或1+．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
25．（2022春•锡山区期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为 　（1，1）　，把此抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为 　y＝x2+1　．
【分析】首先配方得出二次函数顶点式，进而利用二次函数平移规律得出答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为（1，1），
则将抛物线y＝x2﹣2x+2向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+1）2+1，即y＝x2+1．
故答案为：（1，1），y＝x2+1．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确利用配方法求出二次函数顶点式的形式是解题关键．
26．（2022春•沛县校级月考）将二次函数y＝（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为 　y＝（x+1）2﹣1　．
【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为y＝（x+1）2﹣3+2，即y＝（x+1）2﹣1．
故答案为：y＝（x+1）2﹣1．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
27．（2022•泗洪县一模）把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式．
【分析】逆向思考：把平移后的抛物线顶点（﹣3，2）向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后得到原抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出原抛物线相应的函数表达式．
【解答】解：把点（﹣3，2）向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（2，3），
即二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（2，3），
所以原抛物线相应的函数表达式为y＝（x﹣2）2+3，即y＝x2﹣4x+7．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
28．（2022•工业园区校级一模）我们把抛物线上纵坐标是横坐标两倍的点叫做这条抛物线的“二倍点”（原点除外）．
（1）若抛物线y＝x2+bx+4上只有唯一的“二倍点”，求b的值及“二倍点”的坐标；
（2）平移抛物线y＝x2+bx+4，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“二倍点”，求新抛物线的表达式．
【分析】（1）由题意可得“二倍点”在直线y＝2x上，令x2+bx+4＝2x，根据Δ＝0求解．
（2）设新抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+2h，由抛物线经过原点求解．
【解答】解：（1）由题意得“二倍点”在直线y＝2x上，
令x2+bx+4＝2x，整理得x2+（b﹣2）x+4＝0，
∴Δ＝（b﹣2）2﹣16，
当Δ＝0时，方程x2+（b﹣2）x+4＝0有两个相等实数根，则抛物线y＝x2+bx+4上只有唯一的“二倍点”，
∴（b﹣2）2﹣16＝0，
解得b＝6或b＝﹣2．
当b＝6时，x2+4x+4＝0，
解得x1＝x2＝﹣2，
将x＝﹣2代入y＝2x中得y＝﹣4，
当b＝﹣2时，x2﹣4x+4＝0，
解得x1＝x2＝2，
将x＝2代入y＝2x中得y＝4，
∴b＝6时，“二倍点”的坐标为（﹣2，﹣4），b＝﹣2时，“二倍点”的坐标为（2，4）．
（2）设平移后解析式为y＝（x﹣h）2+2h，
将（0，0）代入y＝（x﹣h）2+2h得0＝h2+2h，
解得h＝0（舍）或h＝﹣2，
∴y＝（x+2）2﹣4＝x2+4x．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
七．二次函数的最值（共4小题）
29．（2021春•沭阳县月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？

【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；
（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．
又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．
（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
30．（2022•常州模拟）已知实数满足x2+3x﹣y﹣3＝0，则x+y的最小值是 　﹣7　．
【分析】由已知得出y＝x2+3x﹣3，即可得到x+y＝x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7，根据二次函数的性质即可求得x+y的最小值．
【解答】解：∵实数满足x2+3x﹣y﹣3＝0，
∴y＝x2+3x﹣3，
∴x+y＝x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7，
∴x+y的最小值为﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了二次函数的最值，得到x+y关于x的函数解析式是解题的关键．
31．（2022春•江都区校级月考）若定义一种新运算：a⊗b＝，例如：4⊗1＝4×1＝4；5⊗4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是　3　．
【分析】根据新运算的定义，对（﹣x+3）和3（x+1）的大小进行比较，列出不同的情况分类讨论，得到不同的函数表达式求出最值即可．
【解答】解：由题可得，
①当﹣x+3≥3（x+1）时，
即：x≤0，
y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4．
由抛物线性质可得，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴只有当x＝0时，y的最大值为y＝3；
②当﹣x+3＜3（x+1）时，
即：x＞0，
y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2
＝﹣3x+3．
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3．
∵x＞0，
∴y＜3，
综上①②得y≤3．
故函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是3．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及一次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键．
32．（2022春•吴中区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 　　．

【分析】由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图得：S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，代入可得结论．
【解答】解：设△PCD的面积为y，
由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，
∴y＝＝5﹣t，
∵四边形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，
∵PC2＝PD2+CD2，
∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，
∴S△DEF＝（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）＝t2﹣4t+＝（t﹣4）2+，
当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．
故答案为：．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中．
八．待定系数法求二次函数解析式（共5小题）
33．（2022•兴化市二模）已知一次函数y＝kx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m图象上的两点．
（1）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；
（2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值；
（3）点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值．
【分析】（1）利用对称轴为1求出m的值，可得二次函数的解析式，将点（2，3）和m＝4代入一次函数y＝kx+m，可得一次函数的解析式；
（2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，求出|y1﹣y2|＝1，再利用y＝kx+m过点（2，3），得出m＝3﹣2k，代入①式，最后得出结果；
（3）将A，B坐标代入分别表示出yP和yQ，再由m＝3﹣2k，得出yP＝k2﹣（m﹣2）k+2m，yQ＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，再将k＝n，k+1＝n代入，得出用n表示的yP和yQ，，进而得出|yP﹣yQ|＝|2n﹣4|＝2，求解即可．
【解答】解：（1）∵对称轴为x＝1，
∴，
∴，
解得m＝4，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣（4﹣2）x+2x4＝x2﹣2x+8，
将点（2，3）和m＝4代入一次函数y＝kx+m，
得到3＝2k+4，
解得：k＝﹣，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4；
∴一次函数表达式：，
二次函数的表达式：y＝x2﹣2x+8；
（2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，
得到y1＝k2﹣（m﹣2）k+2m，y2＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，
∵|y1﹣y2|＝1，
∴y1﹣y2＝±1，
∴k2﹣（m﹣2）k+2m﹣[（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m]＝±1，
整理得：m﹣2k﹣3＝±1①，
∵y＝kx+m过点（2，3），代入得：m＝3﹣2k，
将m＝3﹣2k代入①式得：
k＝±，即k＝或k＝﹣，
当k＝时，m＝3﹣2×＝；
当k＝﹣时，m＝3﹣2×（﹣）＝，
综上所述，m＝或m＝．
（3）解：将A（k，） B（k+1，y2）代入二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，得
yP＝k2﹣（m﹣2）k+2m，yQ＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，
又∵一次函数y＝kx+m过点（2，3），代入得：m＝3﹣2k，
∴yP＝3k2﹣5k+6，yQ＝3k2﹣k+6，
∵k＝n，k+1＝n，
把k＝n代入得yP＝3n2﹣5n+6，
把k＝n﹣1代入yQ＝3（n﹣1）2﹣（n﹣1）+6，
∴|yP﹣yQ|＝|2n﹣4|＝2，
解得n＝1或3．
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
34．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，再将（0，5）代入即可求解；
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有两个交点可列出方程a（x﹣2）2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．
【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点是（2，1），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，
将点（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，
∴得（x﹣2）2+1＝x+n，
化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2个公共点，
∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞．
∴n的取值范围为：n．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的关系．理解题意并会待定系数法求函数解析式是解题的关键．
35．（2022春•港闸区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．

【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝时函数有最小值﹣，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根据题意得到4﹣m＞3，解得m＜1．
【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴，解得，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝时函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；

（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
36．（2022春•靖江市校级月考）设一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b．
（1）若y1，y2的图象都经过点（﹣2，1），求这两个函数的表达式；
（2）求证：y1，y2的图象必有交点；
（3）若a＞0，y1，y2的图象交于点（x1，m），（x2，n）（x1＜x2），设（x3，n）为y2图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．
【分析】（1）把已知点坐标代入两个代数式中建立方程组进行解答便可；
（2）转化证明y1＝y2时，方程x+a+b＝x（x+a）+b有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；
（3）由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得n，由n的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值．
【解答】解：（1）把（﹣2，1）代入一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b，得
，
解得，，
∴一次函数为y1＝x+3，
二次函数y2＝x2+2x+1，

（2）当y1＝y2时，得x+a+b＝x（x+a）+b，
化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，
△＝（a﹣1）2+4a＝（a+1）2≥0，
∴方程x+a+b＝x（x+a）+b有解，
∴y1，y2的图象必有交点；

（3）当y1＝y2时，x+a+b＝x（x+a）+b，
化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，
（x+a）（x﹣1）＝0，
∵a＞0，x1＜x2，
∴x1＝﹣a，x2＝1，
∴n＝1+a+b，
当y＝1+a+b时，y2＝x（x+a）+b＝1+a+b，
化简为：x2+ax﹣a﹣1＝0，
（x+a+1）（x﹣1）＝0，
解得，x＝1（等于x2），或x＝﹣a﹣1，
∴x3＝﹣a﹣1，
∴x3﹣x1＝﹣a﹣1﹣（﹣a）＝﹣1．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，第（2）题关键转化证明一元二次方程根的判别式的正负，第（3）题关键求得x2的值．
37．（2022春•江阴市校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（﹣1，0）、B（3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点H，求：
①线段PH的长度l与m的关系式；
②PH＝2时，点P的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；
（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得长度l与m的关系式；
②把l＝2代入①中求得的解析式，即可求得．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（3，0）代入函数解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3，解得y＝﹣3，
即D（2，﹣3）．
设AD的解析式为y＝kx+n，将A（﹣1，0），D（2，﹣3）代入，得，
解得，
直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）①设P点坐标为（m，﹣m﹣1），H（m，m2﹣2m﹣3），
l＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）
化简，得
l＝﹣m2+m+2；
②∵l＝2，
∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0或m＝1，
∴P的坐标为（0，﹣1）或（1，﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
九．抛物线与x轴的交点（共4小题）
38．（2022春•盐都区月考）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

【分析】（1）由Δ＞0即可列不等式得到答案；
（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣，
∴m的取值范围为m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
39．（2022•睢宁县模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于 A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于 C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点M（x3，y3），且x3＜x2＜x1，请结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围；
（3）若直线l′∥BC，当点B关于l′的对称点B'落在抛物线上时，求直线′的解析式．

【分析】（1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式即可；
（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答；
（3）求出直线BB′的表达式为y＝x﹣3，与抛物线解析式联立，求得B′（2，﹣1），进而求得BB′的中点为（，﹣），然后利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3得到：y＝（x﹣3）（x﹣1），C（0，3）．
所以A（1，0），B（3，0），
设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以直线BC的表达式为y＝﹣x+3；

（2）由y＝x2﹣4x+3得到：y＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）．
∵y1＝y2，
∴x1+x2＝4．
∵x3＜x2＜x1，
∴x3＜0，
∴x1+x2+x3＜4．

（3）设直线BB′的解析式为y＝x+n，
把B（3，0）代入得，0＝3+n，解得n＝﹣3，
∴直线BB′的解析式为y＝x﹣3，
令x2﹣4x+3＝x﹣3，整理得x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
当x＝2时，y＝x﹣3＝﹣1，
∴B′（2，﹣1），
∴BB′的中点为（，﹣），
设直线l′为y＝﹣x+m，
∴﹣＝﹣+m，解得m＝2，
∴直线l′为y＝﹣x+2．

【点评】本题考查了两条直线平行问题，抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，“数形结合”的数学思想是解题的关键．
40．（2022•丰县二模）如图①，抛物线y＝﹣x2+2x+b（b≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，tan∠CBO＝3．
（1）求b的值；
（2）如图②，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当点D在对称轴的右侧，且S△DMN＝S△AOC时，请求出点D的坐标.

【分析】（1）利用直角三角形的边角关系定理和待定系数法解答即可；
（2）利用抛物线的解析式求得点A，B，C的坐标，利用待定系数法求得直线AC，BC的解析式，利用直线平行的性质设出直线l的解析式，设D（m，﹣m+6），其中0＜m＜6，利用点D为交点，得到直线l的解析式为y＝3x﹣4m+6；利用配方法求得抛物线的对称轴，进而得出点M，N的坐标，求得线段MN的长，利用S△DMN＝S△AOC，列出方程，解方程求得m值，则结论可得．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝b，
∴C（0，b）．
由题意：b＞0，
∴OC＝b．
在Rt△BOC中，
∵tan∠CBO＝＝3，
∴OB＝b，
∴B（﹣b，0）．
∴﹣+2×b+b＝0，
解得：b＝6或b＝0（不合题意，舍去），
∴b＝6；
（2）∵b＝6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6，C（0，6）．
∴OC＝6．
令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，
解得：x＝﹣2或6，
∴B（﹣2，0），A（6，0），
∴OA＝6，OB＝2．
设直线AC的解析式为y＝ax+c，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．
设直线BC的解析式为y＝kx+n．
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝3x+6，
∵点D为直线AC上一点，
∴设D（m，﹣m+6），其中0＜m＜6，
∵直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+d，
∵点D在直线l上，
∴﹣m+6＝3m+d，
∴d＝﹣4m+6．
∴直线l的解析式为y＝3x﹣4m+6．
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣+8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝3×2﹣4m+6＝12﹣﹣4m，
∴M（2，12﹣4m）．
当x＝2时，y＝﹣2+6＝4，
∴N（2，4）．
∵点D在对称轴的右侧，
∴点N在点M的上方，
∴MN＝4﹣（12﹣4m）＝4m﹣8．
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（4m﹣8）（m﹣2）＝×6×6，
∴m2﹣4m﹣5＝0．
解得：m＝5或﹣1（负数不合题意，舍去），
∴m＝5，
∴﹣m+6＝1，
∴D（5，1）．
【点评】本题主要考查了待定系数法，直角三角形的边角关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，配方法求抛物线的对称轴，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
41．（2022•鼓楼区校级二模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（A在B的左边），与y轴相交于点C．M（0，m）是y轴上动点，过点M的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点P、Q（P在Q的左边），与直线BC交于点N．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，四边形PMGH是正方形，连接CP．△PNC的面积为S1，正方形PMGH的面积为S2，若m＜3，求的取值范围．

【分析】（1）利用二次函数的解析式求得点B，C的坐标，再利用待定系数法解得即可；
（2）设点P（t，t2﹣4t+3），则t2﹣4t+3＝m．则PM＝t，PN＝MN﹣PM＝3﹣m﹣t＝﹣t2+3t，CM＝3﹣m＝﹣t2+4t，利用正方形的面积公式和三角形的面积公式分别求得S1和S2，并计算的值，利用配方法将式子变形，依据题意求得t的取值范围，利用二次函数的性质即可求得结论．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣4x+3．
解得：x＝1或3．
∵点A在点B的左边，
∴A（1，0），B（3，0）．
令x＝0，则y＝3．
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴．
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
（2）∵M（0，m），MN∥x轴，
∴N（3﹣m，m），
∴MN＝3﹣m．
设点P（t，t2﹣4t+3），则t2﹣4t+3＝m．
∴PM＝t，
PN＝MN﹣PM＝3﹣m﹣t＝﹣t2+3t，
CM＝3﹣m＝﹣t2+4t．
∴PN•CM＝（﹣t2+3t）（﹣t2+4t），
．
∴＝（t2﹣7t+12）＝．
∵y＝x2﹣4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．
∵m＜3，
∴﹣1＜m＜3．
∴0＜t＜2．
∵＞0，
∴当t＜时，的值随t的增大而减小．
∴当t＝0时，的值最大＝6，
当t＝2时，的值最小＝1．
∴的取值范围为1＜＜6．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
一十．二次函数与不等式（组）（共3小题）
42．（2022•江都区二模）小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而 　减小　，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而 　减小　，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而 　减小　．
（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0

1

2

3
…
y
0



1


…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是 　　．

【分析】（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大．
【解答】解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小．

（2）函数图象如图所示：


（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，
观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m＝×2×（4+2+1）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
43．（2022•鼓楼区二模）（1）解方程：x2+x﹣1＝0．
（2）直接写出二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的坐标；
（3）直接写出不等式x2+x﹣1＞0的解集．
【分析】（1）通过配方法解一元二次方程．
（2）由一元二次方程的解可得抛物线与x轴的交点．
（3）由抛物线开口方向及抛物线与x轴交点求解．
【解答】解：（1）x2+x﹣1＝0
x2+x＝1，
x2+x+＝1+，
（x+）2＝，
x1＝﹣+，x2＝﹣．
（2）令x2+x﹣1＝0，
解得x1＝﹣+，x2＝﹣．
∴抛物线y＝x2+x﹣1与x轴交点坐标为（﹣+，0），（﹣，0）．
（3）∵抛物线开口向上，
∴x＜﹣﹣或x＞﹣+．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
44．（2022春•港闸区校级月考）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
【分析】（1）由待定系数法，及对称轴为直线x＝﹣，可求出二次函数的表达式；
（2）需要分三种情况：①b＜﹣；②b﹣3＞﹣；③b﹣3≤﹣≤b分别进行讨论；
（3）根据二次函数图象的增减性可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），
∴c＝4；
∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4．
（2）当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当b＜﹣，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；
∴b2+b2+b2＝21，解得b1＝﹣，b2＝（舍去）；
②b﹣3＞﹣，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b3＝4，b4＝﹣1（舍去）；
③b﹣3≤﹣≤b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x＝﹣处取到；
∴（﹣）2+b•（﹣）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）．
综上所述，b的值为﹣或4．
（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，
设函数y3＝y2﹣y1＝x2+3x+m﹣4，
对称轴为直线x＝﹣＜0，
∴当0≤x≤1时，y3随x的增大而增大，
∴当x＝0时，y3即y2﹣y1有最小值m﹣4，
∴m﹣4≥0，
∴m≥4，即m的最小值为4．
【点评】本题考查二次函数的图象及其性质，解题的关键在于分类讨论求解，避免遗漏．
一十一．二次函数的应用（共9小题）
45．（2022春•宿豫区期中）如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？

【分析】（1）建立如图所示坐标系，根据题意设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A点坐标代入解析式求出a即可；
（2）首先求出警戒水位到桥面的距离，再求出时间t．
【解答】解：（1）以水面所在直线AB为x轴，以过拱顶垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

∴A（﹣10，0），C（0，4），
设二次函数的解析式为y＝ax2+4（a≠0），
把点A坐标代入解析式得：100a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴这个函数的表达式为：y＝﹣x2+4；
（2）当水面宽10m时，即x＝5时，y＝﹣×52+4＝3，
此时水面离拱顶4﹣3＝1（m），
1÷0.2＝5（h），
答：达到警戒水位后，再过5h此桥孔将被淹没．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，应用函数问题解决实际问题，难度适中．
46．（2022•江都区二模）如图，某体育休闲中心的一处山坡OA的坡度为1：2，山坡上A处的水平距离OE＝10m，A处有一根与OE垂直的立杆AB＝3m．这是投掷沙球的比赛场地，要求人站在立杆正前方的山坡下点O处投掷沙球，沙球超过立杆AB的高度即为获胜．在一次比赛中，小林投出的沙球运动路线看作一条抛物线，沙球出手时离地面2m，当飞行的最大高度为12m时，它的水平飞行距离为6m．
（1）求该抛物线的表达式，并在网格图中，以O为原点建立平面直角坐标系，画出这条抛物线的大致图象；
（2）小林这一次投掷沙球能否获胜？请说明理由．

【分析】（1）先设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+12，再根据待定系数法求解，画出图象即可；
（2）先求出点B的坐标，代入抛物线解析式，求出函数值，即可得到结论．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+12，
把（0，2）代入y＝a（x﹣6）2+12，得：2＝a（0﹣6）2+12，
解得：a＝，
∴，
图象如下：

（2）∵山坡OA的坡度为1：2，山坡上A处的水平距离OE＝10m，
∴AE＝5m，
∵AB＝3m，AB⊥OE，
∴B（10，8），
把x＝10，代入得：，
∴小林这一次投掷沙球不能获胜．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正确地作出函数的图象是解题的关键．
47．（2022•建邺区二模）某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣20x+2800．
（1）若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？
（2）为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为W（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）由总利润＝每件利润×数量列出方程，解方程取符合题意的解即可；
（2）先算出x的范围，再根据总利润＝每件利润×数量列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：（x﹣60）（﹣20x+2800）＝24000，
解得x＝120或x＝80，
∵尽量给顾客实惠，
∴x＝80，
答：售价应定为80元；
（2）∵每件利润不允许超过每件进价的50%，
∴x﹣60≤60×50%，
解得x≤90，
∴60≤x≤90，
根据题意得W＝（x﹣60）（﹣20x+2800）＝﹣20x2+4000x+168000＝﹣20（x﹣100）2+32000，
∵﹣20＜0，抛物线对称轴为直线x＝100，
而60≤x≤90，
∴x＝90时，W取最大值，最大值为﹣20×（90﹣100）2+32000＝30000（元），
答：售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
48．（2022春•锡山区期中）某商店出售一款电动玩具，进价为每件30元，销售一段时间后发现，该玩具的日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表：
销售单价x（元/件）
50
55
70
日销售量y（件）
70
65
50
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）求该商店销售这款玩具获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于原材料成本上涨，该款玩具的进价每件增加了10元，但物价部门为了规范市场经营秩序，规定销售单价不能超过a元/件，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，该玩具的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法得关系式．
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值．
（3）将1500元代入新函数，先求解 的值，再根据最大利润为1500元进行检验即可得到的a．
【解答】解：∵该玩具的日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，
∴设解析式为y＝kx+b，
由表中数据得，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x+120；
（2）设获得的日利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵，
∴30≤x≤120，
∵﹣1＜0，
∴当x＝75时，w有最大值，最大值为2025，
∴该商店销售这款玩具获得的最大日利润为2025元；
（3）∵玩具的进价每件增加了10元，
∴进价为：40元，
设此时的利润为M元，
∴M＝y（x﹣40）＝（﹣x+120）（x﹣40）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
∵，
∴40≤x≤120，
∵该玩具的日销售最大利润是1500元，
∴﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得：x＝90 或 x＝70，
∵当x＝90时，最大利润可以达到1600元，不合题意，
∴a＝70．
【点评】本题考查的是一次函数和二次函数的综合问题，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键．
49．（2022春•崇川区校级月考）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍．若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg，生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其它成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其它成本）；
（2）若每盒产品涨价x元（x≤12，且x为整数），每天的利润是w元，
①求w与x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
②若要使该产品销售过程中的日利润不低于15750元，不超过15990元，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；
（2）①根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；
②根据①中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
经检验，m＝3是方程的解，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）①根据题意，得w＝（30+x）（500﹣10x）＝﹣10x2+200x+15000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+200x+15000；
②由①知w＝﹣10x2+200x+15000＝﹣10（x﹣10）2+16000，
当﹣10x2+200x+15000＝15750时，x＝5或15，
当﹣10x2+200x+15000＝15990时，x＝11或9，
所以当年日利润不低于15750元，不超过15990元，5≤x≤9或11≤x≤15．
【点评】本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
50．（2022春•海门市期中）某网店打出促销广告：最潮新款球鞋20双，每双售价240元．若一次性购买不超过10双时，售价不变；若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，设某顾客一次性购买该款球鞋x双时，该网店获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当顾客一次性购买多少双时，该网店从中获利最多？
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
当0≤x≤10时，y＝（240﹣120）x＝120x，
当10＜x≤20时，y＝[240﹣120﹣10（x﹣10）]x＝﹣10x2+220x，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）∵当0≤x≤10时，y＝120x，
∴当x＝10时，y取得最大值1200，
∵当10＜x≤20时，y＝﹣10x2+220x＝﹣10（x﹣11）2+1210，
∴当x＝＝11 时，y取得最大值1210，
∵1200＜1210，
∴当x＝11时，该鞋店获利最多，
答：当顾客一次性购买11双时，该鞋店获利最多．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
51．（2022•秦淮区一模）在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第xs时，A，B离终点的距离分别为y1m，y2m，其中y1是x的一次函数，y2＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，它们的图象如图所示．

（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值．
【分析】（1）利用待定系数法可得关系式；
（2）根据题意，得﹣0.52x+50＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，解方程可得答案．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx+b，
将（0，50），（80，8.4）代入y1＝kx+b，
可得，
解得
所以y1＝﹣0.52x+50；
（2）根据题意，得﹣0.52x+50＝﹣0.01x2﹣0.02x+50，
解得x1＝50，x2＝0（舍去）．
在比赛过程中，两机器人离终点距离相等时x的值是50．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
52．（2022•安徽二模）2022年2月8日北京冬奥会中自由滑雪空中技巧项目备受大家关注，中国优秀运动员沿跳台斜坡AB加速加速至B处腾空而起，沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在跳台的背面着陆坡DC．建立如图所示的平面直角坐标系，BD∥x轴，C在x轴上，B在y轴上，已知跳台的背面DC近似是抛物线y＝a（x﹣7）2（1≤x≤7）的一部分，D点的坐标为（1，6），抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+k．

（1）当k＝10时，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，运动员在离x轴3.75m处完成动作并调整好身姿，求此时他距DC的竖直距离（竖直距离指的是运动员所在位置的点向x轴的垂线与DC的交点之间线段的长）；
（3）若运动员着落点与B之间的水平距离需要在不大于7m的位置（即着落点的横坐标x满足x≤7），求b的取值范围．
【分析】（1）根据B、D两点的坐标可得a和b的值；
（2）把y＝3.75代入y＝﹣（x﹣2）2+10中，可得x＝4.5，再把x＝4.5代入y＝（x﹣7）2中可得y的值，进而可得答案；
（3）根据抛物线BEF最远经过点C，最近经过点D可得b的范围．
【解答】解：（1）当k＝10时，抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+10，
把B（0，6）代入解析式为6＝4b+10，
解得b＝﹣1，
把D（1，6）代入抛物线DC的表达式y＝a（x﹣7）2，
6＝36a，解得a＝，
∴a＝，b＝﹣1；
（2）把y＝3.75代入y＝﹣（x﹣2）2+10中，
解得x＝4.5或﹣0.5（舍去），
把x＝4.5代入y＝（x﹣7）2中，
y＝，
∴他距DC的竖直距离为3.75﹣＝（m）；
（3）在y＝a（x﹣7）2中，当x＝7时，y＝0，
∴C（7，0）．
把（0，6）代入y＝b（x﹣2）2+k，可得k＝6﹣4b，
∴y＝b（x﹣2）2+6﹣4b，
当x＝7时，y≤0，
∴21b+6≤0，解得b≤﹣，
∴b的取值范围是b≤﹣．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的解析式是解题关键．
53．（2022•江阴市校级一模）为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xcm，面积为ym2如图所示）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

甲
乙
丙
单价（元/棵）
14
16
28
合理用地（m2/棵）
0.4
1
0.4

【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意得14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，可得a+7b＝1500，推出b的最大值为214，此时a＝2，再求出实际植物面积即可判断．
【解答】解：（1）∵AB＝x，
∴BC＝36﹣2x，
∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，
∵0＜36﹣2x≤18，
∴9≤x＜18．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）；
（2）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∴x＝9时，y有最大值162（m2），
设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，
由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，
∴a+7b＝1500，
∴b的最大值为214，此时a＝2．
需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，
∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
一十二．二次函数综合题（共7小题）
54．（2022•姑苏区校级一模）如图，开口向下的抛物线y＝﹣（x﹣m）（x﹣2）与x轴正负半轴分别交于A、B点，与y轴交于C点，且AB＝2OC；
（1）直接写出A点坐标（ 　2　，0），并求m的值；
（2）抛物线在第三象限内图象上是否存在一点E，在y轴负半轴上有一点F，使以点C、点E、点F为顶点的三角形与△BOC相似，如果存在，求出F点坐标，如果不存在，说明理由；
（3）在线段BC上有一点P，连结PO、PA，若tan∠APO＝，则直接写出点P坐标（ 　　，　3﹣　）


【分析】（1）令y＝﹣（x﹣m）（x﹣2）＝0，可解得x＝m或x＝2，所以A（2，0），B（m，0）当x＝0时，y＝﹣m，根据AB＝2OC，建立关于m的方程，求解即可；
（2）由（1）得，y＝﹣（x+4）（x﹣2）＝﹣x2﹣x+3，在△BOC中，OB＝4，OC＝3，根据勾股定理可得BC＝5，设点E的横坐标为t，则E（t，﹣t2﹣t+3）（t＜﹣4），若以点C、点E、点F为顶点的三角形与△BOC相似，需要分类讨论：当点F为直角顶点时：①若△BOC∽△EFC，②若△BOC∽△CFE；当点E为直角顶点时：①若△COB∽△FEC，根据相似三角形的性质可知，CE：OB＝CF：BC＝EF：CO，②若△COB∽△CEF，根据相似比建立方程，由此得出t的值，进而可得出点F的坐标；
（3）由B（﹣4，0），C（0，3），可得直线BC的解析式为：y＝x+3，设P（x，x+3），根据三角形函数可得，tan∠APO＝＝＝2，在△APO中，（x+3）＝××，解得x＝﹣，由此可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意可知，当y＝﹣（x﹣m）（x﹣2）＝0，
解得x＝m或x＝2，
∴A（2，0），B（m，0），
∴AB＝2﹣m，
当x＝0时，y＝﹣m，
∴C（0，﹣m），
∵AB＝2OC，
∴2•（﹣m）＝2﹣m，
解得m＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）由（1）得，y＝﹣（x+4）（x﹣2）＝﹣x2﹣x+3，
在△BOC中，OB＝4，OC＝3，根据勾股定理可得BC＝5，
设点E的横坐标为t，则E（t，﹣t2﹣t+3）（t＜﹣4），
当点F为直角顶点时：
①若△BOC∽△EFC，根据相似三角形的性质可知，CE：CB＝CF：OC＝EF：OB，
即CE：5＝CF：3＝EF：4，
∵EF＝﹣t，CF＝3﹣（﹣t2﹣t+3）＝t2+t，
∴EF：CF＝﹣t：（t2+t）＝4：3，
解得t＝﹣4，不符合题意；
②若△BOC∽△CFE，根据相似三角形的性质可知，CE：CB＝CF：BO＝EF：CO，
即CE：5＝CF：4＝EF：3，
∴EF：CF＝﹣t：（t2+t）＝3：4，
解得t＝﹣，此时y＝﹣；
此时点F的坐标为（0，﹣）；
当点E为直角顶点时：
①若△COB∽△FEC，根据相似三角形的性质可知，CE：OB＝CF：BC＝EF：CO，
即CE：4＝CF：5＝EF：3，
∴tan∠ECF＝EF：CF＝﹣t：（t2+t）＝3：4，
解得t＝﹣，此时y＝﹣；
过点E作EG⊥y轴，设FG的长度为d，

∵∠ECF+∠EC＝90°，∠GEF+∠EFG＝90°，
∴∠GEF＝∠ECF，
∴tan∠GEF＝：4＝d：，
解得d＝．
∴OF＝﹣﹣＝﹣；
∴点F的坐标为（0，﹣）；
②若△COB∽△CEF，根据相似三角形的性质可知，CE：OC＝CF：BC＝EF：OB，
即CE：3＝CF：5＝EF：4，
∴tan∠ECF＝EF：CE＝4：3＝﹣t：（t2+t），
解得t＝﹣4，不符合题意，
综上，点F的坐标为：（0，﹣）或（0，﹣）；
（3）∵B（﹣4，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为：y＝x+3，
设P（x，x+3），
∵tan∠APO＝＝＝2，
在△APO中，（x+3）＝××，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，3﹣）．
故答案为：﹣，3﹣．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，分类讨论思想，三角函数等相关内容，关键是利用分类讨论思想进行分类讨论是解题关键．
55．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+mx+m+的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则PH＝﹣t2﹣t，利用S△PAC＝S△PAH+S△PCH＝﹣（t+）2+，即可运用二次函数求最值的方法求得答案；
（3）运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，顶点坐标为（n，﹣n﹣），当图象M经过点C（0，﹣）时，可求得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n＝﹣或n＝（舍去），就看得出：图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+m+与y轴交于点C（0，﹣），
∴m+＝﹣，
解得：m＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x﹣；

（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，
得：﹣x2﹣3x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，
如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H（t，﹣t﹣），
∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（﹣t﹣）＝﹣t2﹣t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
＝•PH•（xP﹣xA）+•PH•（xC﹣xP）
＝•PH•（xC﹣xA）
＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]
＝t2﹣t
＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S△PAC取得最大值，
此时，点P的坐标为（﹣，）；

（3）如图2，抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G，
∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），
∴图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），
∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴图象M的顶点坐标为（n，﹣n﹣），
∴图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，
当图象M经过点C（0，﹣）时，
则：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，
解得：n＝﹣1或n＝2，
当图象M的端点B在PC上时，
∵线段PC的解析式为：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴联立可得：，
解得：，
将代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，
解得：n＝﹣或n＝（舍去），
∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．


【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，抛物线的翻折、平移变换，二次函数最值问题和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象上点的坐标特征推知点的坐标的取值范围．掌握二次函数的基本性质，翻折和平移变换的性质，以及准确分类讨论是解题关键．
56．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；
（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）由定义可知，函数与y＝﹣x的交点即为“互反点”；
（2）求出A（﹣，），B（﹣b，b），可得S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，求出b的值；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，联立方程组，当Δ＝0时，m＝﹣，因此当m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，解得m＝﹣1或m＝2，结合图象可知：﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3中，x+y＝3，
∴y＝﹣x+3的图象上不存在“互反点”；
y＝x2+x中，当y＝﹣x时，﹣x＝x2+x，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴（0，0），（﹣2，2）是y＝x2+x的图象上的“互反点”；
（2）y＝（x＜0）中，当y＝﹣x时，﹣x＝，
解得x＝﹣，
∴A（﹣，），
y＝x+b中，当y＝﹣x时，﹣x＝x+b，
解得x＝﹣b，
∴B（﹣b，b），
∴BC＝|b|，
∴S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，
解得b＝4或b＝﹣2；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，
由定义可知，“互反点”在直线y＝﹣x上，
联立方程组，
整理得x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＝0，
解得m＝﹣，
当m＜﹣时，y＝﹣（x﹣2m）2+2与y＝﹣x没有交点，此时y＝﹣x与y＝﹣x2+2有两个交点，
∴m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当x＝m时，y＝﹣m2+2，
∴函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），
当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，﹣m2+2＝﹣m，
解得m＝﹣1或m＝2
当m＝﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，
∴m＞﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，
∴m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
∴﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
综上所述：﹣1＜m＜2或m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．



【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
57．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 　②③　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，
∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或a＝﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；
当抛物线经过点B时，n＝1；
∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
58．（2022•盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 　（﹣3，4）或（3，4）　．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；
【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1），结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y＝x2﹣的图象上，进而可证出小明的猜想正确；
【深度思考】设该点的坐标为（±，n﹣1），结合⊙M的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n的代数式表示出m的值，再结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，
∵横坐标x＝±＝±3，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
∴该点的横坐标为±＝±，
∴该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1）．
∵（±）2＝2n﹣1，n﹣1＝，
∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（±，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，m），
∴＝m，
∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．

【点评】本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐标间的关系，找出点在二次函数y＝x2﹣的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n的代数式表示出m的值．
59．（2022•海陵区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a＜0，m＜n）与x轴交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．直线y＝h与抛物线相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点（P、Q不重合），与直线BC交于点N（x3，y3）．
（1）若a＝﹣1，m＝1，n＝3，
①求线段AB的长；
②当h＜1时，证明：x1+x2的值不会随着h的变化而变化；
（2）若点A在直线BC的上方，
①求m的取值范围；
②令h＝m2，一定存在一个a的值，对于任何符合＞t（t＞0）的m、n均可以使得x1+x2﹣x3恒为定值，求a的值以及t的取值范围．
【分析】（1）①可得A（1，0），B（3，0），从而求得结果；
②点P和点Q关于对称轴对称，从而求得结果；
（2）①对m的值进行分类讨论，画出图形，得出结果；
②表示出x1+x2﹣x3关系式，进而求得a的值，y＝h与抛物线交于两点P，Q，则m2小于抛物线的顶点的纵坐标，进一步求得结果．
【解答】（1）①解：A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
②证明：∵y＝﹣（x﹣1）•（x﹣3）＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为：x＝2，y最大值＝1，
∴当h＜1时，x1+x2＝2×2＝4；
（2）①解：如图，

当m＜0，n＞0时，点A在BC的下方，

当m＜0，n＜0时，点A在BC的下方，
如图3，

当m＞0时，点A在BC的上方，
综上所述：当m＞0时，点A在BC的上方；
②解：如图4，

当x＝0时，y＝a（﹣m）•（﹣n）＝amn，
∴OC＝﹣amn，
∵DE∥OC，
∴△BOC∽△BED，
∴＝，
∴，
∴BE＝﹣，
∴x3＝OE＝OB+BE＝n﹣，
∵x1+x2＝m+n，
∴x1+x2﹣x3＝m+＝m（1+），
∵x1+x2﹣x3恒为定值，
∴1+＝0，
∴a＝﹣1，
∵y＝a（x﹣m）•（x﹣n）＝a（x﹣）2﹣，
∴﹣＞m2，
∴（m﹣n）2＞4m2，
∴3m2+2mn﹣n2＜0，
∴（m+n）（3m﹣n）＜0，
∵m+n＞0，
∴3m﹣n＜0，
∴，
∴t＞3．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，相似三角形判定和性质等知识，运用分类讨论，数形结合等方法，解决问题的关键是数形结合，分类讨论．
60．（2022•宿豫区二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，4），顶点为点G，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接AP交BC于点M．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标；
（2）当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）如图2，在（2）的条件下，EF是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接CE、AF，当四边形ACEF周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标．

【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）过点A作x轴的垂线交直线BC于点F，过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），由PE∥AF，则＝，即当PE＝﹣（t﹣3）2+3取得最大值时，取得最大值，根据二次函数的最值即可求解；
（3）由于四边形ACEF中，边AC与EF为定值，所以当AF+CE最小时，四边形ACEF的周长最小．于是可将点A向上平移2个单位得到A′（﹣2，2），作点C关于对称轴x＝2的对称点C′（4，4），连接A′C′，与对称轴的交于点E′．当点E运动到和点E′重合时AF+CE＝A′E′+C′E′＝A′C′最小，运用待定系数法求出直线A′C′的解析式，将x＝2代入，求出y的值，进而得到点E′（2，），分三种情况讨论：①当GE、PH为平行四边形的对角线时；②当GP、EH为平行四边形的对角线时；③当GH、EP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，分别利用中点坐标公式求出H点坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，
得，
∴，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+4，
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣2）2+，
∴顶点G的坐标为（2，）；

（2）过点A作x轴的垂线交直线BC于点F，过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，

∴AF∥PE，
∴△PEM∽△AFM，
∴，
∵B（6，0），C（0，4），
设直线BC的解析为y＝kx+4，
∴6k+4＝0，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），
∴PE＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+2t，
∵A（﹣2，0），
x＝﹣2时，y＝﹣x+4＝，
∴F（﹣2，），
∴AF＝，
∴＝，
∴当PE取得最大值时，取得最大值，
∵PE＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣3）2+3，
∴当t＝3时，PE有最大值3，
∴＝＝，
∴的最大值，此时P（3，5）；

（3）∵A（﹣2，0）、C（0，4），
∴AC＝2，
∵EF＝2，
∴四边形ACEF中，边AC与EF为定值，
∴当AF+CE最小时，四边形ACEF的周长最小．
将点A向上平移2个单位得到A′（﹣2，2），作点C关于对称轴x＝2的对称点C′（4，4），连接A′C′，与对称轴的交于点E′．

∴当点E运动到和点E′重合时AF+CE＝A′E′+C′E′＝A′C′最小，
∵A′（﹣2，2），C′（4，4），
设直线A′C′的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线A′C′的解析式为y＝x+，
将x＝2代入y＝x+，则y＝，
∴点E′（2，），
设H（p，q），
①当GE、PH为平行四边形的对角线时，

∵G（2，），E（2，），P（3，5），
∴，
∴，
∴H（1，）；
②当GP、EH为平行四边形的对角线时，

∵G（2，），E（2，），P（3，5），
∴，
∴，
∴H（3，7）；
③当GH、EP为平行四边形的对角线时，

∵G（2，），E（2，），P（3，5），
∴，
∴，
∴H（3，3）；
综上所述，点H的坐标为（1，）或（3，7）或（3，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．